1、课后限时集训(五十二)直线与椭圆 建议用时：40 分钟一、选择题1直线 yx2 与椭圆x2my231 有两个公共点，则 m 的取值范围是()A(1，)B(1,3)(3，)C(3，)D(0,3)(3，)B 由yx2，x2my231，得(3m)x24mxm0，由题意可知3m0，4m24m3m0，解得m3，m0或m1，又 m0，且 m3，m1 且 m3.故选 B.2过椭圆x25y241 的右焦点作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于 A，B 两点，O 为坐标原点，则OAB 的面积为()A43B53C54D103B 由题意知椭圆的右焦点 F 的坐标为(1,0)，则直线 AB 的方程为 y2x2.联立x25
2、y241，y2x2，解得交点坐标为(0，2)，53，43，不妨设 A 点的纵坐标 yA2，B 点的纵坐标 yB43，SOAB12|OF|yAyB|121243 53.3(2020沙坪坝区校级模拟)已知椭圆 C：x28y241，过点 P(2,1)的直线交椭圆于 A，B两点，若 P 为线段 AB 中点，则|AB|()A4 113B2 153C4 63D4 33D 设点 A(x1，y1)，点 B(x2，y2)，x1x24，y1y22，由x218y2141，x228y2241，两式相减得：x21x228y21y2240，化简得：y1y2x1x21，直线 AB 的斜率为1，又直线 AB 过点 P(2,1
3、)，直线 AB 的方程为：y1(x2)，即 yx3，联立方程yx3，x28y241，消去 y 得 3x212x100，x1x24，x1x2103，|AB|112x1x224x1x24 33，故选 D.4已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)与直线 yx3 只有一个公共点，且椭圆的离心率为 55，则椭圆 C 的方程为()A4x225y251Bx25y241Cx29y251Dx225y2201B 将直线方程 yx3 代入 C 的方程并整理得(a2b2)x26a2x9a2a2b20，由椭圆与直线只有一个公共点得，(6a2)24(a2b2)(9a2a2b2)0，化简得 a2b29，caa2b2a
4、55，则b2a245，解得 a25，b24，所以椭圆的方程为x25y241.5直线 l 过椭圆x22y21 的左焦点 F，且与椭圆交于 P，Q 两点，M 为 PQ 的中点，O 为原点，若FMO 是以 OF 为底边的等腰三角形，则直线 l 的斜率为()A 22B 22C 32D 32B 由x22y21，得 a22，b21，所以 c2a2b2211，则 c1，则左焦点 F(1,0)由题意可知，直线 l 的斜率存在且不等于 0，设直线 l 的方程为 ykxk.设 l 与椭圆交于点 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立x22y21，ykxk得(2k21)x24k2x2k220.则 PQ 的中点M
5、的横坐标为x1x22 2k22k21.因为FMO 是以 OF 为底边的等腰三角形，所以 2k22k2112，解得 k 22.6(多选)(2020福建侨光中学月考)在平面内，若曲线 C 上存在点 P，使点 P 到点 A(3,0)，B(3,0)的距离之和为 10，则称曲线 C 为“有用曲线”以下曲线是“有用曲线”的是()Axy5Bx2y29Cx225y291Dx216yACD 设点 P 的坐标为(x，y)，由点 P 到点 A(3,0)，B(3,0)的距离之和为 10，可得点 P 的轨迹方程为x225y2161.对于 A，由xy5，x225y2161，整理得 41x2250 x2250，250244
6、122525 6000，因此曲线 xy5 上存在点 P 满足条件，故选项 A 给出的曲线是“有用曲线”；同理可得曲线x225y291 与x225y2161 有交点(5,0)与(5,0)，曲线 x216y 与x225y2161 显然也有交点，因此可判断选项 C，D 给出的曲线是“有用曲线”，而选项 B 给出的曲线 x2y29 在曲线x225y2161 的内部，无交点，故不是“有用曲线”二、填空题7过椭圆 C：x24y231 的左焦点 F 作倾斜角为 60的直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，则 1|AF|1|BF|等于_43 由题意可知 F(1,0)，故 l 的方程为 y 3(x1)由y
