1、第2节空间几何体的表面积与体积最新考纲核心素养考情聚焦了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式1.空间几何体的表面积与侧面积、体积公式的学习与运用，达成直观想象、数学抽象和数学运算的素养2.球与空间几何体的接、切问题，提升直观想象和数学运算的素养本部分是高考的重点内容，涉及空间几何体的表面积与体积计算等内容，命题形式以选择题、填空题为主，主要考查空间几何体的表面积、体积的计算等问题，解题要求有较强的空间想象能力和计算能力，广泛应用转化与化归思想1常见几何体的侧面展开图名称侧面展开图侧面展开图棱柱矩形圆柱矩形棱锥共顶点的三角形圆锥扇形棱台若干个小梯形圆台扇环2.常见旋转体的表(侧)面积名称
2、图形表面积侧面积圆柱S2r22rl2r(rl)S侧2rl圆锥Sr2rlr(rl)S侧rl圆台S(r2r2rlrl)S侧(rr)l球S4r23.常见空间几何体的体积公式(1)设棱(圆)柱的底面积为S，高为h，则体积VSh.(2)设棱(圆)锥的底面积为S，高为h，则体积VSh.(3)设棱(圆)台的上、下底面面积分别为S，S，高为h，则体积V(SS)h.(4)设球半径为R，则球的体积VR3.1.长方体的外接球球心：体对角线的交点；半径：r(a，b，c为长方体的长、宽、高)2正方体与球(1)正方体的内切球：截面图为正方形EFHG的内切圆，如图所示设正方体的棱长为a，则|OJ|r(r为内切球半径)(2)
3、与正方体各棱相切的球：截面图为正方形EFHG的外接圆，则|GO|Ra.3正四面体与球如图，设正四面体的棱长为a，内切球的半径为r，外接球的半径为R，取AB的中点为D，连接CD，SE为正四面体的高，在截面三角形SDC内作一个与边SD和DC相切，圆心在高SE上的圆因为正四面体本身的对称性，内切球和外接球的球心同为O.此时，COOSR，OEr，SEa，CEa，则有Rra，R2r2|CE|2，解得Ra，ra.4三条侧棱互相垂直的三棱锥的外接球(1)如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且相等，则可以补形为一个正方体，正方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心即三棱锥A1AB1D1的外接球的球心和正方体ABC
4、DA1B1C1D1的外接球的球心重合如图，设AA1a，则Ra.(2)如果三棱锥的三条侧棱互相垂直但不相等，则可以补形为一个长方体，长方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心R2(l为长方体的体对角线长)思考辨析判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“”，错误的打“”(1)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2S.()(2)设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为3a2.()(3)若一个球的体积为4，则它的表面积为12.()(4)在ABC中，AB2，BC3，ABC120，使ABC绕直线BC旋转一周所形成的几何体的体积
5、为9.()(5)将圆心角为，面积为3的扇形作为圆锥的侧面，则圆锥的表面积等于4.()(6)将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使BDa，则三棱锥DABC的体积为a3.()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)小题查验1圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84，则圆台较小底面的半径为()A7B6C5D3解析：A设圆台较小底面半径为r，则另一底面半径为3r.由S(r3r)384，解得r7.2(2016全国卷)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )A12 B. C8 D4解析：A设正方体的棱长为a，则a38，解得a2.设球的半径为R，
6、则2Ra，即R.所以球的表面积S4R212.3(2019平顶山市一模)高为5，底面边长为4的正三棱柱形容器(下有底)内，可放置最大球的半径是()A. B2 C. D.解析：B由题意知，正三棱柱形容器内有一个球，其最大半径为r，r即为底面正三角形的内切圆半径底面边长为4的正三角形，则r2，故选B.4人教A版教材P28A组T3改编如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为_解析：设长方体的相邻三条棱长分别为a，b，c，它截出棱锥的体积V1abcabc，剩下的几何体的体积V2abcabcabc，所以V1V2147.答案：1475一个空间几何体的所
