1、 A组学业达标1正方体ABCDABCD中，向量与的夹角是()A30B45C60 D90解析：BCAD，ADB为正三角形，DAB60，60.答案：C2在如图所示的正方体中，下列各对向量的夹角为135的是()A.与B.与C.与 D.与解析：，45；，180，135；，90；，180.答案：B3.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，M为A1C1的中点，若a，c，b，则下列向量与相等的是()AabcB.abcCabcD.abc解析：()()(ab)cabc.答案：A4已知e1，e2是夹角为60的两个单位向量，则ae1e2与be12e2的夹角是()A60 B120C30 D90解析：ab(e1e2)(e
2、12e2)ee1e22e1112，|a|，|b|.cosa，b.a，b120.答案：B5在正方体ABCDA1B1C1D1中，有下列命题：()232；()0；与的夹角为60；正方体的体积为|.其中正确命题的个数是()A1 B2C3 D4解析：如图所示，()2()2232；()0；与的夹角是与夹角的补角，而与的夹角为60，故与的夹角为120；正方体的体积为|.综上可知，正确答案：B6已知|a|13，|b|19，|ab|24，则|ab|_.解析：|ab|2a22abb21322ab192242，2ab46，|ab|2a22abb253046484，故|ab|22.答案：227已知a，b是异面直线，A
3、，Ba，C，Db，ACb，BDb，且AB2，CD1，则a，b所成的角是_解析：，()|21，cos，异面直线a，b所成角是60.答案：608如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，则_.解析：|，aacos 60a2.答案：a29.如图所示，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且C1CBC1CDBCD60.求证：CC1BD.证明：设a，b，c，则|a|b|.ba，(ba)cbcac|b|c|cos 60|a|c|cos 600，即CC1BD.10.已知正四面体OABC的棱长为1.求：(1)；(2)()()；(3)|.解析：(1)|cosAOB11cos 60
4、.(2)()()()()()(2)1211cos 60211cos 6011cos 6012211cos 601.(3)|.B组能力提升11在空间四边形OABC中，OBOC，AOBAOC，则cos，()A. B.C D0解析：()|cos，|cos，因为，|，所以0，所以，所以cos，0.答案：D12已知在正四面体ABCD中，所有棱长都为1，ABC的重心为G，则DG的长为()A. B.C. D.解析：如图，连接AG并延长交BC于点M，连接DM，G是ABC的重心，()()，而()22221112(cos 60cos 60cos 60)6，|.答案：D13.如图所示，已知正三棱锥ABCD的侧棱长和
5、底面边长都是a，点E，F分别是AB，AD上的点，且AEEBAFFD12，则_.解析：因为点E，F分别是AB，AD上的点，所以，所以，结合图形可知，60，所以aacos 60a2.答案：a214.如图，正四棱锥PABCD的各棱长都为a.(1)用向量法证明BDPC；(2)求|的值解析：(1)证明：，()|cos 60|cos 120a2a20，BDPC.(2)，|2|2|2|2222a2a2a202a2cos 602a2cos 605a2，|a.15.如图，正三棱柱ABCA1B1C1中，底面边长为.(1)设侧棱长为1，求证：AB1BC1；(2)设AB1与BC1的夹角为，求侧棱的长解析：(1)证明：，.BB1平面ABC，0，0.又ABC为正三角形，.()()2|cos，2110，AB1BC1.(2)由(1)知|cos，221.又|，cos，|2，即侧棱长为2.