7、3x1，x24y231，得 5x28x0，x0 或85.A(0，3)，B85，3 35.又 F(1,0)，|AF|2，|BF|65，1|AF|1|BF|43.8(2020碑林区一模)在平面直角坐标系中，动点 P 在椭圆 C：x216y291 上运动，则点 P 到直线 xy50 的距离的最大值为_5 2 设 P(4cos，3sin)，02，点 P 到直线 xy50 的距离为 d|4cos 3sin 5|1212545cos 35sin 52|5sin5|2，所以 dmax1025 2.9已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的一条弦所在的直线方程是 xy50，弦的中点坐标是 M(4,1)，则椭圆的
8、离心率为_32 设直线与椭圆交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别代入椭圆方程，由点差法可知 yM b2a2kxM，代入 k1，M(4，1)，解得b2a214，e1 ba2 32.三、解答题10设 F1，F2 分别是椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点，M 是 C 上一点且 MF2与 x 轴垂直，直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N.(1)若直线 MN 的斜率为34，求椭圆 C 的离心率；(2)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2，且|MN|5|F1N|，求 a，b 的值解(1)易知 Mc，b2a，由b2a2c34得 2b23ac，故 2(a2c2)3ac，解得c
9、a12，ca2(舍去).故椭圆的离心率为12.(2)由题意，原点 O 为 F1F2 的中点，MF2y 轴，所以直线 MF1 与 y 轴的交点 D(0,2)是线段 MF1 的中点故b2a 4，即 b24a.由|MN|5|F1N|，得|DF1|2|F1N|.设 N(x1，y1)，由题意知 y10，则2cx1c，2y12，即x132c，y11.代入 C 的方程，得9c24a21b21.将及 c a2b2代入得9a24a4a2 14a1.解得 a7，b24a28.故 a7，b2 7.11(2020汨罗市一模)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为 32，短轴长为 2.(1)求椭圆 C 的
10、标准方程；(2)若直线 l：ykxm(k0)与椭圆 C 交于不同的两点 M，N，且线段 MN 的垂直平分线过定点(1,0)，求实数 k 的取值范围解(1)由题意可知2b2，ca 32，a2b2c2，解得a2，b1，c 3，故椭圆 C 的标准方程为x24y21.(2)设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，将 ykxm 代入椭圆方程，消去 y 得(14k2)x28kmx4m240，所以(8km)24(14k2)(4m24)0，即 m24k21，由根与系数关系得 x1x2 8km14k2，则 y1y2 2m14k2，所以线段 MN 的中点 P 的坐标为 4km14k2，m14k2.又线段 MN 的
11、垂直平分线 l的方程为 y1k(x1)，由点 P 在直线 l上，得m14k21k 4km14k21，即 4k23km10，所以 m 13k(4k21)，由得4k2129k24k21，4k210，4k219k2，所以 k215，即 k 55 或 k 55，所以实数 k 的取值范围是，55 55，.1(多选)若椭圆 C1：x2a21y2b211(a1b10)和椭圆 C2：x2a22y2b221(a2b20)的焦点相同且 a1a2，则以下结论中正确的是()A椭圆 C1 与椭圆 C2 一定没有公共点Ba1a2b1b2Ca21a22b21b22Da1a2b1b2ACD 由题意可得两椭圆的焦点均在 x 轴
12、上，且 a21b21a22b22，即有 a21a22b21b22，故 C 正确；由 a1a2，可得 b1b2，结合椭圆的对称性可得椭圆 C1 和椭圆 C2 一定没有公共点，故 A 正确；由 a21a22b21b22，得(a1a2)(a1a2)(b1b2)(b1b2)，则a1a2b1b2b1b2a1a2，由 a1b1，a2b2，可得 a1a2b1b2，则b1b2a1a21，即有a1a2b1b21，又 b1b2，所以 b1b20，所以 a1a2b1b2，故 D 正确；由已知条件无法判断a1a2b1b2正确故选ACD.2(多选)设椭圆的方程为x22y241，斜率为 k 的直线不经过原点 O，而且与椭
