1、1人大附中高三年级 2021 数学收官考试之期末模拟一、单选题(共 40 分)1.设集合3|0,1 2 3log1ABxx,,则RAC B()A.0.1B.1,2C.1,3D.0,32.集合 1|1Mz ztti tR,下列命题中不正确的是()A.MR B.0MC.若 zM,则 z 在复平面上所对应的点一定不在第四象限D.若 zM,2z,则 z 不一定是纯虚数3.如图,角,均以 Ox 为始边,终边与单位圆 O 分别交于 A,B,则 OA OB()A.sin(-)B.sin(+)C.cos(-)D.cos(+)4.已知,表示两个不同的平面,l 表示一条直线,且,则 l是 l/的A.充分不必要条件
2、B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知直线 1 3470lxy:与直线2 6110lxmym:平行,则 1l 与2l 之间的距离为()A.1B.2C.3D.46.若2()()()xxf xeeaxbxc是偶函数,则一定有()A.b=0B.ac=0C.a=0 且 c=0D.a=0,c=0 且 b027.如图,某建筑物是数学与建筑的完美结合.该建筑物外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分,且此双曲线222210,0yxabab的下焦点到渐近线的距离为 3,离心率为 2,则该双曲线的标准方程为()A.2213yxB.2213xy C.22193yxD.22139yx8.对圆
3、221xy 上任意一点(,)P x y,若 34349xyaxy的值都与 x,y 无关,则实数 a 的取值范围是()A.5a B.-5a5C.5a 或5a D.5a 9.已知正方体1111ABCDA B C D中,点 P、Q、R 分别是线段11BBABAC、上的动点,观察直线 CP 与1D Q,CP 与1D R,得出下列结论:对于任意给定的点 Q,存在点 P,使得1CPD Q;对于任意给定的点 P,存在点 Q,使得1D QCP;对于任意给定的点 R,存在点 P,使得1CPD R;对于任意给定的点 P,存在点 R,使得1D RCP;其中正确的结论是()A.B.C.D.10.若数列 na满足:0A
4、 BR AB,,使得对于*nN,都有21nnnaAaBa,则称 na具有“三项相关性”下列说法正确的有()若 na是等差数列,则 na具有“三项相关性”若 na是等比数列,则 na具有“三项相关性”若 na是周期数列,则 na具有“三项相关性”若 na具有正项“三项相关性”,且正数 A,B 满足 A+1=B,12aaB,nnbB,na与 nb的前 n 项和分别为,nnS T 则对*nN,nnST恒成立.A.B.C.D.3二、填空题(共 25 分)11.53212xx的展开式中的常数项是_.12.10 名工人某天生产工艺零件,生产的件数分别是 19,19,20,20,13,14,17,18,22
5、,22,那么数据的 80%分位数是_.13.已知抛物线2:C yax的准线方程为18x ,则 a=_.14.小明正在考数学期末模拟,写到了填空题的第 15 题,只有完全选对得 5 分,一旦错选或者少选得 0 分。已经题目有四个选项,小明根据平日掌握的知识和方法很快判断出了正确,错误。无法确定,但是小明依然冷静地分析后判断:有 23的可能性是对的,有 13的可能性是对的,假设小明判断正确,那么他应该选择_.15.对于函数 sin,0,212,2,2x xff xxx,下列 4 个结论正确的是_.(只有完全选对才得 5 分,一旦错选或者少选得 0 分).任取12,0,x xx,都有 122f xf
6、 x;22()f xkf xkKN,对一切0)x,恒成立;若关于 x 的方程 0f xm m有且只有两个不同的实根12,x x,则123xx;函数 ln 1yf xx有 5 个零点4三、解答题(共 90 分)16.(13 分)已知ABC 同时满足下列四个条件中的三个:3A2cos3B a=14b=6(1)请指出这三个条件,并说明理由;(2)求ABC 的面积.17.(13 分)玩具柜台元旦前夕促销,就在 12 月 31 日购买甲、乙系列的盲盒,并且集齐所有的产品就可以赠送大奖.而每个甲系列盲盒可以开出玩偶 A1,A2,A3,中的一个,每个乙系列盲盒可以开出玩偶,B2 中的一个.(1)记事件nE:
