1、课时规范练15利用导数研究函数的单调性基础巩固组1.函数f(x)=x3-ax为R上增函数的一个充分不必要条件是()A.a0B.a02.(2020山东青岛二中月考)已知定义域为R的函数f(x)的导数为f(x),且满足f(x)x2-1的解集是()A.(-,-1)B.(-1,+)C.(2,+)D.(-,2)3.(2020山东德州二模,8)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x)+13ex的解集为()A.(1,+)B.(-,1)C.(0,+)D.(-,0)4.已知函数f(x)=lnxx,则()A.f(2)f(e)f(3)B.f(3)f(e)f(2)C.f(e)f(2)f(3)D.f(e)f(3)f(2
2、)5.(多选)(2020山东高三模拟,8)若定义在R上的函数f(x)满足f(0)=-1,其导函数f(x)满足f(x)m1,则下列成立的有()A.f1m1-mmB.f1m1m-1D.f1m-10,函数f(x)=2ax3-3(a2+1)x2+6ax-2.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)在R上仅有一个零点,求a的取值范围.综合提升组9.已知函数f(x)=ax2-4ax-ln x,则f(x)在(1,3)上不具有单调性的一个充分不必要条件是()A.a-,16B.a-12,+C.a-12,16D.a12,+10.已知函数f(x)=aln x-2x,若不等式f(x+1)ax-2ex在x(0,+)
3、上恒成立,则实数a的取值范围是()A.(-,2B.2,+)C.(-,0D.0,211.(多选)(2020山东胶州一中模拟,11)已知定义在0,2上的函数f(x)的导函数为f(x),且f(0)=0,f(x)cos x+f(x)sin x0,则下列判断中正确的是()A.f60C.f63f3D.f42f312.(2020山东潍坊临朐模拟一,22)已知函数f(x)=mln x-x+mx(mR),讨论f(x)的单调性.创新应用组13.(2020山东潍坊临朐模拟一,8)已知奇函数f(x)的定义域为-2,2,其导函数为f(x),当0x2时,有f(x)cos x+f(x)sin x0成立,则关于x的不等式f(
4、x)2f4cos x的解集为()A.4,2B.-2,-44,2C.-4,00,4D.-4,04,214.设函数f(x)=aln x+x-1x+1,其中a为常数.(1)若a=0,求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程;(2)讨论函数f(x)的单调性.参考答案课时规范练15利用导数研究函数的单调性1.B函数f(x)=x3-ax为R上增函数的充要条件是f(x)=3x2-a0在R上恒成立,所以a(3x2)min.因为(3x2)min=0,所以a0.而(-,0)(-,0.故选B.2.D令g(x)=f(x)-x2,则g(x)=f(x)-2xx2-1可化为f(x)-x2-1,而g(2)=f(2)-
5、22=3-4=-1,所以不等式可化为g(x)g(2),故不等式的解集为(-,2).故选D.3.C令g(x)=f(x)+1ex,f(x)+10,故g(x)在R上单调递增,且g(0)=3,由f(x)+13ex,可得f(x)+1ex3,即g(x)g(0),所以x0,故选C.4.Df(x)=1-lnxx2(x0),当x(0,e)时,f(x)0;当x(e,+)时,f(x)f(3)f(2).故选D.5.AC设g(x)=f(x)-mx,则g(x)=f(x)-m0,故g(x)=f(x)-mx在R上单调递增.因为1m0,所以g1mg(0),故f1m-1-1,即f1m0,而1-mm1-mm,故A正确,B错误.因为
6、1m-10,所以g1m-1g(0),故f1m-1-mm-1-1,即f1m-11m-10,故C正确,D错误.故选AC.6.(1,2f(x)=12x2-9lnx,f(x)=x-9x(x0),当x-9x0时,有00且a+13,解得10有解,即a2x-4ex有解.令g(x)=2x-4ex,则g(x)=2-4ex.令g(x)=0,解得x=-ln2.函数g(x)=2x-4ex在(-,-ln2)上单调递增;在(-ln2,+)上单调递减.所以当x=-ln2时,g(x)=2x-4ex取得最大值-2-2ln2,所以a-2-2ln2.8.解(1)f(x)=6ax2-6(a2+1)x+6a=6(x-a)(ax-1),
