1、题型练10大题综合练(二)题型练第76页一、解答题1.已知数列bn的前n项和为Sn,Sn+bn=2,等差数列an满足b1a2=3,b1+a5=7.(1)求数列an,bn的通项公式;(2)证明:a1b2+a2b3+anbn+10,a1b2+a2b3+anbn+13.2.(2019全国,理17)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,点E在棱AA1上,BEEC1.(1)证明:BE平面EB1C1;(2)若AE=A1E,求二面角B-EC-C1的正弦值.答案：(1)证明由已知得,B1C1平面ABB1A1,BE平面ABB1A1,故B1C1BE.又BEEC1,所以BE平面EB1C1.(
2、2)解由(1)知BEB1=90.由题设知RtABERtA1B1E,所以AEB=45,故AE=AB,AA1=2AB.以D为坐标原点,DA的方向为x轴正方向,|DA|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则C(0,1,0),B(1,1,0),C1(0,1,2),E(1,0,1),CB=(1,0,0),CE=(1,-1,1),CC1=(0,0,2).设平面EBC的法向量为n=(x,y,z),则CBn=0,CEn=0,即x=0,x-y+z=0,所以可取n=(0,-1,-1).设平面ECC1的法向量为m=(x,y,z),则CC1m=0,CEm=0,即2z=0,x-y+z=0,所以可取m=(1,
3、1,0).于是cos=nm|n|m|=-12.所以,二面角B-EC-C1的正弦值为32.3.某工厂生产A,B两种产品,其质量按测试指标划分,指标大于或等于88为合格品,小于88为次品.现随机抽取这两种产品各100件进行检测,检测结果统计如下:测试指标80,84)84,88)88,92)92,96)96,100产品A61442317产品B81740305(1)试分别估计产品A,B为合格品的概率;(2)生产1件产品A,若是合格品则盈利45元,若是次品则亏损10元;生产1件产品B,若是合格品则盈利60元,若是次品则亏损15元.在(1)的前提下,X为生产1件产品A和1件产品B所得的总利润,求随机变量X
4、的分布列和数学期望;求生产5件产品B所得利润不少于150元的概率.解：(1)由题意知,产品A为合格品的概率约为42+31+7100=45,产品B为合格品的概率约为40+30+5100=34.(2)随机变量X的所有可能取值为-25,30,50,105.P(X=-25)=1-451-34=120;P(X=30)=451-34=15;P(X=50)=1-4534=320;P(X=105)=4534=35.所以随机变量X的分布列为X-253050105P1201532035E(X)=(-25)120+3015+50320+10535=75.25.生产的5件产品B中,合格品为3,4,5件时,所得利润不少
5、于150元,记“生产5件产品B所得利润不少于150元”为事件M,则P(M)=C53343142+C5434414+C55345=459512.4.设椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)过M(2,2),N(6,1)两点,O为坐标原点.(1)求椭圆E的方程;(2)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且OAOB?若存在,写出该圆的方程,并求|AB|的取值范围:若不存在,请说明理由.解：(1)将M,N的坐标代入椭圆E的方程,得4a2+2b2=1,6a2+1b2=1,解得a2=8,b2=4.所以椭圆E的方程为x28+y24=1.(2)假设满足题意的圆存在,其方程
6、为x2+y2=R2,其中0R2.设该圆的任意一条切线AB和椭圆E交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,当直线AB的斜率存在时,令直线AB的方程为y=kx+m,将其代入椭圆E的方程并整理,得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-8=0.由根与系数的关系,得x1+x2=-4km2k2+1,x1x2=2m2-82k2+1.因为OAOB,所以x1x2+y1y2=0.将y1=kx1+m,y2=kx2+m代入,得(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0.将代入,得m2=83(1+k2).因为直线AB和圆相切,所以R=|m|1+k2,将其代入得R=263,所以存在圆x2+y2=83满足题意.
7、当切线AB的斜率不存在时,易得x12=x22=83,由椭圆E的方程得y12=y22=83,显然OAOB.综上所述,存在圆x2+y2=83满足题意.如图,过原点O作ODAB,垂足为D,则D为切点,设OAB=,则为锐角,且|AD|=263tan,|BD|=263tan,所以|AB|=263tan+1tan.因为2|OA|22,所以22tan2.令x=tan,易证:当x22,1时,|AB|=263x+1x单调递减;当x1,2时,|AB|=263x+1x单调递增.所以463|AB|23.5.(2020全国,理21)设函数f(x)=x3+bx+c,曲线y=f(x)在点12,f12处的切线与y轴垂直.(1
8、)求b;(2)若f(x)有一个绝对值不大于1的零点,证明:f(x)所有零点的绝对值都不大于1.答案：(1)解f(x)=3x2+b,依题意得f12=0,即34+b=0.故b=-34.(2)证明由(1)知f(x)=x3-34x+c,f(x)=3x2-34.令f(x)=0,解得x=-12或x=12.f(x)与f(x)的情况为:x-,-12-12-12,121212,+f(x)+0-0+f(x)c+14c-14因为f(1)=f-12=c+14,所以当c14时,f(x)只有小于-1的零点.由题设可知-14c14.当c=-14时,f(x)只有两个零点-12和1.当c=14时,f(x)只有两个零点-1和12.当-14c14时,f(x)有三个零点x1,x2,x3,且x1-1,-12,x2-12,12,x312,1.综上,若f(x)有一个绝对值不大于1的零点,则f(x)所有零点的绝对值都不大于1.
