1、2012-2013学年江苏省扬州中学高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14题，每题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1（5分）求值sin75=考点：两角和与差的正弦函数4016551专题：三角函数的求值分析：把75变为45+30，然后利用两角和的正弦函数公式化简后，再利用特殊角的三角函数值即可求出值解答：解：sin75=sin（45+30）=sin45cos30+cos45sin30=+=故答案为：点评：此题考查学生灵活运用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简求值，是一道基础题学生做题时注意角度75的变换，与此类似的还有求sin152（5分）已
2、知直线l1：ax+2y+6=0与l2：x+（a1）y+a21=0平行，则实数a的取值是1考点：直线的一般式方程与直线的平行关系4016551专题：计算题分析：两直线的斜率都存在，由平行条件列出方程，求出a即可解答：解：由题意知，两直线的斜率都存在，由l1与l2平行得=a=1 a=2，当a=2时，两直线重合a=1故答案为：1点评：本题考查斜率都存在的两直线平行的性质，一次项的系数之比相等，但不等于常数项之比3（5分）在ABC中，若b2+c2a2=bc，则A=60考点：余弦定理4016551专题：计算题分析：利用余弦定理表示出cosA，把已知的等式代入求出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊
3、角的三角函数值即可求出A的度数解答：解：b2+c2a2=bc，根据余弦定理得：cosA=，又A为三角形的内角，则A=60故答案为：60点评：此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，利用了整体代入得数学思想，熟练掌握余弦定理是解本题的关键4（5分）直线x2y+1=0在两坐标轴上的截距之和为考点：直线的截距式方程4016551专题：直线与圆分析：根据直线x2y+1=0的方程，分别令x，y分别为0，可得截距，进而可得答案解答：解：因为直线l的方程为：x2y+1=0，令x=0，可得y=，令y=0，可得x=1，故直线l在两坐标轴上的截距之和为+（1）=，故答案为：点评：本题考查直线的一般式方程与直线
4、的截距式方程，涉及截距的求解，属基础题5（5分）已知an为等差数列，其前n项和为Sn，若a3=6，S3=12，则公差d=2考点：等差数列的前n项和4016551专题：等差数列与等比数列分析：由等差数列的性质和求和公式可得a2=4，进而可得d=a3a2，代入求解即可解答：解：由题意可得S3=12，解得a2=4，故公差d=a3a2=64=2故答案为：2点评：本题考查等差数列的前n项和公式和公差的求解，属基础题6（5分）若x+y=1，则x2+y2的最小值为考点：点到直线的距离公式4016551专题：直线与圆分析：在平面直角坐标系中作出直线x+y=1，由x2+y2=（ ）2可知x2+y2的最小值是原点
5、到直线x+y=1的距离的平方解答：解：如图，由题意可知，求x2+y2的最小值是求原点到直线x+y=1的距离的平方，化x+y=1为一般式，即x+y1=0，则（0，0）到x+y1=0的距离为 =，所以原点到直线x+y=1的距离的平方为（ ）2=故答案为：点评：本题考查了点到直线的距离公式，考查了数学转化思想和数形结合思想，解答此题的关键是对x2+y2的几何意义的理解，此题是中档题7（5分）若数列an满a1=1，=，a8=考点：数列递推式；数列的函数特性4016551专题：计算题；等差数列与等比数列分析：利用累乘法可得a8=，代入数值即可得到答案解答：解：a8=，故答案为：点评：本题考查数列的函数特
6、性、由递推式求数列的项，考查累乘法求数列通项8（5分）设实数x，y满足，则的最大值是考点：基本不等式4016551专题：计算题分析：先画出不等式组所表示的平面区域，然后根据的几何意义是区域内一点与坐标原点连线的斜率，从而可求出的最大值解答：解：根据实数x，y满足，画出约束条件，如右图中阴影部分而的几何意义是区域内一点与坐标原点连线的斜率当过点A（1，）时斜率最大，最大值为故答案为：点评：本题主要考查了线性规划为载体考查的几何意义，同时考查了作图能力和运算求解的能力，属于基础题9（5分）（2012海口模拟）设sin（+）=，则sin2=考点：二倍角的正弦；两角和与差的正弦函数4016551专题：