7、有棱长均为1 cm，其表面展开图如图所示，则该空间几何体的体积V_cm3.解析：由表面展开图可知，该几何体下面是一个边长为1的正方体，其体积为1；上面是一个棱长为1的正四棱锥，其体积为11 .答案：1考点一空间几何体的表面积与侧面积(自主练透)题组集训1轴截面为正方形的圆柱的侧面积与全面积的比是()A12B23C13 D14解析：B设圆柱的底面圆半径为r，母线长为l，依题意得l2r，而S侧2rl，S全2r22rl，S侧S全2rl(2r22rl)23.2圆台的母线长扩大到原来的n倍，两底面半径都缩小为原来的，那么它的侧面积为原来的_倍解析：设改变之前圆台的母线长为l，上底半径为r，下底半径为R，
8、则侧面积为(rR)l，改变后圆台的母线长为nl，上底半径为，下底半径为，则侧面积为nl(rR)l，故它的侧面积为原来的1倍答案：13.如图所示，在直三棱柱A1B1C1ABC中，ACBC，AC4，BCCC12.若用平行于三棱柱A1B1C1ABC的某一侧面的平面去截此三棱柱，使得到的两个几何体能够拼接成长方体，则长方体表面积的最小值为_解析：由题意知，拼接后的长方体有两种情形：一是长方体的高为2，底面是边长为2的正方形；二是长方体的高为2，底面是长为4，宽为1的矩形所以其表面积分别为24,28，故长方体表面积的最小值为24.答案：24几何体表面积的求法(1)求解有关多面体表面积的问题，关键是找到其
9、特征几何图形，如棱柱中的矩形，棱台中的直角梯形，棱锥中的直角三角形，它们是联系高与斜高、边长等几何元素的桥梁，从而架起侧面积公式中的未知量与条件中已知几何元素的联系(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和提醒：组合体的表面积应注意重合部分的处理考点二空间几何体的体积(师生共研)典例(1)中国古代数学名著九章算术中记载：“今有羡除”刘徽注：“羡除，隧道也其所穿地，上平下邪”现有一个羡除如图所示，四边形ABCD、ABFE、CDEF均为等腰梯形，ABCDEF，AB6，CD8，EF10，EF到平面ABCD的距离为3，CD与AB间的距
10、离为10，则这个“羡除”的体积是()A110B116C118 D120直观想象、数学建模与数学运算空间几何体体积公式在实际问题应用中的核心素养以学习的空间几何体的体积为基础，通过对实际问题的抽象，转化为立体几何问题，结合图形和数据，采用适当的方法得以求解，体现了直观想象、数学建模和数学运算的核心素养具体见下表：信息提取信息解读直观想象、数学建模、数学运算题图为一羡除，四边形ABCD、ABFE、CDEF均为等腰梯形，ABCDEF，AB6，CD8，EF10，EF到平面ABCD的距离为3，CD与AB间的距离为10EF到平面ABCD的距离为3即等腰梯形ABFE的高；CD与AB间的距离为10即等腰梯形A
11、BCD的高方法一(补形法)：根据所给图形，将该羡除分割后补形为一个直三棱柱，其底面为直角三角形，两直角边分别为10和3.棱柱的高为8.然后利用柱体的体积公式进行计算方法二(分割法)：将该羡除分割为一个底面为等腰梯形ABCD，高为3的四棱锥和一个底面为三角形BFE，高为10的三棱锥然后利用椎体的体积公式进行计算求这个“羡除”的体积考虑使用空间几何体的体积公式 解析D方法一(补形法)：第一步，将该羡除分割补形如图1，过点A作APCD，AMEF，过点B作BQCD，BNEF，垂足分别为P，M，Q，N，连接PM，QN，将一侧的几何体补到另一侧，组成一个直三棱柱，底面积为10315.棱柱的高为8.第二步，
12、利用柱体的体积公式计算求出该羡除的体积所以该羡除的体积V158120.故选D.图1方法二(分割法)：第一步，将该羡除分割如图2, 连接CE，BE，DB，则这个“羡除”的体积VVEABCDVCBEF.因为VEABCD(68)10370，VCBEF1031050.第二步，利用椎体的体积公式计算求出该羡除的体积所以这个羡除的体积VVEABCDVCBEF7050120.故选D.图2(2)(2019全国卷)学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型如图，该模型为长方体ABCDA1B1C1D1挖去四棱锥OEFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，ABBC6 cm，A
13、A14 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为_g.解析此题牵涉到的是3D打印新时代背景下的几何体质量，忽略问题易致误，理解题中信息联系几何体的体积和质量关系，从而利用公式求解由题意得，四棱锥OEFGH的底面积为46423 cm212 cm2，其高为点O到底面BB1C1C的距离为3 cm，则此四棱锥的体积为V1123 cm312 cm3.又长方体ABCDA1B1C1D1的体积为V2466 cm3144 cm3，所以该模型体积为VV2V1(14412) cm3132 cm3，其质量为0.9132 g118.8 g.答案118.8(3)(2018
