1、安徽省宿州市泗县第一中学2020-2021学年高二数学下学期期末考试试题 理（含解析）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）. 1已知命题p：“a（0，+），关于x的方程有实根”，则p为（）Aa0（，0，关于x的方程有实根Ba（0，+），关于x的方程有实根Ca0（0，+），关于x的方程没有实根Da（，0，关于x的方程没有实根2已知i为虚数单位，若，则（）A1B2CD3已知集合Ax|x22x，Bx|axa+1，若AB，则a的取值范围是（）A0，1B1，0C（0，1）D（1，1）4若双曲线的中心为坐标原点，焦点在y轴上，其离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（）ABCy4xD5若，且tan
2、3则sin（+）（）ABCD6已知函数f（x）2x22ax+1，满足f（3+x）f（3x），则（）AB9C18D727已知向量，均为单位向量，且，则（）ABCD8若，且不等式的解集中有且仅有5个整数，则a的取值范围是（）A（5，6B5，6）C4，5）D（4，59已知菱形ABCD中，ABBD2，把ABD沿BD折起，使点A到达点P处，且PC3，则三棱锥PBCD的体积为（）ABCD10已知函数的图象向左平移个单位后，得到函数g（x）的图象，则g（x）（）A是奇函数B图象关于直线对称C在上是增函数D图形关于直线对称11我们把函数D（x）称为狄利克雷函数，关于狄利克雷函数给出下列结论：D（|x|）D（x
3、）；D（x+1）D（x）；D（D（x）D（x）；y|yD（x）0，1其中正确命题的个数为（）A1B2C3D412已知椭圆C：的一个焦点为F（1，0），一个顶点为A（2，0），设B（t，0），点P是椭圆C上的动点，若|PB|AB|恒成立，则t的取值范围是（）ABC2，2D（2，+）二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分，请把答案写在答题卡上。13的展开式中幂指数绝对值最小的项的系数为 14已知ABC的三边a，b，c满足a+c2b，且ABC的面积为，则的值为 154名同学参加3个课外知识讲座，每名同学必须且只能随机选择其中的一个，不同的选法种数是 .（用数字作答）16设正实数x，y满足x+
4、y1，则的取值范围是 三、解答题：共70分，解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22.23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2sinAcosB2sinC+sinB（1）求角A；（2）若a4，求ABC的面积18已知等差数列an的前n项和为Sn，数列bn为等比数列，满足a1b22，S530，b4+2是b3与b5的等差中项（1）求数列an，bn的通项公式；（2）若cnanbn，Tn是数列cn的前n项和，求Tn19如图，在五面体ABCDEF中，面ADEF为矩形，且与面ABCD垂直
5、，BCD90，ADCDBC1，DE（1）证明：ADBC；（2）求平面ACE与平面BCEF所成的锐二面角的余弦值20从某企业生产的某种产品中抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布表和频率分布直方图分组频数频率2.5，7.5）20.0027.5，12.5）m0.05412.5，17.5）1060.10617.5，22.5）1490.14922.5，27.5）352n27.5，32.5）1900.19032.5，37.5）1000.10037.5，42.5）470.047合计10001.000（1）求m，n，a的值；（2）求出这1000件产品质量指标值的样本平均数（同
6、一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（，2），其中近似为样本平均数，2近似为样本方差s2，其中已计算得252.6如果产品的质量指标值位于区间（10.50，39.50），企业每件产品可以获利10元，如果产品的质量指标值位于区间（10.50，39.50）之外，企业每件产品要损失100元，从该企业一天生产的产品中随机抽取20件产品，记X为抽取的20件产品所获得的总利润，求EX附：，P（x+）0.6826，P（2x+2）0.954421已知函数，aR，e2.71828是自然对数的底数（1）当a0时，讨论f（x）的单调性；（2）当x2时，f
7、（x）0，求a的取值范围（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选够4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程（t为参数）在以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为2cos（1）求直线l的极坐标方程；（2）若射线，与直线l及曲线C分别交于点A，B，且|OA|OB|2求tan选修4-5：不等式选讲23已知f（x）x2+|4x1|（1）求不等式f（x）3|x|+1的解集；（2）若对任意实数x恒成立，求证：|a|+|b|2|ab|参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.