7、一次性购买 n 个甲系列盲盒后集齐 A1,A2,A3 玩偶;事件nF:一次性购买 n个乙系列盲盒后集齐,B2 玩偶;求6P E及5P F;(2)柜台对甲、乙两个系列的盲盒进行饥饿营销,每个消费者每天只有一次购买机会,且购买时,只能选择其中一个系列的一个盲盒.通过统计发现:第一次购买盲盒的消费者购买甲系列的概率为 15,购买乙系列的概率为 45:而前一次购买甲系列的消费者下一次购买甲系列的概率为 14,购买乙系列的概率为 34,前一次购买乙系列的消费者下一次购买甲系列的概率为 12,购买乙系列的概率为 12:如此往复,记某人第 n 次购买甲系列的概率为nQ.求2Q;若礼品店每卖出一个甲系列的盲盒
8、可获利 30 元,卖出一个乙系列的盲盒可获利 20 元,由样本估计总体,若礼品店每天可卖出 1000 个盲盒,且买的人之前都已购买过很多次这两个系列的盲盒,估计该礼品店每天利润为多少元(直接写出答案).518.(14 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA面 ABCD,AB/CD,且 CD=2,PA=AB=BC=1,ABBC.(1)求证:ADPC;(2)求锐二面角 D-PC-B 的余弦值;(3)若 PB 的中点为 M,判断直线 AM 与平面 PDC 是否相交,如果相交,求出 P 到交点 H 的距离,如果不相交,说明理由.19.(15 分)已知椭圆22221xyab 的短轴长为 2 2,直线
9、2:al xc与 x 轴交于点 A,椭圆的右焦点为 F,|OF|=2|FA|,过点 A 的直线与椭圆交于 P,Q 两点.(1)直接写出椭圆的方程及离心率;(2)若0OP OQ,求直线 PQ 的方程;(3)过点 P 且垂直于 x 轴的直线交椭圆于另一点 M,证明:O,F,M 三点共线,并直接写出AMQ 面积的最大值.620.(15 分)已知函数 2xf xexaxa(1)当 a=1 时,求函数的单调区间:(2)若关于 x 的不等式 af xe在a,+)上有解,求实数 a 的取值范围;(3)若曲线 yf x存在两条互相垂直的切线,直接写出实数 a 的取值范围.21.(15 分)定义圈数列123nX
10、xxxn:,;X 为一个非负整数数列,且规定nx 的下一项为1x,记011,nnxxxx,这样kx 的相邻两项可以统一表示为11kkxx,k=1,2,3,n(1x的相邻两项为02xx,即2nxx,;nx 的相邻两项为11nnxx,).定义圈数列 X 做了一次 P 运算:选取一项2kx,将圈数列 X 变为圈数列121211,1kkkP Xxxxxx:,,即将kx 减2,相邻两项各加 1,其余项不变.并记下标 k 输出了一次.记 X 进行过 i 次 P 运算后数列为1,2,:,iiiinxxXx,(规定0XX)(1)若 X:4,0,0,直接写出一组可能的 X1,X2,X3,X4;(2)若进行 q
11、次 P 运算后(q0),有qXX,此时下标 k 输出的总次数为ka,记0naa,11naa 直接写出一组非负实数,使得11kkkaaa对任意 k=1,2,3,n,都成立,并证明1ka ;(3)若 X:n+1,0,0,0,证明:存在 M,当正整数 kM 时,kX 中至少有一半的项非零.7人大附中高三年级 2021 数学收官考试之期末模拟一、单选题(共 40 分)1.设集合3|0,1 2 3log1ABxx,,则RAC B()A.0.1B.1,2C.1,3D.0,3解析:|03Bxx,|03RC Bx xx或,0 3RAC B,,选 D.2.集合 1|1Mz ztti tR,下列命题中不正确的是(
12、)A.MR B.0MC.若 zM,则 z 在复平面上所对应的点一定不在第四象限D.若 zM,2z,则 z 不一定是纯虚数解析:对于 A,当1t 时,2MR ,故选 A.3.如图,角,均以 Ox 为始边,终边与单位圆 O 分别交于 A,B,则 OA OB()A.sin(-)B.sin(+)C.cos(-)D.cos(+)解析:(cos,sin)(cos,sin)coscossinsincos()OA OB,选 C.4.已知,表示两个不同的平面,l 表示一条直线,且,则 l是 l/的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:前推后,有可能 l 平面,后推前,l