13、圆相交于 A，B 两点，M 为线段 AB 的中点下列结论正确的是()A直线 AB 与 OM 垂直B若点 M 的坐标为(1,1)，则直线方程为 2xy30C若直线方程为 yx1，则点 M 的坐标为13，43D若直线方程为 yx2，则|AB|4 23BD 对于 A 选项，根据椭圆的中点弦的性质得 kABkOM4221，所以 A 不正确；对于 B 选项，根据题意得，kOM1，又 kABkOM2，所以 kAB2，所以直线方程为 y12(x1)，即 2xy30，所以 B 正确；对于 C 选项，若直线方程为 yx1，点 M 的坐标为13，43，则 kABkOM1442，所以 C 不正确；对于 D 选项，若
14、直线方程为 yx2，与椭圆方程x22y241 联立，消去 y 得 2x2(x2)240，整理得 3x24x0，解得 x10，x243，所以|AB|112|043|4 23，所以 D 正确3已知椭圆 C 的两个焦点为 F1(1，0)，F2(1,0)，且经过点 E3，32.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)过 F1 的直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点(点 A 位于 x 轴上方)，若AF1 2F1B，求直线l 的斜率 k 的值解(1)设椭圆 C 的方程为x2a2y2b21(ab0)，由2a|EF1|EF2|4，a2b2c2，c1，解得a2，c1，b 3，所以椭圆 C 的标准方程为x24y2
15、31.(2)由题意得直线 l 的方程为 yk(x1)(k0)，联立ykx1，x24y231，整理得3k24 y26ky90，则 144k2 1440，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1y26k34k2，y1y2 9k234k2，又AF1 2F1B，所以 y12y2，所以 y1y22(y1y2)2，则 34k28，解得 k 52，又 k0，所以 k 52.1(2020湖州模拟)已知直线 xmy2(mR)与椭圆x29y251 相交于 A，B 两点，则|AB|的最小值为_；若|AB|307，则实数 m 的值是_103 1 易知直线 xmy2 恒过点(2,0)，而点(2,0)恰为椭圆x2
16、9y251 的右焦点，则|AB|的最小值即为通径长2b2a 103，联立xmy2，x29y251，消去 x 得，(5m29)y220my250，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1y2 20m5m29，y1y2255m29，则|AB|x1x22y1y22m21y1y22 m21y1y224y1y2 m21 20m5m292 1005m29307，解得 m1.2已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)过点 P(2 3，3)，且两焦点与短轴的一个顶点的连线构成等腰直角三角形(1)求椭圆 C 的方程；(2)过(0，1)的直线 l 交椭圆于 A，B 两点，试问：是否存在一个定点 T，使得
17、以线段AB 为直径的圆恒过点 T？若存在，求出点 T 的坐标；若不存在，请说明理由解(1)因为椭圆 C 的两焦点与短轴的一个顶点的连线构成等腰直角三角形，所以 a 2b.所以椭圆 C 的方程为 x22b2y2b21.又椭圆 C 经过点 P(2 3，3)，代入椭圆方程得 b3.所以 a3 2.故所求椭圆方程为x218y291.(2)由已知动直线 l 过(0，1)点当 l 与 x 轴平行时，以 AB 为直径的圆的方程为 x2(y1)216；当l与y轴重合时，以AB为直径的圆的方程为x2y29.所以两圆相切于点(0,3)，即两圆只有一个公共点因此，所求点 T 如果存在，只能是点(0,3)以下证明以
18、AB 为直径的圆恒过点 T(0,3)当 l 与 x 轴垂直时，以 AB 为直径的圆过点 T(0,3)当 l 与 x 轴不垂直时，设 l：ykx1.由ykx1，x218y291得(2k21)x24kx160.由(0，1)在椭圆内部知 0 成立设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x24k2k21，x1x2 162k21.又TA(x1，y13)，TB(x2，y23)，所以TATBx1x2(y13)(y23)x1x2(kx14)(kx24)(1k2)x1x24k(x1x2)16(1k2)162k214k4k2k21160.所以 TATB，即以 AB 为直径的圆恒过点 T(0,3)所以存在一个定点 T(0,3)满足条件.
