1、绝密启用前崀山培英学校2020年下学期高二年级期中考试数学试题（时量：120分钟；分值：150分； ）注意事项：1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2请将答案正确填写在答题卡上一、单选题（本大题共8个小题，毎小题5分，共计40分，在毎小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）1已知集合，集合，若，则（ ）ABCD2在复平面内，复数在复平面中对应的点在A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3某班有学生人，现将所有学生按随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为的样本（等距抽样），已知编号为号学生在样本中，则（ ）A14B34C48D504在中，则的
2、面积为（ ）ABCD5“”是“” 的（ ）A充要条件 B充分而不必要条件C必要而不充分条件 D既不充分也不必要条件6函数的零点所在的区间为（ ）ABCD7已知，且.若恒成立，则的取值范围为（ ）A B C D8已知点，分别是双曲线C： (，)的左右焦点，M是C右支上的一点，与y轴交于点P， 的内切圆在边上的切点为Q，若，则C的离心率为（ ）AB3CD二、多选题（本大题共4个小题，毎小题5分，共计20分，在毎小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全对给5分，少选给2分，错选得0分，请把答案填涂在答题卡相应位置上）9在下列命题中，正确的命题是（ ）A平行于同一直线的两条直线平行；B垂直
3、于同一直线的两条直线平行；C若直线垂直于平面，则它垂直于平面内的所有直线；D垂直于同一个平面的两条直线平行.10在下列函数中，最小正周期为的所有函数为（ ）ABCD11在中，内角，所对的边分别为，若，依次成等差数列，则下列结论中不一定成立的是（ ）A，依次成等差数列B，依次成等差数列C，依次成等差数列D，依次成等差数列12设函数，则下列说法正确的是（ ）A定义域是 B时，图象位于轴下方C存在单调递增区间 D有且仅有一个极值点三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分，请把答案填写在答题卡相应位置上）13已知向量，若，则_.14若是奇函数，满足，则_.15已知，分别为椭圆的左、右焦点，且
4、离心率，点是椭圆上位于第二象限内的一点，若是腰长为4的等腰三角形，则的面积为_.16函数在区间内恰有30个零点，则的取值范围是_四、解答题（本大题共6小题，共计70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（本小题满分10分）在中，角，的对边分别为，；（1）求角的大小；（2）设中点为，且；求的最大值及此时的面积.18（本小题满分12分）已知公差不为零的等差数列中，且.（1）求数列的通项公式；（2）记数列的前项和，求.19（本小题满分12分）如图，在底面为矩形的四棱锥中，且，其中分别是线段的中点（1）证明：平面 ；GF（2）证明：；（3）求：直线与平面所成角的正
5、弦值.20（本小题满分12分）某制造商为运动会生产一批直径为40mm的乒乓球，现随机抽样检查20只，测得每只球的直径（单位：mm，保留两位小数）如下：40.02 40.00 39.98 40.00 39.9940.00 39.98 40.01 39.98 39.9940.00 39.99 39.95 40.01 40.0239.98 40.00 39.99 40.00 39.96（1）完成下面的频率分布表，并在补全图中频率分布直方图分组频数频率 20.105410100.5040.2010合计201.0050（2）假定乒乓球的直径误差不超过0.02mm为合格品，若这批乒乓球的总数为10000只
6、，试根据抽样检查结果估计这批产品的合格只数21（本小题满分12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上一点，且.（1）求椭圆的方程；（2）过点作互相垂直的两条直线分别交椭圆于另一点A，B，求证：直线AB过定点，并求出定点的坐标22（本小题满分12分）已知函数（1）求函数在处的切线方程；（2）求证：；（3）若时，恒成立，求实数k的取值范围.参考答案1A【解析】【分析】根据或，验证交集后求得的值.【详解】因为，所以或.当时，不符合题意，当时，.故选A.【点睛】本小题主要考查集合的交集概念及运算，属于基础题.2A【解析】复数，它在复平面内对应的点的坐标为，故对应的点在第一象限故选A3C【解析】【分析
7、】利用系统抽样的特征可求出、，进而可求解.【详解】样本容量为，样本间隔为，编号为号学生在样本中，.故选：C【点睛】本题考查了系统抽样，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.4B【解析】由三角形面积公式可得： .本题选择B选项.5A【解析】因为，所以 ，所以“”是“” 的充要条件，选A.6C【解析】【分析】根据零点存在定理判断【详解】，零点在区间上故选：C【点睛】本题考查零点存在定理，掌握零点存在定理是解题基础7C【解析】【分析】由题意，利用基本不等式，可得的最小值为12，得到，即可求解实数的取值范围，得到答案【详解】由题意，利用基本不等式，可得，当且仅当，时，取等号，得，解得或，故选C【点睛】
