1、 A组学业达标1正方体ABCDABCD中,向量与的夹角是()A30B45C60 D90解析:BCAD,ADB为正三角形,DAB60,60.答案:C2在如图所示的正方体中,下列各对向量的夹角为135的是()A.与B.与C.与 D.与解析:,45;,180,135;,90;,180.答案:B3.如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,M为A1C1的中点,若a,c,b,则下列向量与相等的是()AabcB.abcCabcD.abc解析:()()(ab)cabc.答案:A4已知e1,e2是夹角为60的两个单位向量,则ae1e2与be12e2的夹角是()A60 B120C30 D90解析:ab(e1e2)(e
2、12e2)ee1e22e1112,|a|,|b|.cosa,b.a,b120.答案:B5在正方体ABCDA1B1C1D1中,有下列命题:()232;()0;与的夹角为60;正方体的体积为|.其中正确命题的个数是()A1 B2C3 D4解析:如图所示,()2()2232;()0;与的夹角是与夹角的补角,而与的夹角为60,故与的夹角为120;正方体的体积为|.综上可知,正确答案:B6已知|a|13,|b|19,|ab|24,则|ab|_.解析:|ab|2a22abb21322ab192242,2ab46,|ab|2a22abb253046484,故|ab|22.答案:227已知a,b是异面直线,A
3、,Ba,C,Db,ACb,BDb,且AB2,CD1,则a,b所成的角是_解析:,()|21,cos,异面直线a,b所成角是60.答案:608如图,已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a,则_.解析:|,aacos 60a2.答案:a29.如图所示,已知平行六面体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是菱形,且C1CBC1CDBCD60.求证:CC1BD.证明:设a,b,c,则|a|b|.ba,(ba)cbcac|b|c|cos 60|a|c|cos 600,即CC1BD.10.已知正四面体OABC的棱长为1.求:(1);(2)()();(3)|.解析:(1)|cosAOB11cos 60
4、.(2)()()()()()(2)1211cos 60211cos 6011cos 6012211cos 601.(3)|.B组能力提升11在空间四边形OABC中,OBOC,AOBAOC,则cos,()A. B.C D0解析:()|cos,|cos,因为,|,所以0,所以,所以cos,0.答案:D12已知在正四面体ABCD中,所有棱长都为1,ABC的重心为G,则DG的长为()A. B.C. D.解析:如图,连接AG并延长交BC于点M,连接DM,G是ABC的重心,()(),而()22221112(cos 60cos 60cos 60)6,|.答案:D13.如图所示,已知正三棱锥ABCD的侧棱长和
5、底面边长都是a,点E,F分别是AB,AD上的点,且AEEBAFFD12,则_.解析:因为点E,F分别是AB,AD上的点,所以,所以,结合图形可知,60,所以aacos 60a2.答案:a214.如图,正四棱锥PABCD的各棱长都为a.(1)用向量法证明BDPC;(2)求|的值解析:(1)证明:,()|cos 60|cos 120a2a20,BDPC.(2),|2|2|2|2222a2a2a202a2cos 602a2cos 605a2,|a.15.如图,正三棱柱ABCA1B1C1中,底面边长为.(1)设侧棱长为1,求证:AB1BC1;(2)设AB1与BC1的夹角为,求侧棱的长解析:(1)证明:,.BB1平面ABC,0,0.又ABC为正三角形,.()()2|cos,2110,AB1BC1.(2)由(1)知|cos,221.又|,cos,|2,即侧棱长为2.