7、计算题分析：利用两角和的正弦公式可得 +=，平方可得 +sin2=，由此解得 sin2的值解答：解：sin（+）=，即 +=，平方可得 +sin2=，解得 sin2=，故答案为点评：本题主要考查两角和的正弦公式、二倍角的正弦的应用，属于基础题10（5分）光线从A（1，0）出发经y轴反射后到达x2+y26x6y+17=0所走过的最短路程为4考点：点与圆的位置关系；两点间的距离公式4016551专题：直线与圆分析：由对称性求出A（1，0）关于直线x=0对称点 M（1，0），化圆的一般方程为标准方程求出圆心坐标和半径，利用M到圆心的距离减去半径得答案解答：解：找出A（1，0）关于直线x=0对称点 M
8、（1，0）光线与y轴交点为P，所以有|PA|=|PM|，最短路程等于M到原心的距离减去半径由x2+y26x6y+17=0，得（x3）2+（y3）2=1所以圆的半径为2，圆心为C（3，3）MC的距离为所以最短路程为51=4故答案为4点评：本题考查了两点间的距离公式，考查了点与圆的位置关系，解答的关键是对题意的理解，是基础题11（5分）函y=2sinx+sin（x）的最小值是考点：两角和与差的正弦函数；正弦函数的定义域和值域4016551专题：三角函数的图像与性质分析：先利用三角函数的诱导公式及和角公式将函数y=2sinx+sin（x）化简为sin（x+），求出最小值解答：解：y=2sinx+si
9、n（x）=2sinx+cosxsinx=sinx+cosx=sin（x+）所以最小值为故答案为：点评：本题主要考查三角函数最值的求法，一般都要把函数化简为y=Asin（wx+）的形式再解题12（5分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别a，b，c，给出下列结论：ABC，则sinAsinBsinC；若=，ABC为等边三角形；必存在A，B，C，使tanAtanBtanCtanA+tanB+tanC成立；若a=40，b=20，B=25，ABC必有两解其中，结论正确的编号为（写出所有正确结论的编号）考点：命题的真假判断与应用4016551专题：解三角形分析：由正弦定理，将角转化为边的关系，进而判断，
10、角的正弦值之间的关系由正弦定理，得出角的正弦值与余弦值之间的关系，从而求出角，A，B，C的大小利用两角和的正切公式，将不等式进行化简，然后进行判断根据边角关系，判断三角形解的个数解答：解：在三角形中，ABC，得abc，由正弦定理可知sinAsinBsinC，所以正确由正弦定理条件知，即sinBcosC=cosBsinC，所以sinBcosCcosBsinC=sin（BC）=0，解得B=C 所以ABC为等腰三角形，所以错误tanA+tanB+tanCtanAtanBtanC=tan（A+B）（1tanAtanB）+tanCtanAtanBtanC=tanC（1tanAtanB）+tanCtanA
11、tanBtanC=tanC若C为锐角，则tanA+tanB+tanCtanAtanBtanC0，此时tanAtanBtanCtanA+tanB+tanC若C为钝角，则tanA+tanB+tanCtanAtanBtanC0，此时tanAtanBtanCtanA+tanB+tanC所以错误因为，即asinBba，所以，ABC必有两解所以正确故答案为：点评：本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，要求熟练掌握相关的三角公式和定理13（5分）平面直角坐标系中，O为坐标原点，M是直线l：x=3上的动点，过点F（1，0）作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点P（m，n）则m，n满足的关系式为m2+n2=
12、3考点：圆的标准方程4016551专题：直线与圆分析：设点M（3，k），则由PFOM可得 =1，化简可得 nk=33m 再由题意可得OPM为直角三角形，故由勾股定理可得OP2+PM2=OM2，化简可得 2m2+2n26m2nk=0 再把代入化简可得结果解答：解：设点M（3，k），则由PFOM可得 =1，化简可得 nk=33m 再由直径对的圆周角为直角，可得OPPM，OPM为直角三角形，故由勾股定理可得OP2+PM2=OM2，即 m2+n2+（m3）2+（nk）2=32+k2化简可得 2m2+2n26m2nk=0 再把代入化简可得 m2+n2=3，故答案为 m2+n2=3点评：本题主要考查两条直
13、线垂直的性质，直线和圆相交的性质，属于中档题14（5分）已知等比数an，a1=1，a4=8，在an与an+1两项之间依次插入2n1个正整数，得到数列bn，即a1，1，a2，2，3，a3，4，5，6，7，a4，8，9，10，11，12，13，14，15，a5，则数列bn的前2013项之和S2013=2007050（用数字作答）考点：等比数列的前n项和4016551专题：等差数列与等比数列分析：在数列bn中，到an项共有=n+（1+2+2n2）=n+=2n1+n1项，即为f（n）（n2），因此判断出共含有an的项数，进而即可得出S2013解答：解：在数列bn中，到an项共有=n+（1+2+2n2）