14、全国卷)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30，若SAB的面积为8，则该圆锥的体积为_解析如图所示，SAO30，设圆锥的底面圆半径为R，则SORtan 30R，SAR，又SASB，SAB的面积SSASB28.R2，圆锥的体积为VR2SOR3(2)38.答案8 与空间几何体的体积有关的常见题型与求解策略常见题型求解策略锥体、柱体、台体的体积问题根据题设条件求出所给几何体的底面积和高，直接套用公式求解球的体积问题直接利用球的体积公式求解，对于实际问题中要根据题意作出图形，构造直角三角形确定球的半径不规则几何体的体积问题常用分割或补形的思想，若几何体的底不规则，也需采
15、用同样的方法，将不规则的几何体或平面图形转化为规则的几何体或平面图形，易于求解提醒：求一些不规则几何体的体积常用割补的方法将几何体转化成已知体积公式的几何体进行解决跟踪训练(2017全国卷)如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O，D、E、F为圆O上的点，DBC，ECA，FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起DBC，ECA，FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥当ABC的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为_解析：如图，设正三角形ABC的边长为x，则OGxx.FGSG5x，SOh，三棱
16、锥的体积VSABChx2，令b(x)5x4x5，则b(x)20x3x4，令b(x)0,4x30，x4，Vmax484.答案：4考点三球与空间几何体的接、切问题(多维探究)命题角度1球的内切问题1(2016全国卷)在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球若ABBC，AB6，BC8，AA13，则V的最大值是( )A4B.C6D.解析：B由ABBC，AB6，BC8，得AC10.要使球的体积V最大，则球与直三棱柱的部分面相切若球与三个侧面相切，设底面ABC的内切圆的半径为r，则68(6810)r，所以r2,2r43，不合题意球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径R最大由2R3，即R.故球
17、的最大体积VR3.解决与球的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作跟踪训练(2019晋中市一模)四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为6的正方形，且PAPBPCPD，若一个半径为1的球与此四棱锥所有面都相切，则该四棱锥的高是()A6B5C.D.解析：D由题意，四棱锥PABCD是正四棱锥，球的球心O在四棱锥的高PH上过正四棱锥的高作组合体的轴截面，如图所示，其中PE，PF是斜高，A为球面与侧面的切点设PHh，由几何体可知，RtPAORtPHF，即，解得h.故选D.命题角度2球的相接问题2(2019
18、福州市一模)已知三棱锥PABC的四个顶点都在球O的表面上，PA平面ABC，ABBC，且PA8，若平面ABC截球O所得截面的面积为9，则球O的表面积为()A10 B25 C50 D100解析：D由题意，平面ABC截球O所得截面的面积为9，可得AC2r26，PC为球O的直径，PC10，球O的半径为5，球O的表面积为452100.故选D.3(2019重庆市模拟)已知四棱锥SABCD的所有顶点在同一球面上，底面ABCD是正方形且球心O在此平面内，当四棱锥体积取得最大值时，其面积等于1616，则球O的体积等于()A. B. C. D.解析：D由题意，当此四棱锥体积取得最大值时，四棱锥为正四棱锥，该四棱锥
19、的表面积等于1616，设球O的半径为R，则AC2R，SOR，如图，该四棱锥的底面边长为ABR，则有(R)24R1616，解得R2，球O的体积是R3.故选D.把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径跟踪训练(2019兴安盟一模)在三棱锥ABCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，ABC，ACD，ADB的面积分别为，则该三棱锥外接球的表面积为_解析：三棱锥ABCD中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的对角线就是球的直径侧棱AC、AB、AD两两垂直，ABC、ACD、ADB 的面积分别
20、为，ABAC，ADAC，ABAD，AB，AC1，AD，球的直径为，半径为，三棱锥外接球的表面积为46.答案：61(2017全国卷)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为()AB.C.D.解析：B如图，画出圆柱的轴截面AC1，AB，所以rBC，那么圆柱的体积是Vr2h21，故选B.2(2019黄山市一模)九章算术卷5商功记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺问积几何？答曰：二千一百一十二尺术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”就是说：圆堡瑽(圆柱体)的体积为V(底面圆的周长的