13、可能与平面相交,平行,也可能l 平面,选 D.85.已知直线 1 3470lxy:与直线2 6110lxmym:平行,则 1l 与2l 之间的距离为()A.1B.2C.3D.4解析:两线平行,3(1)46m ,则7m,227(3)102534d,选 B.6.若2()()()xxf xeeaxbxc是偶函数,则一定有()A.b=0B.ac=0C.a=0 且 c=0D.a=0,c=0 且 b0解析:xxyee为奇函数,故2yaxbxc也为奇函数,故0ac,选 C.7.如图,某建筑物是数学与建筑的完美结合.该建筑物外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分,且此双曲线222210,0yxabab的下焦
14、点到渐近线的距离为 3,离心率为 2,则该双曲线的标准方程为()A.2213yxB.2213xy C.22193yxD.22139yx解析:由题联立22232bceacab,解得32 33bca,又焦点在 y 轴上,故选 D.8.对圆221xy 上任意一点(,)P x y,若 34349xyaxy的值都与 x,y 无关,则实数 a 的取值范围是()A.5a B.-5a5C.5a 或5a D.5a 解析:当9a 时,符合题意,排除 B,D;当5a 时,(1,0)P时,值为 12,(0,1)P时,值为 2,排除 C,选 A.99.已知正方体1111ABCDA B C D中,点 P、Q、R 分别是线
15、段11BBABAC、上的动点,观察直线 CP 与1D Q,CP 与1D R,得出下列结论:对于任意给定的点 Q,存在点 P,使得1CPD Q;对于任意给定的点 P,存在点 Q,使得1D QCP;对于任意给定的点 R,存在点 P,使得1CPD R;对于任意给定的点 P,存在点 R,使得1D RCP;其中正确的结论是()A.B.C.D.解析:对于,当取 P 与1B 重合时,1CPABD 平面,则1CPD Q,正确,排除 B、D;对于,很容易找到反例,当取 R 与1A 重合时,不存在,错误,排除 A,故选 C.10.若数列 na满足:0A BR AB,,使得对于*nN,都有21nnnaAaBa,则称
16、 na具有“三项相关性”下列说法正确的有()若 na是等差数列,则 na具有“三项相关性”若 na是等比数列,则 na具有“三项相关性”若 na是周期数列,则 na具有“三项相关性”若 na具有正项“三项相关性”,且正数 A,B 满足 A+1=B,12aaB,nnbB,na与 nb的前 n 项和分别为,nnS T 则对*nN,nnST恒成立.A.B.C.D.解析:对于,2()nnnadA adBa,联立12ABA,解得21AB,正确;对于,2nnna qAa qBa,即20qAqB,正确;对于,找反例,如 0,0,2,0,0,2,321aAaBa,不存在这样的 A,B,错误;对于,21(1)n
17、nnaBaBa,整理得211()nnnnaaB aa,又12aaB,故11nnnnaaB BB,又nnbB,故可知nnba,正确.选 B.10二、填空题(共 25 分)11.53212xx的展开式中的常数项是_.解析:332235(2)()20Cxx .12.10 名工人某天生产工艺零件,生产的件数分别是 19,19,20,20,13,14,17,18,22,22,那么数据的 80%分位数是_.解析:从小到大排列,10 80%8,第 8 位 20,第 9 位 22,故数据的 80%分位数是 2022212.13.已知抛物线2:C yax的准线方程为18x ,则 a=_.解析:由题148a,解得
18、12a.14.小明正在考数学期末模拟,写到了填空题的第 15 题,只有完全选对得 5 分,一旦错选或者少选得 0 分。已经题目有四个选项,小明根据平日掌握的知识和方法很快判断出了正确,错误。无法确定,但是小明依然冷静地分析后判断:有 23的可能性是对的,有 13的可能性是对的,假设小明判断正确,那么他应该选择_.解析:共有 4 种可能.选选,212339;选不选,224339;不选选,111339,不选不选,122339.故假设小明判断正确,那么他应该选择.1115.对于函数 sin,0,212,2,2x xff xxx,下列 4 个结论正确的是_.(只有完全选对才得 5 分,一旦错选或者少选