14、=n+=2n1+n1项，即为f（n）（n2）则f（11）=210+111=1034，f（12）=211+121=2059设等比数an的公比为q，由a1=1，a4=8，得1q3=8，解得q=2，因此S2013=a1+a2+a10+a11+1+2+3+2002=+=2007050故答案为2007050点评：熟练掌握等差数列和等比数列的前n项和公式及由已知判断出共含有an的项数是解题的关键二、解答题（本大题共6题，共90分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15（14分）已知二次函数y=f（x）图象的顶点是（1，3），又f（0）=4，一次函数y=g（x）的图象过（2，0）和（0，2）（1）
15、求函数y=f（x）和函数y=g（x）的解析式；（2）求关于x的不等式f（x）3g（x）的解集考点：二次函数的性质4016551专题：函数的性质及应用分析：（1）利用待定系数法分别求出二次函数y=f（x）和一次函数y=g（x）的解析式（2）利用（1）的结论，解不等式f（x）3g（x）解答：解：（）设f（x）=a（x+1）2+3，f（0）=4，解得a=1函数解析式为f（x）=（x+1）2+3=x2+2x+4（4分）又因为次函数y=g（x）的图象过（2，0）和（0，2）所以得直线的截距式方程，g（x）=x+2 （8分）（）f（x）3g（x）得x2x20解得x2或x1 （13分）不等式f（x）3g（x
16、）的解集为x|x2或x1 （14分）点评：本题的考点是利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，以及一元二次不等式的解法16（14分）已知cos=，sin（+）=，（0，），（，）（1）求cos2的值；（2）求sin的值考点：两角和与差的正弦函数；同角三角函数间的基本关系；二倍角的余弦4016551专题：三角函数的求值分析：（1）利用二倍角的余弦函数公式化简cos2，将cos的值代入计算即可求出值；（2）由cos的值，以及的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sin的值，再由与的范围求出+的范围，根据sin（+）的值求出cos（+）的值，sin=（+），利用两角和与差的正弦函数公式化简后，
17、将各自的值代入计算即可求出值解答：解：（1）cos=，cos2=2cos21=；（2）cos=，（，），sin=，（0，），（，），+（，），又sin（+）=，cos（+）=，则sin=sin（+）=sin（+）coscos（+）sin=（）+=点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及二倍角的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键17（15分）若等比数列an的前n项和Sn=a（1）求实数a的值；（2）求数列nan的前n项和Rn考点：等比数列的前n项和；数列的求和4016551专题：等差数列与等比数列分析：（1）当n=1时，a1=S1=a 当n2时，an=SnS
18、n1=，再由a1=a，解得a的值（2）nan=，则 Rn=+，可得2Rn=1+，求得：Rn的解析式解答：解：（1）当n=1时，a1=S1=a （2分）当n2时，an=SnSn1=（a）（a ）=，（5分）则 a1=a，解得 a=1 （7分）（2）nan=，则 Rn=+，（10分）2Rn=1+，（11分）求得：Rn=2 （15分）点评：本题主要考查数列的前n项和与第n项的关系，用错位相减法进行数列求和，属于中档题18（15分）如图，某海域内的岛屿上有一直立信号塔AB，设AB延长线与海平面交于点O测量船在点O的正东方向点C处，测得塔顶A的仰角为30，然后测量船沿CO方向航行至D处，当CD=100（
19、1）米时，测得塔顶A的仰角为45（1）求信号塔顶A到海平面的距离AO；（2）已知AB=52米，测量船在沿CO方向航行的过程中，设DO=x，则当x为何值时，使得在点D处观测信号塔AB的视角ADB最大考点：正弦定理；两角和与差的正切函数4016551专题：计算题；解三角形分析：（1）由题意知，在ACD中，ACD=30，DAC=15，利用正弦定理可求得AD，在直角AOD中，ADO=45，从而可求得AO；（2）设ADO=，BDO=，依题意，tan=，tan=，可求得tanADB=tan（）=，利用基本不等式可求得tanADB的最大值，从而可得答案解答：解：（1）由题意知，在ACD中，ACD=30，DA
