1、章末复习课网络构建核心归纳1三角函数的概念：重点掌握以下两方面内容：（1）理解任意角的概念和弧度的意义，能正确迅速地进行弧度与角度的换算（2）掌握任意的角的正弦、余弦和正切的定义，能正确快速利用三角函数值在各个象限的符号解题，能求三角函数的定义域和一些简单三角函数的值域2诱导公式：能用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角三角函数，利用“奇变偶不变，符号看象限”牢记所有诱导公式善于将同角三角函数的基本关系式和诱导公式结合起来使用，通过这些公式进行化简、求值，达到培养推理运算能力和逻辑思维能力提高的目的3三角函数的图像与性质函数ysin xycos xytan x图像定义域RR，(kZ)值域1,11
2、,1(，)续表最值x2k(kZ)时，ymax1；x2k (kZ)时，ymin1x2k(kZ)时，ymax1；x2k(kZ)时，ymin1无最大值、最小值周期性周期T2k(kZ)周期T2k(kZ)周期Tk(kZ)奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在(kZ)上是增函数；在(kZ)上是减函数在2k，2k(kZ)上是增函数；在2k，2k(kZ)上是减函数在区间(k，k)(kZ)上是增函数对称性轴对称图形，对称轴方程是xk，kZ；中心对称图形，对称中心(k，0)(kZ)轴对称图形，对称轴方程是xk，kZ；中心对称图形，对称中心(kZ)中心对称图形，对称中心(kZ)4.三角函数的图像与性质的应用(1)重点掌握
3、“五点法”，会进行三角函数图像的变换，能从图像中获取尽可能多的信息，如周期、半个周期、四分之一个周期等，如轴对称、中心对称等，如最高点、最低点与对称中心之间位置关系等能从三角函数的图像归纳出函数的性质(2)牢固掌握三角函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性和对称性在运用三角函数性质解题时，要善于运用数形结合思想、分类讨论思想、化归转化思想将综合性较强的试题完整准确地进行解答要点一任意角的三角函数的定义有关三角函数的概念主要有以下两个方面：(1)任意角和弧度制，理解任意角的概念，弧度制的意义，能正确地进行弧度与角度的换算(2)任意角的三角函数，掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，
4、能够利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域【例1】已知cos m，|m|1，求sin ，tan 的值解(1)当m0时，2k，kZ；当2k时，sin 1，tan 不存在；当2k时，sin 1，tan 不存在(2)当m1时，2k，kZ，sin tan 0.当m1时，2k，kZ，sin tan 0.(3)当在第一、二象限时，sin ，tan .(4)当在第三、四象限时，sin ，tan .【训练1】已知角的终边经过点P(，m) (m0)且sin m，试判断角所在的象限，并求cos 和tan 的值解由题意，得r，所以sin m.因为m0，所以m，故角是第二或第三象限角当m时
5、，r2，点P的坐标为(，)，角是第二象限角，所以cos ，tan ；当m时，r2，点P的坐标为(，)，角是第三象限角，所以cos ，tan .要点二诱导公式的应用(1)对于，2记忆为“函数名不变，符号看象限”(2)对于记忆为“函数名改变，符号看象限”注意：名改变指正弦变余弦或余弦变正弦，正切与余切之间变化“符号看象限”是指把看作锐角时原函数值的符号其作用是“负角变正角，大角变小角，小角变锐角”【例2】(1)若(注：对任意角有sin2cos21成立)，则()Asin cos Bcos sin C(sin cos )Dsin cos (2)已知f(x)asin(x)bcos(x)，其中， a，b均