19、得 0 分).任取12,0,x xx,都有 122f xf x;22()f xkf xkKN,对一切0)x,恒成立;若关于 x 的方程 0f xm m有且只有两个不同的实根12,x x,则123xx;函数 ln 1yf xx有 5 个零点解析:数形结合.对于,max()1f x,min()1f x ,故正确;对于,当3k 时,则()6(6)f xf x,而由题()8(6)f xf x,错误;对于,当112m 时,有两个交点,且123232xx,正确;对于,将lnyx向右平移 1 个单位,与函数 f x 的交点有 3 个,错误.故填.12三、解答题(共 90 分)16.(13 分)已知ABC 同
20、时满足下列四个条件中的三个:3A2cos3B a=14b=6(1)请指出这三个条件,并说明理由;(2)求ABC 的面积.解析:(1)ABC 同时满足,.4 分理由如下:若ABC 同时满足,则因为,21 cos32B 且,()0B,所以23B.这与 A+B,矛盾.所以ABC 不能同时满足,.所以ABC 只能同时满足,因为 ab,所以 AB,故ABC 不满足.故ABC 满足,8 分(2)因为2222cosabcbcA,所以222146262cc 解得 c=16 或 c=-10(舍).所以ABC 的面积113sin6 1624 3222sbcA 13 分1317.(13 分)玩具柜台元旦前夕促销,就
21、在 12 月 31 日购买甲、乙系列的盲盒,并且集齐所有的产品就可以赠送大奖.而每个甲系列盲盒可以开出玩偶 A1,A2,A3,中的一个,每个乙系列盲盒可以开出玩偶,B2 中的一个.(1)记事件nE:一次性购买 n 个甲系列盲盒后集齐 A1,A2,A3 玩偶;事件nF:一次性购买 n个乙系列盲盒后集齐,B2 玩偶;求6P E及5P F;(2)柜台对甲、乙两个系列的盲盒进行饥饿营销,每个消费者每天只有一次购买机会,且购买时,只能选择其中一个系列的一个盲盒.通过统计发现:第一次购买盲盒的消费者购买甲系列的概率为 15,购买乙系列的概率为 45:而前一次购买甲系列的消费者下一次购买甲系列的概率为 14
22、,购买乙系列的概率为 34,前一次购买乙系列的消费者下一次购买甲系列的概率为 12,购买乙系列的概率为 12:如此往复,记某人第 n 次购买甲系列的概率为nQ.求2Q;若礼品店每卖出一个甲系列的盲盒可获利 30 元,卖出一个乙系列的盲盒可获利 20 元,由样本估计总体,若礼品店每天可卖出 1000 个盲盒,且买的人之前都已购买过很多次这两个系列的盲盒,估计该礼品店每天利润为多少元(直接写出答案).【分析】(1)由古典概型的概率公式可以直接解出;(2)依题意可得1111 142nnnQQQ,即可得到25nQ是一个等比数列,从而求出nQ,用 表示一天中购买甲系列盲盒的人数,可知 服从二项分布,即可
23、计算出结果.14解析:(1)由题意22232134264263136266320327C C CC C C AC AP E4 分551 1151216P F,7 分(2)由题意可知:12111111119,Q1Q54224520QQ10 分(解析)当 n2 时,111111114224nnnnQQQQ,11(21221,54555)nnQQQ ,所以25nQ是以15为首项,14为公比的等比数列,1211554nnQ 因为每天购买盲盒的人都已购买过很多次,所以,对于每一个人来说,某天来购买盲盒时,可以看作 n 趋向无穷大,由样本估计总体可知:购买甲系列盲盒的概率近似于 25,假设用 表示一天中购
24、买甲系列盲盒的个数,则21000,5B所以 210004005E ,即购买甲系列盲盒的个数的期望为 400,所以礼品店应卖出甲系列盲盒 400 个,乙系列盲盒 600 个.估计利润为:L=40030+60020=24000(元).(填 25000 的酌情给分)13 分1518.(14 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA面 ABCD,AB/CD,且 CD=2,PA=AB=BC=1,ABBC.(1)求证:ADPC;(2)求锐二面角 D-PC-B 的余弦值;(3)若 PB 的中点为 M,判断直线 AM 与平面 PDC 是否相交,如果相交,求出 P 到交点 H 的距离,如果不相交,说明理由.解