8、1已知命题p：“a（0，+），关于x的方程有实根”，则p为（）Aa0（，0，关于x的方程有实根Ba（0，+），关于x的方程有实根Ca0（0，+），关于x的方程没有实根Da（，0，关于x的方程没有实根解：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论可知，命题p：“a（0，+），关于x的方程有实根”，则p为：a0（0，+），关于x的方程没有实根故选：C2已知i为虚数单位，若，则（）A1B2CD解：设za+bi，（a，bR），即，解得ab1，故选：B3已知集合Ax|x22x，Bx|axa+1，若AB，则a的取值范围是（）A0，1B1，0C（0，1）D（1，1）解：Ax|x0或x2，Bx|a
9、xa+1，且AB，解得0a1，a的取值范围是0，1故选：A4若双曲线的中心为坐标原点，焦点在y轴上，其离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（）ABCy4xD解：因为e2，所以，而焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程为：yx，所以该双曲线的渐近线方程为：yx故选：B5若，且tan3则sin（+）（）ABCD解：因为，且tan30，所以（，），sin0，cos0，因为sin2+cos2sin2+（）21，所以sin，则sin（+）sin故选：A6已知函数f（x）2x22ax+1，满足f（3+x）f（3x），则（）AB9C18D72解：f（3+x）f（3x），函数f（x）的对称轴为x3，x3，212，4
10、14472故选：D7已知向量，均为单位向量，且，则（）ABCD解：，2，+4+42，向量，均为单位向量，1+4+42，|故选：C8若，且不等式的解集中有且仅有5个整数，则a的取值范围是（）A（5，6B5，6）C4，5）D（4，5解：由题意可得，即loga1，解得a1，不等式变形为，因为a1，所以，则，所以，因为不等式的解集中有且仅有5个整数，则必然是1，2，3，4，5，所以5a6故选：A9已知菱形ABCD中，ABBD2，把ABD沿BD折起，使点A到达点P处，且PC3，则三棱锥PBCD的体积为（）ABCD解：如图，连接AC、BD，设ACBDE，四边形ABCD为菱形，BDCE，BDPE，又PECE
11、E，BD平面PEC，可得平面PEC平面ABCD，又ABBD2，ABD、BCD是边长为2的等边三角形，可得AECE，则PECE，在PEC中，PECE，PC3，由余弦定理可得，cosPEC，即PEC120，PEA60在平面PEC中，过P作POAC，则PO平面ABCD，即PO为三棱锥PBCD的高，在RtPOE中，由PE，PEO60，可得POsin60则三棱锥PBCD的体积为V故选：A10已知函数的图象向左平移个单位后，得到函数g（x）的图象，则g（x）（）A是奇函数B图象关于直线对称C在上是增函数D图形关于直线对称解：函数的图象向左平移个单位后，得到函数g（x）sin（2x+）cos2x的图象，则g
12、（x）是偶函数，故A错误；令x，求得g（x）0，故g（x）的图象关于点（ ，0）对称，故B错误；在上，2x（0，），函数g（x）单调递减，故C错误；令x，求得g（x）1，为最小值，故g（x）的图象关于直线对称，故D正确，故选：D11我们把函数D（x）称为狄利克雷函数，关于狄利克雷函数给出下列结论：D（|x|）D（x）；D（x+1）D（x）；D（D（x）D（x）；y|yD（x）0，1其中正确命题的个数为（）A1B2C3D4解：对：若x为有理数，则|x|也为有理数，则D（x）D（|x|），同理x为无理数也成立，故正确；对：若x为有理数，则x+1也为有理数，则D（x+1）D（x），同理x为无理数也成
13、立，故正确；对：若x为有理数，则D（D（x）D（1）1D（x），若x为无理数，D（D（x）D（0）10D（x），故错误；对：根据定义，D（x）1或者0，故y|yD（x）0，1成立，故正确故选：C12已知椭圆C：的一个焦点为F（1，0），一个顶点为A（2，0），设B（t，0），点P是椭圆C上的动点，若|PB|AB|恒成立，则t的取值范围是（）ABC2，2D（2，+）解：由已知可得c1，a2，则bac3，所以+1，设P（x0，y0），则+1，所以3（2x02），若|PB|AB|恒成立，则|PB|AB|恒成立，所以（x0t）+（2t），整理可得t（x02），当x02时，不等式恒成立，当2x02，不等