21、平方高)，则由此可推得圆周率的取值为()A3 B3.1 C3.14 D3.2解析：A圆堡瑽(圆柱体)的体积为V(底面圆的周长的平方高)，(2r)2hr2h，解得3.故选A.3(2018全国卷)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC为等边三角形且其面积为9，则三棱锥DABC体积的最大值为()A12 B18 C24 D54解析：B当三棱锥DABC体积最大时，点D到平面ABC的距离最大，设ABC的边长为a，由已知，a6，设ABC的中心为点E，则AEBECE2，设球心为点O，则rOAOBOC4，则OE2，故D到平面ABC的距离最大值为OEr246.则VDABC9618.4(2019深
22、圳市调研)如图所示，在平面四边形ABCD中，ABADCD1，BD，BDCD，将其沿对角线BD折成四面体ABCD，使平面ABD平面BCD，若四面体ABCD的顶点在同一个球面上，则该球的体积为()A. B3 C. D2解析：A如图，取BD的中点为E，BC的中点为O，连接AE，OD，EO，AO.因为ABAD，所以AEBD.由于平面ABD平面BCD，所以AE平面BCD.因为ABADCD1，BD，所以AE，EO.所以OA.在RtBDC中，OBOCODBC，所以四面体ABCD的外接球的球心为O，半径为.所以该球的体积V3.5(2019山东师大附中模拟)如图，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4，一只小虫
23、从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥爬行一周后回到点P处，若该小虫爬行的最短路程为4，则这个圆锥的体积为()A. B.C. D.解析：C作出该圆锥的侧面展开图，如图中阴影部分所示，该小虫爬行的最短路为PP，OPOP4，PP4，由余弦定理可得cosPOP，POP.设底面圆的半径为r，圆锥的高为h，则有2r4，r，h，圆锥的体积Vr2h.6如图，半球内有一内接正四棱锥SABCD，该四棱锥的体积为，则该半球的体积为_解析：设所给半球的半径为R，则棱锥的高hR，底面正方形中有ABBCCDDAR，其体积为R3，则R32，于是所求半球的体积为VR3.答案：7(2017高考全国卷)已知三棱锥SABC的所有顶点
24、都在球O的球面上，SC是球O的直径，若平面SCA平面SCB，SAAC，SBBC，三棱锥SABC的体积为9，则球O的表面积为_解析：取SC的中点O，连接OA，OB，因为SAAC，SBBC，所以OASC，OBSC，因为平面SCA平面SCB，所以OA平面SBC，设OAr，VASBCSSBCOA2rrrr3，所以r39r3，所以球的表面积为S4r236.答案：368(2019银川市模拟)把边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，此三棱锥的外接球的表面积的大小等于_解析：如图所示， 当平面BAC平面DAC时，三棱锥体积最大，取AC的中点E，连接BE和DE
25、，则BE平面DAC，且AEBECEDE，E是此三棱锥外接球的球心，且半径为；此三棱锥外接球的表面积为42 2.答案：29如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE平面ABCD.(1)证明：平面AEC平面BED；(2)若ABC120，AEEC，三棱锥EACD的体积为，求该三棱锥EACD的侧面积解：(1)证明：因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD.因为BE平面ABCD，AC平面ABCD，所以BEAC.而BDBEB，BD，BE平面BED，所以AC平面BED.又AC平面AEC，所以平面AEC平面BED.(2)设ABx，在菱形ABCD中，由ABC120，可得AGGCx，GBGD.因为AEE
26、C，所以在RtAEC中，可得EGx.由BE平面ABCD，知EBG为直角三角形，可得BEx.由已知得，三棱锥EACD的体积V三棱锥EACDACGDBEx3，故x2.从而可得AEECED.所以EAC的面积为3，EAD的面积与ECD的面积均为.故三棱锥EACD的侧面积为32.10(2019贵阳市质检)如图，ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，DC平面ABC，AB2，EB.(1)求证：DE平面ACD；(2)设ACx，V(x)表示三棱锥BACE的体积，求函数V(x)的解析式及最大值解：(1)证明四边形DCBE为平行四边形，CDBE，BCDE.DC平面ABC，BC平面ABC，DCBC.AB是圆O的直径，BCAC，且DCACC，DC，AC平面ACD，BC平面ACD.DEBC，DE平面ADC.(2)DC平面ABC，BE平面ABC.在RtABE中，AB2，EB.在RtABC中，ACx，BC(0x2)，SABCACBCx，V(x)V三棱锥EABCx(0x2)x2(4x2)24，当且仅当x24x2，即x时取等号，当x时，体积有最大值.
