1、第 1 页(建议用时：80 分钟)1设an是公比大于 1 的等比数列，Sn 为数列an的前 n 项和，已知 S37，且a13，3a2，a34 构成等差数列(1)求数列an的通项；(2)令 bnln a3n1，n1，2，求数列bn的前 n 项和 Tn.解(1)由已知得a1a2a37，（a13）（a34）6a2a22.设数列an的公比为 q，由 a22，可得 a12q，a32q，又 S37，所以2q22q7，即 2q25q20.解得 q2 或 q12，q1，q2，a11.故数列an的通项为 an2n1.(2)由(1)得 a3n123n，bnln 23n3nln 2.又 bn1bn3ln 2，数列b
2、n为等差数列Tnb1b2bnn（b1bn）2n（3ln 23nln 2）23n（n1）2ln 2.故 Tn3n（n1）2ln 2.2(2015太原模拟)已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，公差 d0，且 S3S550，a1，a4，a13 成等比数列(1)求数列an的通项公式；第 2 页(2)设bnan 是首项为 1，公比为 3 的等比数列，求数列bn的前 n 项和 Tn.解(1)依题意得3a1322 d5a1452 d50，（a13d）2a1（a112d），解得a13，d2，an2n1.(2)bnan3n1，bnan3n1(2n1)3n1，Tn353732(2n1)3n1，3Tn33532
3、733(2n1)3n1(2n1)3n，两式相减得，2Tn32323223n1(2n1)3n323（13n1）13(2n1)3n2n3n，Tnn3n.3已知函数 f(x)2x33x，数列an满足 a11，an1f 1an，nN*，(1)求数列an的通项公式；(2)令 Tna1a2a2a3a3a4a4a5a2na2n1，求 Tn.解(1)an1f 1an 2an33an23an3an23，an是以23为公差的等差数列又 a11，an23n13.(2)Tna1a2a2a3a3a4a4a5a2na2n1a2(a1a3)a4(a3a5)a2n(a2n1a2n1)43(a2a4a2n)43n534n3 1
4、3249(2n23n)4(2014浙江卷)已知数列an和bn满足 a1a2a3an(2)bn(nN*)若an为等比数列，且 a12，b36b2.第 3 页(1)求 an 与 bn；(2)设 cn 1an 1bn(nN*)记数列cn的前 n 项和为 Sn.求 Sn；求正整数 k，使得对任意 nN*均有 SkSn.解(1)由题意 a1a2a3an(2)bn，b3b26，知 a3(2)b3b28.又由 a12，得公比 q2(q2 舍去)，所以数列an的通项为 an2n(nN*)所以，a1a2a3an2n（n1）2(2)n(n1)故数列bn的通项为 bnn(n1)(nN*)(2)由(1)知 cn 1a
5、n 1bn 12n1n 1n1(nN*)，所以 Sn 1n1 12n(nN*)因为 c10，c20，c30，c40；当 n5 时，cn1n（n1）n（n1）2n1，而n（n1）2n（n1）（n2）2n1（n1）（n2）2n10，得n（n1）2n5（51）251，所以，当 n5 时，cn0.综上，对任意 nN*恒有 S4Sn，故 k4.5已知等比数列an满足 2a1a33a2，且 a32 是 a2，a4 的等差中项(1)求数列an的通项公式；(2)若 bnanlog21an，Snb1b2bn，求使 Sn2n1470 成立的 n 的最小值解(1)设等比数列an的公比为 q，依题意，有第 4 页2a
6、1a33a2，a2a42（a32），即a1（2q2）3a1q，a1（qq3）2a1q24，由得 q23q20，解得 q1 或 q2.当 q1 时，不合题意，舍去；当 q2 时，代入得 a12，所以 an22n12n.故所求数列an的通项公式 an2n(nN*)(2)bnanlog21an2nlog212n2nn.所以 Sn212222332nn(222232n)(123n)2（12n）12n（1n）22n1212n12n2.因为 Sn2n1470，所以 2n1212n12n22n1470，解得 n9 或 n10.因为 nN*，故使 Sn2n1470 成立的正整数 n 的最小值为 10.6(20
7、14合肥一模)已知数列an的首项 a14，前 n 项和为 Sn，且 Sn13Sn2n40(nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)设函数 f(x)anxan1x2an2x3a1xn，f(x)是函数 f(x)的导函数，令bnf(1)，求数列bn的通项公式，并研究其单调性解(1)由 Sn13Sn2n40(nN*)，得 Sn3Sn12n240(n2)，两式相减得 an13an20，可得 an113(an1)(n2)，又由 S23S1240 及 a14，得 a214，所以 a213(a11)，即an1是一个首项为 5，公比为 3 的等比数列，所以 an53n11(nN*)第 5 页(2)因为 f(x)an2an1xna1xn1，所以 f(1)an2an1na1(53n11)2(53n21)n(5301)5(3n123n233n3n30)n（n1）2，令 S3n123n233n3n30，则 3S3n23n133n2n31，两式作差得 Sn233n14，所以 f(1)53n1154n（n6）2，即 bn53n1154n（n6）2.而 bn153n2154（n1）（n7）2，所以 bn1bn153n2n720，所以数列bn是单调递增数列.