14、式可化为t恒成立，因为（）max，所以t，综上，t的取值范围是，+）故选：B二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分，请把答案写在答题卡上。13的展开式中幂指数绝对值最小的项的系数为 5解：的展开式的通项公式为 Tr+1（1）rx54r，要使幂指数绝对值最小，即54r最小，故r1，故幂指数绝对值最小的项的系数为（1）5，故答案为：514已知ABC的三边a，b，c满足a+c2b，且ABC的面积为，则的值为 1或解：因为SABCabsinCab，所以sinC，因为C（0，），所以C或，因为a+c2b，由正弦定理可得sinA+sinC2sinB，即2sin（A+C）sinA+sinC，当C时，
15、2sin（A+）sinA+sin解得cosA，所以sinA，此时1；当C时，2sin（A+）sinA+sin，解得cosA（cosA舍去），所以sinA，此时，故答案为：1或154名同学参加3个课外知识讲座，每名同学必须且只能随机选择其中的一个，不同的选法种数是 81.（用数字作答）解：根据题意，4名同学参加3个课外知识讲座，每个同学有3种选法，则4名同学有333381种选法，故答案为：8116设正实数x，y满足x+y1，则的取值范围是 解：正实数x，y满足x+y1，1，当且仅当xy时取等号则x2+y2+12xy+，2xy+故x2+y2+的取值范围为故答案为：三、解答题：共70分，解答题写出文
16、字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22.23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2sinAcosB2sinC+sinB（1）求角A；（2）若a4，求ABC的面积解：（1）因为2sinAcosB2sinC+sinB2（sinAcosB+cosAsinB）+sinB，所以可得2cosAsinB+sinB0，因为sinB0，所以cosA，因为A（0，），所以A（2）因为A，a4，所以由余弦定理a2b2+c22bccosA，可得16b2+c2+bc（b+c）2bc20bc，解得bc4，所以S
17、ABCbcsinA18已知等差数列an的前n项和为Sn，数列bn为等比数列，满足a1b22，S530，b4+2是b3与b5的等差中项（1）求数列an，bn的通项公式；（2）若cnanbn，Tn是数列cn的前n项和，求Tn解：（1）设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q，由a1b22，S530，b4+2是b3与b5的等差中项，可得b1q2，52+10d30，2（b4+2）b3+b5，即2（b1q3+2）b1q2+b1q4，解得d2，b11，q2，则an2+2（n1）2n；bn2n1；（2）因为cnanbnn2n；所以数列cn的前n项和Tn121+222+323+.+（n1）2n1+n2
18、n， 2Tn122+223+.+（n2）2n+（n1）2n+n2n+1，两式相减可得Tn2+22+23+.+2nn2n+1（1n）2n+12，Tn（n1）2n+1+219如图，在五面体ABCDEF中，面ADEF为矩形，且与面ABCD垂直，BCD90，ADCDBC1，DE（1）证明：ADBC；（2）求平面ACE与平面BCEF所成的锐二面角的余弦值【解答】（1）证明：因为面ADEF为矩形，则ADEF，又AD平面EFBC，EF平面EFBC，所以AD平面EFBC，又AD平面ABCD，平面ABCD平面EFBCBC，所以ADBC；（2）解：由题意，平面EFAD平面ABCD，平面EFCD平面ABCDCD，又
19、EDAD，ED平面EFAD，所以EDABCD，由（1）可知，ADBC，又BCD90，则CDAD，故ED，AD，CD两两互相垂直，以点D为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，则，所以，设平面ACE的法向量为，则，即，令z1，则，故，设平面BCEF的法向量为，则，则，令c1，则，故，所以，故平面ACE与平面BCEF所成的锐二面角的余弦值为20从某企业生产的某种产品中抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布表和频率分布直方图分组频数频率2.5，7.5）20.0027.5，12.5）m0.05412.5，17.5）1060.10617.5，22.5）1490.14922.