20、C=15，（2分）所以=，得AD=100，（5分）在直角AOD中，ADO=45，所以AO=100（米）； （7分）（2）设ADO=，BDO=，由（1）知，BO=48米，则tan=，tan=，（9分）tanADB=tan（）=，（11分）所以tanADB=，（13分）当且仅当x=即x=40亦即DO=40时，tanADB取得最大值，（14分）此时点D处观测信号塔AB的视角ADB最大 （15分）点评：本题考查正弦定理，考查两角和与差的正切函数，突出考查基本不等式的应用，考查分析与运算能力，属于中档题19（16分）已知圆O：x2+y2=r2（r0）与直线xy+2=0相切（1）求圆O的方程；（2）过点（
21、1，）的直线l截圆所得弦长为2，求直线l的方程；（3）设圆O与x轴的负半轴的交点为A，过点A作两条斜率分别为k1，k2的直线交圆O于B，C两点，且k1k2=2，试证明直线BC恒过一个定点，并求出该定点坐标考点：圆的标准方程；直线与圆的位置关系4016551专题：直线与圆分析：（1）由圆O与直线相切，得到圆心到切线的距离等于圆的半径，列出关于r的方程，求出方程的解得到r的值，即可确定出圆的方程；（2）分两种情况考虑：当直线l斜率不存在时，直线x=1满足题意；当直线l斜率存在时，设出直线方程，根据直线与圆相切，得到圆心到直线的距离d=r，列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，确定出此时直线l的
22、方程，综上，得到满足题意直线l的方程；（3）根据题意求出A的坐标，设出直线AB的解析式，与圆方程联立消去y得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理表示出两根之积，将A的横坐标代入表示出B的横坐标，进而表示出B的纵坐标，确定出B坐标，由题中k1k2=2，表示出C坐标，进而表示出直线BC的解析式，即可确定出直线BC恒过一个定点，求出定点坐标即可解答：解：（1）圆O：x2+y2=r2（r0）与直线xy+2=0相切，圆心O到直线的距离d=2=r，圆O的方程为x2+y2=4； （2）若直线l的斜率不存在，直线l为x=1，此时直线l截圆所得弦长为2，符合题意；若直线l的斜率存在，设直线为y=k（x1），即3
23、kx3y+3k=0，由题意知，圆心到直线的距离为d=1，解得：k=，此时直线l为x+y2=0，则所求的直线为x=1或x+y2=0；（3）由题意知，A（2，0），设直线AB：y=k1（x+2），与圆方程联立得：，消去y得：（1+k12）x2+4k12x+（4k124）=0，xAxB=，xB=，yB=，即B（，），k1k2=2，用代替k1得：C（，），直线BC方程为y=（x），即y=（x），整理得：y=x+=（x+），则直线BC定点（，0）点评：此题考查了圆的标准方程，以及直线与圆的位置关系，涉及的知识有：韦达定理，直线的两点式方程，点到直线的距离公式，以及恒过定点的直线方程，利用了分类讨论的思想
24、，是一道综合性较强的试题20（16分）设数列an的前n项和为Sn，对任意nN*都有Sn=（）2成立（1）求数列an的前n项和Sn；（2）记数列bn=an+，nN*，R，其前n项和为Tn若数列Tn的最小值为T6，求实数的取值范围；若数列bn中任意的不同两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”试问：是否存在这样的“封闭数列”bn，使得对任意nN*，都有Tn0，且+L+若存在，求实数的所有取值；若不存在，请说明理由考点：数列的求和；等差数列的通项公式；等差数列与等比数列的综合4016551专题：等差数列与等比数列分析：（1）利用，即可得到法一或法二；（2）由题意可得TnT6，即可求出的取
25、值范围；因bn是“封闭数列”，设bp+bq=bm（p，q，mZ*，且任意两个不相等 ）得2p1+2q1+=2m1+，化为=2（mpq）+1，则为奇数由任意nN*，都有Tn0，且+得 ，化为，即的可能值为1，3，5，7，9，又0，因为，检验得满足条件的=3，5，7，9，解答：（1）法一：由Sn=（）2 得：，得，得到2（an+1+an）=（an+1+an）（an+1an）由题知an+1+an0得an+1an=2，又，化为，解得a1=1数列an是以1为首项，2为公差的等差数列，an=1+（n1）1=2n1，因此前n项和Sn=n2；法二：由，化为，解得a1=1当n2时，得到，即所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，=n，得到（2）由bn+2n1+得到其前n项和Tn=n2+n，由题意Tn最小值为T6，即TnT6，n2+n36+6，化为，13，11因bn是“封闭数列”，设bp+bq=bm（p，q，mZ*，且任意两个不相等 ）得2p1+2q1+=2m1+，化为=2（mpq）+1，则为奇数由任意nN*，都有Tn0，且+得 ，化为，即的可能值为1，3，5，7，9，又0，因为，检验得满足条件的=3，5，7，9，即存在这样的“封闭数列”bn，使得对任意nN*，都有Tn0，且+，所以实数的所有取值集合为3，5，7，9点评：数列掌握进行转化及正确理解“封闭数列”的意义是解题的关键
