1、10.1.2两角和与差的正弦学 习 目 标核 心 素 养1.能利用两角和与差的余弦公式及诱导公式推导出两角差的正弦公式、两角和的正弦公式(难点)2.能利用公式解决简单的化简、求值问题(重点)1.通过对两角和与差的正弦公式的推导，培养学生逻辑推理素养.2.通过应用两角和与差的正弦公式进行求值、化简和证明，培养学生数学运算和逻辑推理素养.若sin ，cos ，求cos()、sin()的值问题：探究上述思考题，并回答下列问题1求cos()，用到的公式是什么？2由问题1已经求得cos()，那么如何求sin()?3是否可直接求得sin()？如何推导？两角和与差的正弦公式(1)两角和的正弦公式：sin()
2、sin cos cos sin .(2)两角差的正弦公式：sin()sin cos cos sin .(3)辅助角公式asin xbcos x，令cos ，sin ，则有asin xbcos x(cos sin xsin cos x)sin(x)，其中tan ，为辅助角思考1：如何利用两角差的余弦公式和诱导公式得到两角和的正弦公式？提示：sin()coscoscoscos sinsin sin cos cos sin .思考2：如何推导两角差的正弦呢？提示：可以由sin()coscos得到，也可以由sin()sin()得到1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)sin 150sin 12
3、0sin 30.()(2)sin 60cos 30cos 60sin 30.()(3)，R时，sin()sin cos cos sin .()(4)sin 54 cos 24sin 36sin 24sin 30.()解析(1)公式错误(2)原式sin(6030)sin 901.(3)sin()sin cos cos sin .(4)原式sin 54cos 24cos 54sin 24sin(5424)sin 30.答案(1)(2)(3)(4)2sin cos _.原式222sin2sin .3.等于_原式sin 30.两角和与差的正弦公式的简单应用【例1】求下列各式的值：(1)sin 163s
4、in 223sin 253sin 313；(2).思路点拨(1)从角和“形”入手，转化成两角和(差)的正弦求值(2)注意角的差异与变换：55(605)，85905.解(1)原式sin 163sin(90133)sin(90163)sin(180133)sin 163cos 133cos 163sin 133sin(163133)sin 30.(2)原式1.1对于非特殊角的三角函数式，要想利用两角和与差的正弦、余弦公式求出具体数值，一般有以下三种途径(1)化为特殊角的三角函数值；(2)化为正负相消的项，消去求值；(3)化为分子、分母形式，进行约分再求值2在进行求值过程的变换中，一定要本着先整体后
5、局部的基本原则，先整体分析三角函数式的特点，如果整体符合三角公式，则整体变形，否则进行各局部的变换提醒：在逆用两角和与差的正弦和余弦公式时，首先要注意结构是否符合公式特点，其次注意角是否满足要求跟进训练1求下列各式的值：(1)sin 165；(2)sin 14cos 16sin 76cos 74；(3)sin(75)cos(45)cos(15)解(1)sin 165sin(18015)sin 15sin(4530)sin 45cos 30cos 45sin 30；(2)sin 14cos 16sin 76cos 74sin 14cos 16cos 14sin 16sin(1416)sin 30
6、；(3)sin(75)cos(45)cos(15)sin(1560)cos(1530)cos(15)sin(15)cos 60cos(15)sin 60cos(15)cos 30sin(15)sin 30cos(15)sin(15)cos(15)cos(15)sin(15)cos(15)0.给值求值【例2】已知0，cos，sin，求cos()的值思路点拨注意()，可通过求出和的正、余弦值来求cos()解由0，得0，.cos，sin，cos()sinsinsincoscossin.解此类问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示出来(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和
7、或差的形式(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”(3)角的拆分方法不唯一，可根据题目合理选择拆分方式跟进训练2已知，是锐角，且sin ，cos()，求sin 的值解是锐角，且sin ，cos .又cos()，均为锐角，sin().sin sin()sin()cos cos()sin .形如asin xbcos x的函数的化简及应用探究问题1把sin xcos x化成Asin(x)的形式.提示sin xcos xcossin xsincos xsin.2.sin xcos x如何化成Asin(x)的形式？提示sin
8、 xcos x22sin.【例3】已知函数f(x)2sin2cos x，x，求函数f(x)的值域思路点拨先将函数f(x)化简为f(x)asin xbcos x的形式，然后化为f(x)sin(x)的形式解决解f(x)2sin2cos xsin xcos x2sin，x，x.sin1.函数f(x)的值域为1，21(变结论)本例条件不变，将函数f(x)用余弦函数表示解f(x)sin xcos x2222cos.2(变结论)本例条件不变，求函数f(x)的单调区间解f(x)2sin，由2kx2k，得2kx2k，与x取交集得x，函数f(x)的单调递增区间为；由2kx2k，得2kx2k，与x取交集得x，函数
9、f(x)的单调递减区间为.一般地，对于asin bcos 形式的代数式，可以提取，化为Asin(x)的形式，公式asin bcos sin()(或asin bcos cos()称为辅助角公式利用辅助角公式可对代数式进行化简或求值提醒：在使用辅助角公式时常因把辅助角求错而致误1本节课的重点是两角和与差的正弦公式，难点是公式的灵活应用2使用和差公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简sin cos()cos sin()时，不要将cos()和sin()展开，而应采用整体思想，作如下变形：sin cos()cos sin()sin()sin()sin .3运用两角和差公式求值、化简、证明时要注意灵
10、活进行三角变换，有效地沟通条件中的角与问题结论中的角之间的联系，运用恰当的公式快速求解1sin 20cos 10cos 160sin 10()ABCDA原式sin 20cos 10cos 20sin 10sin(2010)sin 30.2已知，sin()，sin，则sin_.由题意知，sin()0，所以cos()，因为，所以cos，sinsinsin()coscos()sin.3若是锐角，且满足sin，则sin 的值为_是锐角，0，又sin，cos.sin sinsincoscossin.4若函数f(x)sincos.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)的值域解f(x)sincossin 2xcoscos 2xsincos 2xcos sin 2xsinsin 2xcos 2xcos 2xsin 2xcos 2x.(1)T.(2)cos 2x1，1，f(x)1，1