25、析:(1)证明:AB/CD,ABBC,AB=BC=1,CD=2,2AC,BAC=DCA=45.在DAC 中,由余弦定理得2222cosADACDCAC DCACD,即2222222222AD ,所以2AD,222.ACADDCACAD.又 PA平面 ABCD,:AD 平面 ABCD.PAAD.又:ACPAA,AC,PA 平面 PAC,AD 平面 PAC,PC 平面 PAC,ADPC.5 分(2)解:取 CD 中点 N,连结 AN.AB/CD,CD=2,AB=1,CN=1,AB/NC,AB=NC.四边形 ABCN 是平行四边形.AN/BC.ABBC,ABAN.PA平面 ABCD,PAAN,PAA
26、B.以 A 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则 A(0,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),D(1,1,0),P(0,0,1)1,1 1,1,0,0,0,2,0PCBCDC.设平面 PBC 的一个法向量为,nx y z,则0,0,0.0.n PCxyzxn BC 令 y=1,则得 z=1,此时 n(0,1,1)16设平面 PDC 的一个法向量为,mx y z,则0,0,20.0.m PCxyzym DC 令 x=1,则得 z=1,此时 m(1,0,1).1 00 1 1 11cos2,22m nm nm n .设平面 PDC 与平面 PBC 所成角为,1coscos2,m
27、n 平面 PDC 与平面 PBC 所成角的余弦值为 12.10 分(3)解:1 11 10,0,1,0,12 22 2MAMm.102mAM.直线 AM 与平面 PDC 相交.设 AHAM,所以110,22H110,122PH.0PH m,1102 解得2 0,1,0,1PHPH,到交点 H 的距离为 1.14 分1719.(15 分)已知椭圆22221xyab 的短轴长为 2 2,直线2:al xc与 x 轴交于点 A,椭圆的右焦点为 F,|OF|=2|FA|,过点 A 的直线与椭圆交于 P,Q 两点.(1)直接写出椭圆的方程及离心率;(2)若0OP OQ,求直线 PQ 的方程;(3)过点
28、P 且垂直于 x 轴的直线交椭圆于另一点 M,证明:Q,F,M 三点共线,并直接写出AMQ 面积的最大值.解析:(1)椭圆的方程为22162xy,离心率为63;5 分(2)由(1)可得 A(3,0),设直线 PQ 的方程为 y=k(x-3),223360yk xxy,整理得222231182760kxk xk,依题意212 2(0)3k,得6633k,设1122,P x yQ xy则21221813kxxk,212227613kx xk,由直线 PQ 的方程得11223,3yk xyk x于是22121212123339y ykxxkx xxx,由0OP OQ,则12120 x xy y,由
29、得251k,从 而55k ,所 以 直 线 m 的 方 程 为530 xy或530 xy;10 分(3)设1APAQ,即有11223,3,xyxy,即121233,xxyy,设10,M x y,即有221036xy,则011122122 02,2,0,()yyFFMxyFQxyyy,由于1112222332,30332xxxxxxx等价为121221250 x xxx,由韦达定理代入可得222227618212501313kkkk,则有12220 xx,故有 FMFQ,Q,F,M 三点共线,AMQ 面积221211122aSAFyycyyc,18211222611133313361222312
30、133kk xk xk xxkkkkkk,当且仅当13 kk,即33k 时取等号,满足6633k,AMQ 面积的最大值32.15 分1920.(15 分)已知函数 2xf xexaxa(1)当 a=1 时,求函数的单调区间:(2)若关于 x 的不等式 af xe在a,+)上有解,求实数 a 的取值范围;(3)若曲线 yf x存在两条互相垂直的切线,直接写出实数 a 的取值范围.【分析】(1)当 a=1 时,21xf xexx,求出其导数,利用导数即可解出单调区间;(2)若关于的不等式 af xe在,a 上有解,即2a xxaxae,在,a 上有解,构造两个函数 2,a xr xxaxa t x