20、5，27.5）352n27.5，32.5）1900.19032.5，37.5）1000.10037.5，42.5）470.047合计10001.000（1）求m，n，a的值；（2）求出这1000件产品质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（，2），其中近似为样本平均数，2近似为样本方差s2，其中已计算得252.6如果产品的质量指标值位于区间（10.50，39.50），企业每件产品可以获利10元，如果产品的质量指标值位于区间（10.50，39.50）之外，企业每件产品要损失100元，从该企业一天生产的产品中随
21、机抽取20件产品，记X为抽取的20件产品所获得的总利润，求EX附：，P（x+）0.6826，P（2x+2）0.9544解：（1）结合频率分布表可以得到：，解得m54，n0.352，0.038（2）这1000件产品质量指标值的样本平均数为：50.002+100.054+150.106+200.149+250.352+300.190+350.1+400.04725（3）7.25，由（2）知ZN（25，52.6），P（10.50Z39.50）P（2527.25Z25+27.25）0.9544，设Y为随机抽取20件产品质量指标值位于（10.50，39.50）之外的件数，依题意知YB（20，0.0456
22、），E（Y）200.04560.912，E（X）100E（Y）+10200.954499.6821已知函数，aR，e2.71828是自然对数的底数（1）当a0时，讨论f（x）的单调性；（2）当x2时，f（x）0，求a的取值范围解：（1）当a0时，f（x）+ex（2x）ex（x2+x+2），令f（x）0，得1x1+，令f（x）0，得x1或x1+，f（x）在（1，1+）上单调递增，在（，1）和（1+，+）上单调递减（2）当x2时，f（x）0，得，记，则，当a0时，则g（x）0，可知g（x）在（，2）上单调递增，且，不符合题意；当0ae2时，令g（x）0，解得x12，x2lna，由于lna2，故当x
23、lna时，g（x）0，当lnax2时，g（x）0，g（x）在（，lna）上单调递减，在（lna，2）上单调递增，解得，由于，故；当ae2时，则lna2，此时当x2时，g（x）0，故g（x）在（，2上单调递减，解得a2e2，故e2a2e2；综上，实数a的取值范围为（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选够4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程（t为参数）在以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为2cos（1）求直线l的极坐标方程；（2）若射线，与直线l及曲线C分别交于点A，B，
24、且|OA|OB|2求tan解：（1）直线l的参数方程，消去参数t得由cosx，siny，得直线l的极坐标方程为，即：（2）因为射线与直线l及曲线C分别交于点A，B，所以，|OB|2cos，因为|OA|OB|2，所以，即，所以，整理得：选修4-5：不等式选讲23已知f（x）x2+|4x1|（1）求不等式f（x）3|x|+1的解集；（2）若对任意实数x恒成立，求证：|a|+|b|2|ab|解：（1）f（x）3|x|+1x2+|4x1|3|x|+1，当x0时，则x2+14x3x+1，即x2x0，x1或x0，x0，当0x时，则x2+14x3x+1，即x27x0，x7或x0，无解，当x时，则x2+4x13x+1，即x2+x20，x1或x2，x1，所以不等式f（x）3|x|+1的解集为（，01，+）证明：（2）当时，当时所以，当且仅当时取等号所以，即，所以，所以，即|a|+|b|2|ab|