6、为非零实数，若f(2 016)1，则f(2 017)等于_解析(1)|sin cos |，又，sin cos 0，故原式sin cos .(2)由诱导公式知f(2 016)asin bcos 1，f(2 017)asin()bcos()(asin bcos )1.答案(1)A(2)1【训练2】已知角的终边经过点P.(1)求sin 的值；(2)求的值解(1)|OP|1，点P在单位圆上由正弦函数的定义得sin .(2)原式，由余弦函数的定义得cos .故所求式子的值为.要点三三角函数的图像及变换1用“五点法”作yAsin(x)的图像时，确定五个关键点的方法是分别令x0，2.2对于yAsin(x)h
7、，应明确A、决定“变形”，、h决定“位变”，A影响值域，影响周期，A、影响单调性针对x的变换，即变换多少个单位，向左或向右很容易出错，应注意先“平移”后“伸缩”与先“伸缩”后“平移”的区别【例3】函数f(x)Asin(x)的一段图像如图(1)求f(x)的解析式；(2)把f(x)的图像向左至少平移多少个单位，才能使得到的图像对应的函数为偶函数？解(1)A3，5，故.由f(x)3sin过得sin0.又|，故，故f(x)3sin.(2)由f(xm)3sin3sin为偶函数(m0)，知k(kZ)，即mk(kZ)m0，mmin.故至少把f(x)的图像向左平移个单位长度，才能使得到的图像对应的函数是偶函数
8、【训练3】已知函数f(x)的部分图像如图所示，则f(x)的解析式可能为()Af(x)2sinBf(x)cosCf(x)2cosDf(x)2sin解析由图像知周期T4，则，排除B、D；由f(0)1，可排除A.答案C要点四三角函数的性质三角函数的性质，重点应掌握ysin x，ycos x，ytan x的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等有关性质，在此基础上掌握函数yAsin(x)，yAcos(x)及yAtan(x)的相关性质在研究其相关性质时，将x看成一个整体，利用整体代换思想解题是常见的技巧【例4】f(x)是定义在R上的偶函数，对任意实数x满足f(x2)f(x)，且f(x)在3，2上单调递减
9、，而，是锐角三角形的两个内角，求证：f(sin )f(cos )证明f(x2)f(x)，yf(x)的周期为2.f(x)在1,0与3，2上的单调性相同f(x)在1,0上单调递减f(x)是偶函数，f(x)在0,1上的单调性与1,0上的单调性相反f(x)在0,1上单调递增，是锐角三角形的两个内角，且，.又ysin x在上单调递增，sin sincos ，即sin cos .由，得f(sin )f(cos )【训练4】已知a0，函数f(x)2asin(2x)2ab，当x时，5f(x)1.(1)求常数a，b的值；(2)设g(x)f且lg g(x)0，求g(x)的单调区间解(1)x，2x.sin，2asi
10、n2a，af(x)b,3ab，又5f(x)1，b5,3ab1，因此a2，b5.(2)由(1)得a2，b5，f(x)4sin1，g(x)f4sin14sin1，又由lg g(x)0得g(x)1，4sin11，sin，2k2x2k，kZ，其中当2k2x2k，kZ时，g(x)单调递增，即kxk，kZ，g(x)的单调增区间为，kZ.又当2k2x2k，kZ时，g(x)单调递减，即kxk，kZ.g(x)的单调减区间为，kZ.要点五三角函数的综合应用(1)求解复合函数的有关性质问题时，应同时考虑到内层函数与外层函数的各自特征及它们的相互制约关系，准确地进行等价转化；(2)在求三角函数的定义域时，不仅要考虑函
11、数式有意义，而且要注意三角函数各自的定义域的要求一般是归结为解三角函数不等式(组)，可用图像法或单位圆法；(3)求复合函数的单调区间应按照复合函数单调性的规则进行；(4)用周期函数的定义求函数的周期是求周期的根本方法，在证明有关函数的周期性问题时，也常用周期函数的定义来处理【例5】已知函数f(x)log.(1)求它的定义域和值域、单调区间；(2)判断它的奇偶性、周期性，如果是周期函数，求出它的最小正周期解令u(x)sin.f(x)loglogsin.(1)要使f(x)有意义，则sin0，所以2kx(2k1)(kZ)，即x(kZ)因为0sin1，所以0sin，所以f(x)logu(x).所以f(
