1、1.5函数yAsin(x)的图象学 习 目 标核 心 素 养1.理解参数A、对函数yAsin(x)的图象的影响(重点)2会用“五点法”画函数yAsin(x)的简图；能根据yAsin(x)的部分图象确定解析式(重点)3掌握ysin x与yAsin(x)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤(重点、易混点)1.通过观察参数A、对函数yAsin(x)图象变化的影响，提升学生直观想象素养2通过对函数yAsin(x)图象和性质的研究，提升数学抽象素养.1对ysin(x)，xR的图象的影响2(0)对ysin(x)的图象的影响3A(A0)对yAsin(x)的图象的影响4由函数ysin x的图象通过变换得
2、到yAsin(x)的图象有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”先平移后伸缩ysin x的图象ysin(x)的图象ysin(x)的图象yAsin(x)的图象先伸缩后平移ysin x的图象ysin x的图象向左(0)或向右(0),平移个单位长度ysin(x)的图象yAsin(x)的图象思考：由函数ysin x的图象平移多少个单位得到ysin(x)个单位？为什么？提示平移个单位，而不是平移|单位，原因是图象的变换是针对x而言，并非针对x而言5函数yAsin(x)，A0，0中参数的物理意义1函数ysin 4x的图象可由函数ysin x的图象经过怎样的变换得到()A所有点的横坐标变为原来的4
3、倍B所有点的横坐标变为原来的C所有点的纵坐标变为原来的4倍D所有点的纵坐标变为原来的Bysin x图象上所有点的横坐标变为原来的后变为ysin 4x的图象2要得到函数ysin的图象，只需将函数ysin 4x的图象()A向左平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向右平移个单位长度Bysinsin 4，故只需将ysin 4x图象向右平移个单位即可得到3函数yAsin(x)1(A0，0)的最大值为5，则A .4由已知得A15，故A4.4函数y3sin的频率为 ，相位为 ，初相为 x频率为，相位为x，初相为.作函数yAsin(x)的图象【例1】用“五点法”画函数y2sin在一个周期内
4、的简图思路点拨：列表、描点、连线、成图是“五点法”作图的四个基本步骤，令3x取0，2即可找到五点解先画函数在一个周期内的图象令X3x，则x，列表如下：X02xy020201本例中把“一个周期内”改为“”，又如何作图？解x，3x，列表如下：3x2x0y120201描点，连线2本例中，把“五点法”改为“图象变换法”，怎样画法？解法一：(先平移再伸缩)法二：(先伸缩再平移)1确定函数yAsin(x)的图象一般有两种方法：(1)“五点法”；(2)图象变换法2用“五点法”作函数yAsin(x)的图象，五个点应是使函数取得最大值、最小值以及曲线与x轴相交的点3用“五点法”作函数yAsin(x)图象的步骤是
5、：第一步：列表：x02xy0A0A0第二步：在同一坐标系中描出各点第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图象跟进训练1已知f(x)1sin，画出f(x)在上的图象解列表：x2x0f(x)211112三角函数图象之间的变换【例2】(1)将函数ycos的图象向左平移个单位长度，再向下平移3个单位长度，则所得图象的解析式为 (2)将ysin x的图象怎样变换可得到函数y2sin1的图象？思路点拨：(1)依据左加右减；上加下减的规则写出解析式(2)法一：ysin x纵坐标伸缩横坐标伸缩和平移向上平移法二：左右平移横坐标伸缩纵坐标伸缩上下平移(1)ycos 2x3ycos的图象向左平移个单位长度，得ycos
6、cos(2x)cos 2x，再向下平移3个单位长度得ycos 2x3的图象(2)解法一：(先伸缩法)把ysin x的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到y2sin x的图象；将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，得y2sin 2x的图象；将所得图象沿x轴向左平移个单位，得y2sin 2的图象；将所得图象沿y轴向上平移1个单位，得y2sin1的图象法二：(先平移法)将ysin x的图象沿x轴向左平移个单位，得ysin的图象；将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，得ysin的图象；把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来2倍，得到y2sin的图象；将所得图象沿y轴向上平移1个单位，得y2