31、e,研究两个函数的在,a 上的单调性,即可转化出关于 a 的不等式,从而求得 a 的范围;(3)由导数 2xfxexxa,当 a-2 时,函数 yfx的图象与轴有两个交点,故图象上存在两条互相垂直的切线.解析:(1)当 a=1 时,21xf xexx,则 232xfxexx,列表或者:令 0fx得 x-1 或 x-2;令 0fx得-2x0 时,在a,+)上,由于 r(x)的对称轴为负,故 r(x)在a,+)上增,t(x)在a,+)上减,欲使2a xxaxae 有解,则只须 r(a)t(a),即221aa,20解得112a ,故102a;当 a0 时,在a,+)上,由于 r(x)的对称轴为正,故
32、 r(x)在a,+)上先减后增,t(x)在a,+)上减,欲使2a xxaxae 有解,只须22aart,即3224aaae,当0a 时,3224aaae显然成立.综上所述,12a 即为符合条件的实数 a 的取值范围;12 分(3)a 的取值范围是2|a aaR,.15 分2121.(15 分)定义圈数列123nXxxxn:,;X 为一个非负整数数列,且规定nx 的下一项为1x,记011,nnxxxx,这样kx 的相邻两项可以统一表示为11kkxx,k=1,2,3,n(1x的相邻两项为02xx,即2nxx,;nx 的相邻两项为11nnxx,).定义圈数列 X 做了一次 P 运算:选取一项2kx,
33、将圈数列 X 变为圈数列121211,1kkkP Xxxxxx:,,即将kx 减2,相邻两项各加 1,其余项不变.并记下标 k 输出了一次.记 X 进行过 i 次 P 运算后数列为1,2,:,iiiinxxXx,(规定0XX)(1)若 X:4,0,0,直接写出一组可能的 X1,X2,X3,X4;(2)若进行 q 次 P 运算后(q0),有qXX,此时下标 k 输出的总次数为ka,记0naa,11naa 直接写出一组非负实数,使得11kkkaaa对任意 k=1,2,3,n,都成立,并证明1ka ;(3)若 X:n+1,0,0,0,证明:存在 M,当正整数 kM 时,kX 中至少有一半的项非零.【
34、分析】(1)根据 P 运算的概念直接写出答案即可;(2)从第一问的过程中可以猜测12;然后利用极端原理或考虑整体或者局部的方程证明即可;(3)想法利用(2)的结论,同时注意感受“一半”有配对的含义,因此可多观察下标 k 输出后附近的整体变化;然后利用数学归纳法证明即可.22解:(1)1234:2,1,1,0,2,2;:1,3,0211XXXX,或1234:2,1,1,0,2,2;:1,3,0211XXXX,.4 分(全对才给分)(2)12.考察11,kkkaa a,由操作规则,下标 k 输出了总值为 2ka,收入了11kkaa因此,112k qkkkkxxaaa,由,1,2,3,qkk qXX
35、xxkn,112kkkaaa,k=1,2,3,n.120naaaq.方法一:极端原理:设1211max,0,mnmmmmaa aaaaaa,且112mmmaaa,112mmmaaa,因此等号成立,有11mmmaaa,即ma 的后一项1ma 也是最大值,重复 n 次这个过程,则所有数都是最大值,即1230,1,1,2,3,.nkqaaaaaknn方法二:考虑整体或者局部:由112kkkaaa,得到11kkkkaaaa,遍历所有 k 有111210nnnnnnaaaaaaaa,从而有110nnaaaa,而110nnaaaa,从而有110nnaaaa,1112100nnnnnnaaaaaaaa,即1
36、20nqaaan,即1,1,2,3,.kakn9 分(3)X 各项和为 n+1,每次运算都不会改变总和,由抽屉原理,至少有一项2kX ,因此可以进行无数次 P 运算.01kxn,因此iX 各项值最多有2nn 种可能.23从而存在不同的正整数 pq 时,任取 i,i+1 两个相邻下标,考察项的和:存在 tq,第 t 次 P 运算在下标 i 输出,则,11,1,1,1,2 0,1 1,20i ti tititi titxxxxxx.现证明:当 ht 时,即第 h 次 P 运算,恒有,1,0i hihxx.当 h=t 时,已证;设1htt 时成立,即11,1,0i titxx,当11ht 时1)若第 h 次 P 运算不在下标 i,i+1 输出,由规则,11,1,1i hi hihihxxxx,11,1,11,1,t1,t0i hihi hihiixxxxxx;(2)若第 h 次 P 运算在 i 或 i+1 下标输出,则与第 t 次运算同理可得,1,0i hihxx 因此总有,1,0i hihxx,因此,当 kq 后,每个下标都有输出,其任何相邻的两个1iixx,至少有一个是非零,从而kX中至少一半的项非零.15 分