12、x)的值域为.x时，u(x)是增函数，所以f(x)logu(x)是减函数所以x时，函数是减函数同理可求得x(kZ)时，函数是增函数(2)因为f(x)的定义域不关于原点对称，所以f(x)是非奇非偶函数又f(x2)logsinlogsinf(x)，其中x(kZ)，所以f(x)是周期函数，且最小正周期是2.【训练5】函数f(x)cos x2|cos x|在0,2上与直线ym有且仅有2个交点，求m的取值范围解f(x)如图：由图可知：当m0或1m3时，直线ym与f(x)的图像有且仅有2个交点.基础过关1sin(60)的值是()A B.C D.解析sin(60)sin 60.答案C2已知角是第二象限角，角
13、的终边经过点P(x,4)，且cos ，则tan ()A. B.CD解析是第二象限角，且终边经过点P(x,4)x0.cos ，x3.则P(3,4)tan .答案D3已知2sin1，则cos()()A.B C.D解析2sin2cos 1，cos ，cos()cos ，故选B.答案B4已知扇形AOB的周长是6，圆心角是1弧度，则该扇形的面积为_解析由2Rl6，1，得Rl2，S222.答案25函数y3sin在区间上的最大值是_，此时自变量x_.解析x，2x.令u2x，又函数ysin u在上的最大值为1，函数y3sin在区间上的最大值是313，此时自变量2x，即x.答案16计算cos 585tan.解原
14、式cos 225tancos(cos 45)tan1.7已知函数f(x)3sin1，xR，求：(1)函数f(x)的最小值及此时自变量x的取值集合；(2)函数ysin x的图像经过怎样的变换得到函数f(x)3sin1的图像解(1)函数f(x)的最小值是3(1)14，此时有x2k，解得x4k(kZ)，即函数f(x)的最小值是4，此时自变量x的取值集合是.(2)步骤是：将函数ysin x的图像向左平移个单位长度，得到函数ysin的图像；将函数ysin的图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数ysin的图像；将函数ysin的图像上所有点的纵坐标伸长为原来的3倍(横坐标不变)，得到函
15、数y3sin的图像；将函数y3sin的图像向下平移1个单位长度，得函数y3sin1的图像能力提升8若直线x(1k1)与函数ytan的图像不相交，则k()A.BC.或 D.或解析由2xn.nZ，得x.由题意得，k，又1k1.k或k.答案C9设函数f(x)2sin(x)，xR，其中0，|2，所以01，所以，2k1，由|得，故选A.答案A10已知tan 2，则_.解析原式2.答案211对于函数f(x)给出下列四个命题：该函数是以为最小正周期的周期函数；当且仅当xk(kZ)时，该函数取得最小值1；该函数的图像关于x2k(kZ)对称；当且仅当2kx2k(kZ)时，0f(x).其中正确命题的序号是_(请将
16、所有正确命题的序号都填上)解析画出f(x)在一个周期0,2上的图像由图像知，函数f(x)的最小正周期为2，在x2k(kZ)和x2k(kZ)时，该函数都取得最小值1，故错误，由图像知，函数图像关于直线x2k(kZ)对称，在2kx2k(kZ)时，0f(x).故正确答案12已知函数ysin，求：(1)函数的周期；(2)求函数在，0上的单调递减区间解由ysin可化为ysin.(1)周期T.(2)令2k2x2k，kZ，得k xk，kZ.所以xR时，ysin的单调递减区间为，kZ.从而x，0时，ysin的单调递减区间为，.13(选做题)已知函数f(x)Asin(x)在一个周期内的图像如图所示(1)求f(x)的解析式；(2)求ffff的值解(1)由图像可知A2，周期T2，所以2，则f(x)2sin(2x)，由图像过点，得2sin2，即sin1，取得，故f(x)2sin.(2)由(1)可知f(x)的周期为，因为ffff110，所以ffff0503ffffff11.
