1、1.4.3正切函数的性质与图象学 习 目 标核 心 素 养1.能画出正切函数的图象(重点)2.掌握正切函数的性质(重点、难点)3.掌握正切函数的定义域及正切曲线的渐近线(易混点)1.通过观察正切函数的图象获得正切函数性质的直观认识,提升学生直观想象素养.2.通过对正切函数性质的应用,提升学生数学运算素养.正切函数的图象与性质解析式ytan x图象定义域 值域R周期奇偶性奇函数对称中心,kZ单调性在开区间,kZ内都是增函数思考:正切函数图象的对称中心都在正切函数图象上吗?提示不是,在中,当k为偶数时,在函数图象上,当k为奇数时,不在函数图象上1函数f(x)tan的单调增区间为()A.,kZB.,
2、kZC.,kZD.,kZC令kxk(kZ)得kxk(kZ),故单调增区间为(kZ)2函数ytan的定义域为 因为2xk,kZ,所以x,kZ,所以函数ytan的定义域为.3函数ytan 3x的最小正周期是 函数ytan 3x的最小正周期是.4函数ytan的对称中心是 (kZ)令x(kZ)得x(kZ),对称中心为(kZ)有关正切函数的定义域、值域问题【例1】(1)函数y的值域是()A(1,1)B(,1)(1,)C(,1) D(1,)(2)求下列函数的定义域:y;ylg(tan x)思路点拨:(1)(2)中注意分母不为零且ytan x本身的定义域;中注意对数大于零从而得到定义域(1)B当x0时,1t
3、an x0,1;当0x时,0tan x1,1.即当x时,函数y的值域是(,1)(1,)(2)解要使函数y有意义,需使所以函数的定义域为.因为tan x0,所以tan x.又因为tan x时,xk(kZ),根据正切函数图象,得kxk(kZ),所以函数的定义域是.1求正切函数定义域的方法(1)求与正切函数有关的函数的定义域时,除了求函数定义域的一般要求外,还要保证正切函数ytan x有意义,即xk,kZ.(2)求正切型函数yAtan(x)(A0,0)的定义域时,要将“x”视为一个“整体”令xk,kZ,解得x.2解形如tan xa的不等式的步骤提醒:求定义域时,要注意正切函数自身的限制条件1求函数y
4、lg(1tan x)的定义域解要使函数ylg(1tan x)有意义,则即1tan x1.当x上满足上述不等式的x的取值范围是.又因为ytan x的周期为,所以所求x的定义域为.正切函数奇偶性、周期性和图象的对称性【例2】(1)函数f(x)tan的周期为 (2)已知函数ytan,则该函数图象的对称中心坐标为 (3)判断下列函数的奇偶性:y3xtan 2x2x4;ycostan x.思路点拨:(1)形如yAtan(x)(A0)的周期T,也可以用定义法求周期(2)形如yAtan(x)(A0)的对称中心横坐标可由x,kZ求出(3)先求定义域,看是否关于原点对称,若对称再判断f(x)与f(x)的关系(1
5、)(2)(kZ)(1)法一:(定义法)tantan,即tantan,f(x)tan的周期是.法二:(公式法)f(x)tan的周期T.(2)由x(kZ)得x(kZ),所以图象的对称中心坐标为,kZ.(3)解定义域为,关于原点对称,又f(x)3(x)tan 2(x)2(x)43xtan 2x2x4f(x),所以它是偶函数定义域为,关于原点对称,ycostan xsin xtan x,又f(x)sin(x)tan(x)sin xtan xf(x),所以它是奇函数1函数f(x)Atan(x)周期的求解方法(1)定义法(2)公式法:对于函数f(x)Atan(x)的最小正周期T.(3)观察法(或图象法):
6、观察函数的图象,看自变量间隔多少,函数值重复出现2判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法先求函数的定义域,看其定义域是否关于原点对称,若其不关于原点对称,则该函数为非奇非偶函数;若其关于原点对称,再看f(x)与f(x)的关系提醒:ytan x,xk(kZ)的对称中心坐标为,kZ.2判断下列函数的奇偶性:(1)f(x);(2)f(x)tantan.解(1)由得f(x)的定义域为,不关于原点对称,所以函数f(x)既不是偶函数,也不是奇函数(2)函数定义域为,关于原点对称,又f(x)tantantantanf(x),所以函数是奇函数.正切函数单调性的应用探究问题1正切函数ytan x在其定义域内是否为
