1、专题4 统计与概率真题再研析提升审题力【典例】(12分)(2020全国卷)某厂接受了一项加工业务,加工出来的产品(单位:件)按标准分为A,B,C,D四个等级.加工业务约定:对于A级品、B级品、C级品,厂家每件分别收取加工费90元,50元,20元;对于D级品,厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件,乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务,在两个分厂各试加工了100件这种产品,并统计了这些产品的等级,整理如下:甲分厂产品等级的频数分布表乙分厂产品等级的频数分布表等级ABCD频数40202020等级ABCD频数2817
2、3421(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率;(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润,以平均利润为依据,厂家应选哪个分厂承接加工业务?【审题逆向思维】(1)A级品的概率频数分布表;(2)方案选择平均利润甲、乙两分厂分别加工100件产品的总利润.【标准答案】(1)由表可知,甲分厂加工出来的一件产品为A级品的概率估计值为=0.4,3分乙分厂加工出来的一件产品为A级品的概率估计值为=0.28.6分(2)甲分厂加工100件产品总利润为40 +20 +20-20 =1 500元,所以甲分厂加工100件产品的平均利润为15元/件;9分乙分厂加工100件产品的总利润为
3、28 +17 +34 -21 =1 000元,所以乙分厂加工100件产品的平均利润为10元/件.11分故厂家应选择甲分厂承接加工任务.12分【深度解读】测试目标(1)直接运用公式解决问题;(2)平均值的求法.测试目标数据分析:通过分析数据求出平均值;数学运算:运用公式,由频数估计概率.【模拟考场】疫情期间,为支持学校隔离用餐的安排,保证同学们的用餐安全,食堂为同学们提供了送餐盒到班级用餐的服务.运营一段时间后,食堂为了调研同学们对送餐服务的满意程度,从高三年级500名同学中抽取了20名同学代表对送餐服务进行打分,满分100分,同学们打分的频率分布直方图如图:(1)求频率分布直方图中a的值;(2
4、)从成绩在的学生中任选2人,求此2人的成绩都在中的概率;(3)若打分不低于60分可视为对送餐服务满意,用样本的统计结果估计总体,请估计全年级有多少同学对送餐服务满意.【解析】(1)因为2a+2a+3a+6a+7a=20a,所以20a10=1,所以a=0.005.(2)成绩在的人数=20.0051020=2,成绩在中的学生人数=30.0051020=3,用a,b表示成绩在的2名学生,用c,d,e表示成绩在的3名学生,从5人中任取2人,有ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de,共10种情形.符合条件的有3种(cd,ce,de),所以概率P=.(3)样本20人中有18人打分成绩不
5、低于60分,即有的学生对送餐服务满意.用样本的统计结果估计总体,则估计全年级500人中,有500 =450人对送餐服务满意.【考场秘技】1.频率分布直方图中的数字特征(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数;(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的;(3)平均数等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.2.古典概型的两个特征(1)试验的所有可能结果只有有限个,每次试验只出现其中的一个结果;(2)每一个试验结果出现的可能性相同.3.互斥事件概率的加法公式(1)如果事件A与事件B互斥,则(2)若事件B与事件A互为对立事件,则P =1-P .4.互斥事件与对
6、立事件的概念(1)互斥事件是不可能同时发生的事件,但可以同时不发生;(2)对立事件是特殊的互斥事件,特殊在对立的两个事件不可能都不发生(或都发生),即有且仅有一个发生.5.求复杂的互斥事件的概率的两种方法(1)直接求解法:将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率,再求和;(2)间接法:先求该事件的对立事件的概率,再由P =1-P 求解.当题目涉及“至多”“至少”型问题时,多考虑间接法.【万能模板】求古典概型概率的基本步骤第一步:将题目条件中的相关内容转化为事件;第二步:判断事件是否为古典概型;第三步:选用合适的方法确定基本事件个数;第四步:代入古典概型的概率公式求解.【阅卷点评】1.步骤