7、sin1的图象1本例(2)中，若两个函数若互换，那么将函数y2sin1图象怎样变换可得到函数ysin x的图象？2本例(2)中把“ysin x”改为“ycos x”，该怎样变换？由ysin x的图象，通过变换可得到函数yAsin(x)(A0，0)的图象，其变化途径有两条：(1)ysin xysin(x)ysin(x)yAsin(x)提醒：两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：(1)是先相位变换后周期变换，平移|个单位(2)是先周期变换后相位变换，平移个单位，这是很易出错的地方，应特别注意跟进训练2(1)要得到ycos的图象，只要将ysin 2x的图象()A向左平移个单位B向右平移个单
8、位C向左平移个单位 D向右平移个单位(2)把函数yf(x)的图象上各点向右平移个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的倍，所得图象的解析式是y2sin，则f(x)的解析式是()Af(x)3cos x Bf(x)3sin xCf(x)3cos x3 Df(x)sin 3x(1)A(2)A(1)因为ycossinsinsin 2，所以将ysin 2x的图象向左平移个单位，得到ycos的图象已知函数图象求解析式【例3】(1)已知函数f(x)Acos(x)B的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为()Ay2cos4By2cos4Cy4cos2Dy4cos2(2)函数f(x)Asi
9、n(x)中A0，0，|，且图象如图所示，求其解析式思路点拨：由最大(小)值求A和B，由周期求，由特殊点坐标解方程求.(1)A由函数f(x)的最大值和最小值得AB6，AB2，所以A2，B4，函数f(x)的周期为44.又0，所以，又因为点在函数f(x)的图象上，所以62cos4，所以cos1，所以2k，kZ，所以2k，kZ，又|，所以，所以f(x)2cos4.(2)解法一：(五点作图原理法)由图象知，振幅A3，T，所以2，又由点，根据五点作图原理(可判为“五点法”中的第一点)20得，所以f(x)3sin.法二：(方程法)由图象知，振幅A3，T，所以2，又图象过点，所以f3sin0，所以sin0，k
10、(kZ)又因为|，所以k0，所以f(x)3sin.法三：(变换法)由图象知，振幅A3，T，所以2，且f(x)Asin(x)是由y3sin 2x向左平移个单位而得到的，解析式为f(x)3sin3sin.确定函数yAsin(x)的解析式的关键是的确定，常用方法有：(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，已知)或代入图象与x轴的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)(2)五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口“五点”的x的值具体如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为x0；“第二点”(即图象的“峰点”)为x；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)
11、为x；“第四点”(即图象的“谷点”)为x；“第五点”为x2.跟进训练3已知函数f(x)Asin(x)的部分图象如图所示，则f(x)的表达式为()Af(x)2sinBf(x)2sinCf(x)2sinDf(x)2sinC根据图象得A2，T，可得T， ，又f(x)过点， 可得2sin0，由五点作图法可得，解得，所以f(x)2sin.故选C.三角函数图象与性质的综合应用探究问题1如何求函数yAsin(x)与yAcos(x)的对称轴方程？提示：与正弦曲线、余弦曲线一样，函数yAsin(x)和yAcos(x)的图象的对称轴通过函数图象的最值点且垂直于x轴函数yAsin(x)对称轴方程的求法：令sin(x
12、)1，得xk(kZ)，则x(kZ)，所以函数yAsin(x)的图象的对称轴方程为x(kZ)；函数yAcos(x)对称轴方程的求法：令cos(x)1，得xk(kZ)，则x(kZ)，所以函数yAcos(x)的图象的对称轴方程为x(kZ)2如何求函数yAsin(x)与yAcos(x)的对称中心？提示：与正弦曲线、余弦曲线一样，函数yAsin(x)和yAcos(x)图象的对称中心即函数图象与x轴的交点函数yAsin(x)对称中心的求法：令sin(x)0，得xk(kZ)，则x(kZ)，所以函数yAsin(x)的图象关于点(kZ)成中心对称；函数yAcos(x)对称中心的求法：令cos(x)0，得xk(k