7、增函数?提示:不是正切函数的图象被直线xk(kZ)隔开,所以它的单调区间只在(kZ)内,而不能说它在定义域内是增函数假设x1,x2,x1x2,但tan x1tan x2.2如果让你比较tan与tan的大小,你应该怎样做?提示:先根据正切函数的周期性把两角化到同一单调区间内,再由正切函数的单调性进行比较【例3】(1)不通过求值,比较下列各组中两个三角函数值的大小:tan 与tan;tan与tan.(2)求函数y3tan的单调区间思路点拨:(1)(2)解(1)因为tantan,tantan,又0,ytan x在内单调递增,所以tantan,即tantan.因为tantan,tantan,又0,yt
8、an x在内单调递增,所以tantan,所以tantan,即tantan.(2)y3tan3tan,由k2xk,kZ得,x,kZ,所以y3tan的减区间为,kZ.1将本例(2)中的函数改为“y3tan”,结果又如何?解由kxk(kZ),得2kx2k(kZ),函数y3tan的单调递增区间是(kZ)2将本例(2)中函数改为“ylg tan”,结果又如何?解因为函数ylg x在(0,)上为增函数,所以函数ylg tan x的单调递增区间就是函数ytan x(tan x0)的单调递增区间,令k2xk(kZ),得x(kZ),故ylg tan的增区间为,kZ.1求函数yAtan(x)(A0,0,且A,都是
9、常数)的单调区间的方法(1)若0,由于ytan x在每一个单调区间上都是增函数,故可用“整体代换”的思想,令kxk,kZ,解得x的范围即可(2)若0,可利用诱导公式先把yAtan(x)转化为yAtan(x)Atan(x),即把x的系数化为正值,再利用“整体代换”的思想,求得x的范围即可2运用正切函数单调性比较大小的步骤(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内(2)运用单调性比较大小关系提醒:yAtan(x)(A0,0)只有增区间;yAtan(x)(A0,0)只有减区间1正切函数的图象正切函数有无数条渐近线,渐近线方程为xk,kZ,相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线,且单调递增作正
10、切曲线简图时,只需先作出一个周期中的两条渐近线x,x,然后描出三个点(0,0),用光滑的曲线连接得到一条曲线,再平移至各个单调区间内即可2正切函数的性质(1)正切函数ytan x的定义域是,值域是R.(2)正切函数ytan x的最小正周期是,函数yAtan(x)(A0)的周期为T.(3)正切函数在(kZ)上递增,不能写成闭区间正切函数无单调减区间1下列说法正确的是()A正切函数的定义域和值域都是RB正切函数在其定义域内是单调增函数C函数y|tan x|与ytan x的周期都是D函数ytan|x|的最小正周期是Cytan x的定义域为,所以A错;由正切函数图象可知B错;画出ytan x,y|tan x|和ytan|x|的图象可知C正确,D错误,因为ytan|x|不是周期函数2在下列函数中同时满足:在上递增;以2为周期;是奇函数的是()Aytan xBycos xCytan Dytan xCA,D的周期为,B中函数在上递减,故选C.3函数y|tan x|在上的单调减区间为 和如图,观察图象可知,y|tan x|在上的单调减区间为和.4求函数ytan的定义域、最小正周期、单调区间及其图象的对称中心解由k,kZ,得x2k,kZ,函数的定义域为.T2,函数的最小正周期为2.由kk,kZ,得2kx2k,kZ,函数的单调递增区间为, kZ.由,kZ,得xk,kZ,函数图象的对称中心是,kZ.