7、由f(x)=0,得x=a或x=1a.当0aa.所以当x1a时,f(x)0,从而f(x)在(-,a),1a,+上单调递增;当ax1a时,f(x)1时,a1a.所以当xa时,f(x)0,从而f(x)在-,1a,(a,+)上单调递增;当1axa时,f(x)0,从而f(x)在1a,a上单调递减.综上,当0a1时,f(x)在-,1a,(a,+)上单调递增,在1a,a上单调递减.(2)f(a)=-a4+3a2-2=(a2-1)(2-a2),f1a=1-1a2.当0a1时,f(a)0,f1a0,所以f(x)仅在1a,+上有一个零点,因此0a1时,f1a0,所以要满足题设须有f(a)0,从而2-a20,解得1
8、a2,因此1a0,g(1)g(3)0,解得a16.而12,+-,-1216,+,故选D.10.Af(ex)=ax-2ex,所以f(x+1)ax-2ex在(0,+)上恒成立,等价于f(x+1)f(ex)在(0,+)上恒成立.因为当x(0,+)时,1x+11时,f(x)0恒成立,即当x1时,ax2恒成立,所以a2.故选A.11.CD令g(x)=f(x)cosx,x0,2,则g(x)=f(x)cosx+f(x)sinxcos2x.因为f(x)cosx+f(x)sinx0,所以g(x)=f(x)cosx+f(x)sinxcos2xg4,即f(6)cos6f(4)cos4,即f662f4,故A错误;又因
9、为f(0)=0,所以g(0)=f(0)cos0=0,所以g(x)=f(x)cosx0在0,2上恒成立,因为ln30,2,所以fln3g3,所以f(6)cos6f(3)cos3,即f63f3,故C正确;又因为g4g3,所以f(4)cos4f(3)cos3,即f42f3,故D正确.故选CD.12.解由题意得x(0,+),f(x)=mx-1-mx2=-x2-mx+mx2.令g(x)=x2-mx+m,=m2-4m=m(m-4).当0m4时,0,g(x)0恒成立,则f(x)0,f(x)在(0,+)上单调递减.当m0,函数g(x)与x轴有两个不同的交点x1,x2(x1x2),x1+x2=m0,x1x2=m
10、0,则x10.所以当x0,m+m2-4m2时,g(x)0,则f(x)在0,m+m2-4m2上单调递增;当xm+m2-4m2,+时,g(x)0,f(x)4时,0,函数g(x)与x轴有两个不同的交点x1,x2(x10,x1x2=m0,则x10,x20.所以f(x)在0,m-m2-4m2,m+m2-4m2,+上单调递减;在m-m2-4m2,m+m2-4m2上单调递增.综上所述,当0m4时,f(x)在(0,+)上单调递减;当m4时,f(x)在0,m-m2-4m2上单调递减,在m-m2-4m2,m+m2-4m2,m+m2-4m2,+上单调递减.13.A根据题意,设g(x)=f(x)cosx,其导数为g(
11、x)=f(x)cosx+f(x)sinxcos2x.因为当0x2时,f(x)cosx+f(x)sinx0,所以当0x2时,g(x)0,则函数g(x)在0,2上单调递减.又因为f(x)为定义域为-2,2的奇函数,则g(-x)=f(-x)cos(-x)=-f(x)cosx=-g(x),则函数g(x)为奇函数,所以函数g(x)在-2,2上为减函数.f(x)2f4cosx,即f(x)cosx2f4,即f(x)cosxf(4)cos4,即g(x)g4.所以4x0,所以函数f(x)在(0,+)上单调递增.当a0时,令g(x)=ax2+2(a+1)x+a,则=4(a+1)2-4a2=4(2a+1).()当a
12、-12时,0,所以g(x)0,于是f(x)0,所以函数f(x)在(0,+)上单调递减.()当-12a0,此时g(x)=0有两个不相等的实数根,分别是x1=-(a+1)+2a+1a,x2=-(a+1)-2a+1a,x10,x1x2=10,可得0x1x2.当0xx2时,有g(x)0,f(x)0,所以函数f(x)在(0,x1),(x2,+)上单调递减;当x1x0,f(x)0,所以函数f(x)在(x1,x2)上单调递增.综上所述,当a0时,函数f(x)在(0,+)上单调递增;当a-12时,函数f(x)在(0,+)上单调递减;当-12a0时,函数f(x)在0,-(a+1)+2a+1a,-(a+1)-2a+1a,+上单调递减,在-(a+1)+2a+1a,-(a+1)-2a+1a上单调递增.