13、Z)，则x(kZ)，所以函数yAcos(x)的图象关于点(kZ)成中心对称【例4】(1)已知函数f(x)sin(0)，若ff，且f(x)在区间上有最小值，无最大值，则()A.B. C.D.(2)已知函数f(x)sin(x)(0,0)是R上的偶函数，其图象关于点M对称，且在区间上是单调函数，求和的值思路点拨：(1)先由题目条件分析函数f(x)图象的对称性，何时取到最小值，再列方程求的值(2)先由奇偶性求，再由图象的对称性和单调性求.(1)B因为ff，所以直线x是函数f(x)图象的一条对称轴又因为f(x)在区间上有最小值，无最大值，所以当x时，f(x)取得最小值所以2k，kZ，解得8k(kZ)又因
14、为T，所以12.又因为0，所以k1，即8.(2)解由f(x)是偶函数，得f(x)f(x)，即函数f(x)的图象关于y轴对称，f(x)在x0时取得最值，即sin 1或1.依题设0，解得.由f(x)的图象关于点M对称，可知sin0，即k，解得，kZ.又f(x)在上是单调函数，所以T，即.2，又0，k1时，；k2时，2.故，2或.1将本例(2)中“偶”改为“奇”，“其图象关于点M对称，且在区间上是单调函数”改为“在区间上为增函数”，试求的最大值解因为f(x)是奇函数，所以f(0)sin 0，又0，所以0.因为f(x)sin x在上是增函数所以，于是，解得0，所以的最大值为.2本例(2)中增加条件“1
15、”，求函数yf2(x)sin 2x，x的最大值解由条件知f(x)sincos 2x.由x得2x，sin 2x，yf2(x)sin 2xcos22xsin 2x1sin22xsin 2x.所以当sin 2x时，ymax.1正弦、余弦型函数奇偶性的判断方法正弦型函数yAsin(x)和余弦型函数yAcos(x)不一定具备奇偶性对于函数yAsin(x)，当k(kZ)时为奇函数，当k(kZ)时为偶函数；对于函数yAcos(x)，当k(kZ)时为偶函数，当k(kZ)时为奇函数2与正弦、余弦函数有关的单调区间的求解技巧(1)结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间(2)确定函数yAsin(x)(A0，0
16、)单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将x看作一个整体，可令“zx”，即通过求yAsin z的单调区间而求出函数的单调区间若0，则可利用诱导公式先将x的系数转变为正数，再求单调区间1利用“五点”作图法作函数yAsin(x)的图象时，要先令“x”这一个整体依次取0、2，再求出x的值，这样才能得到确定图象的五个关键点，而不是先确定x的值，后求“x”的值2由函数yAsin(x)的部分图象确定解析式关键在于确定参数A、的值(1)一般可由图象上的最大值、最小值来确定|A|.(2)因为T，所以往往通过求得周期T来确定，可通过已知曲线与x轴的交点从而确定T，即相邻的最高点与最低点之间的距离为；相邻的两个
17、最高点(或最低点)之间的距离为T.(3)从寻找“五点法”中的第一个零点(也叫初始点)作为突破口，以yAsin(x)(A0，0)为例，位于单调递增区间上离y轴最近的那个零点最适合作为“五点”中的第一个点3在研究yAsin(x)(A0，0)的性质时，注意采用整体代换的思想，如，它在x2k(kZ)时取得最大值，在x2k(kZ)时取得最小值1下列判断正确的是()A将函数ysin的图象向右平移个单位可得到函数ysin x的图象B将函数ysin 3x的图象上所有点的横坐标变为原来的3倍即可得到函数ysin x的图象C将函数ysin图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数ysin的图象D函数ysin的
18、图象是由函数ysin 4x的图象向右平移个单位得到的BA错，应该向左平移个单位；C错，横坐标伸长到原来的2倍，得到ysin；D错，应该向右平移个单位，只有B正确2函数ysin的周期、振幅、初相分别是()A3，B6，C3，3， D6，3，Bysin的周期T6，振幅为，初相为.3函数f(x)sin(x)1(0，|) 的部分图象如图所示，将f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，则g(x)()AsinBsinCsin1 Dsin1D由函数f(x)sin(x)1的部分图象知，f(0)sin 1，sin ，|，又fsin12，sin1，0，2；f(x)sin1；将f(x)的图象向右平移个单位长度，得函数g(x)的图象，则g(x)sin1sin1.故选D.4已知函数y2sin(2x)的一条对称轴为x，则的值为_x是函数y2sin(2x)的一条对称轴，2k，kZ.则k，kZ.又0，取k0，得.故答案为.5已知函数f(x)3sin3(xR)，用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象解(1)列表：x02f(x)36303(2)描点画图：