1、考点规范练49椭圆基础巩固1.已知椭圆的焦点坐标为(-5,0)和(5,0),椭圆上一点与两焦点的距离和是26,则椭圆的方程为()A.=1B.=1C.=1D.=12.已知椭圆=1的离心率为,则k的值为()A.-B.21C.-或21D.或213.若曲线ax2+by2=1是焦点在x轴上的椭圆,则实数a,b满足()A.a2b2B.C.0abD.0ba4.已知圆M:x2+y2+2mx-3=0(mb0)的离心率等于,其焦点分别为A,B,C是椭圆上异于长轴端点的任意一点,则在ABC中,的值等于.导学号372703628.(2016江苏,10)如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆=1(ab0)的右焦点,直
2、线y=与椭圆交于B,C两点,且BFC=90,则该椭圆的离心率是.导学号372703639.(2016山西朔州模拟)已知F1,F2分别为椭圆+y2=1的左、右焦点,过F1的直线l与椭圆交于不同的两点A,B,连接AF2和BF2.(1)求ABF2的周长;(2)若AF2BF2,求ABF2的面积.导学号3727036410.(2016北京,理19)已知椭圆C:=1(ab0)的离心率为,A(a,0),B(0,b),O(0,0),OAB的面积为1.(1)求椭圆C的方程;(2)设P是椭圆C上一点,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N,求证:|AN|BM|为定值.导学号37270365能力提升11.已
3、知P是椭圆=1(0bb0)与双曲线=1(m0,n0)有相同的焦点(-c,0)和(c,0),若c是a,m的等比中项,n2是2m2与c2的等差中项,则椭圆的离心率为()A.B.C.D.导学号3727036713.已知椭圆=1(ab0)的右焦点F(c,0)关于直线y=x的对称点Q在椭圆上,则椭圆的离心率是.14.已知椭圆C:9x2+y2=m2(m0),直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.(1)证明:直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值;(2)若l过点,延长线段OM与C交于点P,四边形OAPB能否为平行四边形?若能,求此时l的斜率;若不能,说明理由.导学号37
4、270368高考预测15.椭圆C:=1(ab0)的上顶点为A,P是C上的一点,以AP为直径的圆经过椭圆C的右焦点F.(1)求椭圆C的方程;(2)动直线l与椭圆C有且只有一个公共点,问:在x轴上是否存在两个定点,它们到直线l的距离之积等于1?如果存在,求出这两个定点的坐标;如果不存在,说明理由.导学号37270369参考答案考点规范练49椭圆1.A解析 由题意知a=13,c=5,则b2=a2-c2=144.又椭圆的焦点在x轴上,椭圆方程为=1.2.C解析 若a2=9,b2=4+k,则c=,由,即,得k=-;若a2=4+k,b2=9,则c=,由,即,解得k=21.3.C解析 由ax2+by2=1,
5、得=1,因为焦点在x轴上,所以0,所以0ab.4.C解析 圆M的方程可化为(x+m)2+y2=3+m2,则由题意得m2+3=4,即m2=1(m|MN|,由椭圆定义知,P的轨迹是椭圆.6.B解析 设椭圆的一个顶点坐标为(0,b),一个焦点坐标为(c,0),则直线l的方程为=1,即bx+cy-bc=0,短轴长为2b,由题意得2b,与b2+c2=a2联立得a=2c,故e=7.3解析 在ABC中,由正弦定理得,因为点C在椭圆上,所以由椭圆定义知|CA|+|CB|=2a,而|AB|=2c,所以=3.8解析 由题意得B,C,F(c,0),所以因为BFC=90,所以=0.所以c2-=0.又a2-b2=c2,
6、所以3c2=2a2,即,所以e=9.解 (1)F1,F2分别为椭圆+y2=1的左、右焦点,过F1的直线l与椭圆交于不同的两点A,B,连接AF2和BF2.ABF2的周长为|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=4(2)设直线l的方程为x=my-1,由得(m2+2)y2-2my-1=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=,y1y2=-AF2BF2,=0,=(x1-1)(x2-1)+y1y2=(my1-2)(my2-2)+y1y2=(m2+1)y1y2-2m(y1+y2)+4=-2m+4=0.m2=7.ABF2的面积S=|F1F2|10.解 (1)由题意得解得a=2,
7、b=1.所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)由(1)知,A(2,0),B(0,1).设P(x0,y0),则+4=4.当x00时,直线PA的方程为y=(x-2).令x=0,得yM=-,从而|BM|=|1-yM|=直线PB的方程为y=x+1.令y=0,得xN=-,从而|AN|=|2-xN|=所以|AN|BM|=4.当x0=0时,y0=-1,|BM|=2,|AN|=2,所以|AN|BM|=4.综上,|AN|BM|为定值.11.C解析 设椭圆右焦点为F2,取PF1的中点M,连接OM,=2,则|OM|=4,在F1PF2中,OM是中位线.故PF2的长等于8,|PF1|+|PF2|=2a=10,解得|PF1
8、|=2,故选C.12.C解析 因为椭圆=1(ab0)与双曲线=1(m0,n0)有相同的焦点(-c,0)和(c,0),所以c2=a2-b2=m2+n2.因为c是a,m的等比中项,n2是2m2与c2的等差中项,所以c2=am,2n2=2m2+c2,所以m2=,n2=,所以=c2,化为,所以e=13解析 设Q(x0,y0),则解得因为点Q在椭圆上,所以=1,化简得a4c2+4c6-a6=0,即4e6+e2-1=0.即4e6-2e4+2e4+e2-1=0,即(2e2-1)(2e4+e2+1)=0.所以e=14.(1)证明 设直线l:y=kx+b(k0,b0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(x
9、M,yM).将y=kx+b代入9x2+y2=m2得(k2+9)x2+2kbx+b2-m2=0,故xM=,yM=kxM+b=于是直线OM的斜率kOM=-,即kOMk=-9.所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值.(2)解 四边形OAPB能为平行四边形.因为直线l过点,所以l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k0,k3.由(1)得OM的方程为y=-x.设点P的横坐标为xP.由,即xP=,将点的坐标代入l的方程得b=,因此xM=四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分,即xP=2xM.于是=2,解得k1=4-,k2=4+因为ki0,ki3,i=1,2,所以当l的斜率为4-或4
10、+时,四边形OAPB为平行四边形.15.解 (1)F(c,0),A(0,b),由题设可知=0,得c2-c+=0,又点P在椭圆C上,可知=1,即a2=2.又b2+c2=a2=2,联立,解得c=1,b2=1.故所求椭圆的方程为+y2=1.(2)当直线l的斜率存在时,设其方程为y=kx+m,代入椭圆方程,消去y,整理得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-2=0.(*)因为方程(*)有且只有一个实根,又2k2+10,所以=0,得m2=2k2+1.假设存在M1(1,0),M2(2,0)满足题设,则由d1d2=1对任意的实数k恒成立,所以解得当直线l的斜率不存在时,经检验符合题意.综上,存在两个定点M1(1,0),M2(-1,0),使它们到直线l的距离之积等于1.