7、分:(1)由频数求频率公式不能缺少;(2)平均值的公式不能少.2.关键分:解题过程的关键点,有则给分,无则没分.如平均值公式,不能缺少.3.计算分:概率计算要保证正确.1.(方案设计)某企业对某种产品的生产线进行了改造升级,已知该种产品的质量以其质量指标值m衡量,并依据质量指标值m划分等级如表:高考演兵场检验考试力质量指标值m300m350250m300或350m400150m250或400m0.85,而前5组的频率之和为(0.08+0.16+0.30+0.40+0.52)0.5=0.730.85,所以2.5x3.由0.3(x-2.5)=0.85-0.73,解得x=2.9.因此,估计月用水量标
8、准为2.9吨时,85%的居民每月的用水量不超过标准.5.(文化自信)某动漫影视制作公司长期坚持文化自信,不断挖掘中华优秀传统文化中的动漫题材,创作出一批又一批的优秀动漫影视作品,获得市场和广大观众的一致好评,同时也为公司赢得丰厚的利润.该公司2013年至2019年的年利润y关于年份代号x的统计数据如表(已知该公司的年利润与年份代号线性相关):年份2013201420152016201720182019年份代号x1234567年利润y(单位:亿元)29333644485259(1)求y关于x的线性回归方程,并预测该公司2020年(年份代号记为8)的年利润;(2)当统计表中某年年利润的实际值大于由
9、(1)中线性回归方程计算出该年利润的估计值时,称该年为A级利润年,否则称为B级利润年.将(1)中预测的该公司2020年的年利润视作该年利润的实际值,现从2015年至2020年这6年中随机抽取2年,求恰有1年为A级利润年的概率.【解析】(1)根据表中数据,计算可得=4,=43,又=28,所以因为,所以=43-54=23,所以y关于x的线性回归方程为=5x+23.将x=8代入,得=58+23=63.所以该公司2020年的年利润的预测值为63亿元.(2)由(1)可知2015年至2020年的年利润的估计值分别为38,43,48,53,58,63(单位:亿元),其中实际利润大于相应估计值的有2年.故这6
10、年中,被评为A级利润年的有2年,分别记为A1,A2;评为B级利润年的有4年,分别记为B1,B2,B3,B4,从2015年至2020年中随机抽取2年,总的情况分别为:A1A2,A1B1,A1B2,A1B3,A1B4,A2B1,A2B2,A2B3,A2B4,B1B2,B1B3,B1B4,B2B3,B2B4,B3B4,共计15种情况.其中恰有一年为A级利润年的情况分别为:A1B1,A1B2,A1B3,A1B4,A2B1,A2B2,A2B3,A2B4共有8种情况.记“从2015年至2020年这6年的年利润中随机抽取2年,恰有一年为A级利润年”的概率为P,故所求概率P=.6.(成绩分析)某校高一年级1
11、000名学生期中考试生物学科成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组情况如表:组号第一组第二组第三组第四组第五组分组50,60)60,70)70,80)80,90)90,100(1)求生物成绩在50,60)内的人数;(2)若同组中的每个数据用该组区间中点值代替,根据频率分布直方图,估计这1 000名学生生物成绩的平均分;(3)现有5名同学,其中3人的成绩在第三组内,2人的成绩在第四组内,从这5名同学中随机抽取2名,求这2名同学来自不同组的概率.【解析】(1)由题意,生物成绩在内的频率为1-(0.0110+0.0210+0.0310+0.03510)=0.05,所以生物成绩在内的人数为0.05
12、1 000=50.(2)由频率分布直方图得,分数在50,60)内的频率为0.05,60,70)内的频率为0.35,70,80)内的频率为0.3,80,90)内的频率为0.2,90,100内的频率为0.1,所以这1 000名学生期中考试生物成绩的平均分的估计值为:550.05+650.35+750.3+850.2+950.1=74.5.(3)设“这2名同学来自不同组”为事件A,设第三组的3名同学为a,b,c,第四组的2名同学为x,y,则样本空间为=(a,b),(a,c),(a,x),(a,y),(b,c),(b,x),(b,y),(c,x),(c,y),(x,y),事件A=(a,x),(a,y),(b,x),(b,y),(c,x),(c,y).所以P(A)=