8、本题主要考查了利用基本不等式求最值，以及不等式的恒成立问题的求解，其中解答中利用基本不等式求得的最小值，合理转化恒成立问题是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题8C【解析】【分析】由双曲线的定义、对称性和内切圆的切线性质，结合离心率公式即可得到所求值【详解】设的内切圆在边上的切点为，在上的切点为， 如图所示：则 ， 由双曲线的对称性可得， 由双曲线的定义可得，解得， 又，即有， 离心率 故选：C【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，考查内切圆的切线性质，注意运用双曲线的定义是解题的关键，属于中档题9ACD【解析】【分析】利用平行公理判断选项A；垂直于同一直线的两条直线可
9、能平行，相交或者异面，判断出选项B；利用线面垂直的性质定理判断选项C；垂直于同一个平面的两条直线必平行判断选项D【详解】对于A，平行于同一直线的两条直线平行，正确；对于B，垂直于同一直线的两条直线可能平行，相交或者异面，错误；对于C，直线垂直于平面，则它垂直于平面内的所有直线，正确；对于D，垂直于同一个平面的两条直线平行，正确；故选：ACD【点睛】本题考查空间点线面的位置关系，考查学生空间想象能力，属于中档题10ABC【解析】【分析】利用周期公式或图像判断即可.【详解】对于A，对于B，的周期是，的图像是把的图像的轴下方部分关于轴对称，周期减半，故的周期是，对于C，对于D，故选：ABC.【点睛】
10、此题考函数的周期的求法，属于简单题.11ABD【解析】【分析】首先利用等差数列的性质，建立，进一步利用正弦定理和余弦定理的关系式变换求出结果.【详解】解：中，内角所对的边分别为，若，依次成等差数列，则：，利用，整理得：，利用正弦和余弦定理得：，整理得：，即：依次成等差数列.此时对等差数列的每一项取相同的运算得到数列，或，或，这些数列一般都不可能是等差数列，除非，但题目没有说是等边三角形，故选：ABD.【点睛】本题考查的知识要点：等差数列的性质应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦和余弦定理的应用及相关的运算问题.12BCD【解析】【分析】求出函数定义域判断A，根据函数值的正负判断B，求出导函数，
11、利用导函数确定原函数的增区间，判断C，由导函数研究函数的单调性得极值，判断D【详解】由题意，函数满足，解得且，所以函数的定义域为，所以A不正确；由，当时，所以在上的图象都在轴的下方，所以B正确；，所以在定义域上有解，所以函数存在单调递增区间，所以C是正确的；由，则，所以，函数单调增，则函数只有一个根，使得，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，所以函数只有一个极小值，所以D正确；故选：BCD.【点睛】本题考查求函数的定义域，考查用导数研究函数的单调性与极值，掌握极值的定义，单调性与导数的关系是解题关键138【解析】【分析】由可建立关系求出，再根据坐标即可求出.【详解】因为，所以，解得，14.
12、15【解析】【分析】由题意可计算出，由是腰长为4的等腰三角形，且点在第二象限，可得、的值，过作于点，可得，的值，可得的面积.【详解】解：由题意知，则，又，由椭圆的定义得，又是腰长为4的等腰三角形，且点在第二象限，过作于点，则，的面积为，故答案为：.【点睛】本题主要考查椭圆的定义及简单的几何性质、三角形面积的计算，考查学生的逻辑推理能力、数学计算能力，属于中档题.16【解析】【分析】令，由正弦函数的周期性可得的零点，可得的零点相离间隔依次为和，由零点个数是30可得的最小值为，可得到所求范围【详解】令，求得，即有或，得或，故函数的零点为或，可得的零点相离间隔依次为和，在上恰有30个零点，的最小值为
13、，的取值范围是，故答案为：【点睛】本题主要考查正弦函数的零点，考查方程思想和运算能力，掌握正弦函数的性质是解题的关键，属于中档题17（1）；（2）的最大值为，此时的面积.【解析】【分析】（1）由条件利用两个向量共线的性质正弦定理余弦定理可得的值，从而求得的值；（2）设，则在中，可知，利用正弦定理求得的值，可得的值，再利用正弦函数的定义域和值域求得的最大值及此时的面积.【详解】（1）因为，故有，由正弦定理可得，即，由余弦定理可知，因为，所以.（2）设，则在中，由可知，由正弦定理及有，所以，所以，从而，由可知，所以当，即时，的最大值为，此时，所以.【点睛】本题主要考查两个向量共线的性质，考查正弦定
14、理和余弦定理的应用，考查正弦型函数的定义域和值域，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.18（1）（2）.【解析】分析：（1）根据等差数列中，且，成等比数列可求得和公差于是可得通项公式（2）根据（1）可得，然后根据错位相减求和详解：（1）设等差数列 的公差为，则，成等比数列，即，整理得由解得，（2）由（1）得，得点睛：弄清错位相减法的适用条件及解题格式是关键在应用错位相减法求和时，一定要抓住数列的特征，即数列的项可以看作是由一个等差数列和一个公比不为1的等比数列对应项相乘所得，所谓“错位”就是找“同类项”相减19(1) 见证明；(2) 见证明；(3) 【解析】【分析】1）在平面内
15、找到一条直线与这条直线平行，再利用线面平行的判定定理说明线面平行2）在平面内找到两条相交直线与这条直线垂直，再利用线面垂直的判定定理说明线面垂直3）线面所成角的正弦值，几何法：过线上一点做平面的垂线段，垂线段与这点到线面交点线段的比值即为线面所成角的正弦值【详解】（1）证明：分别是线段的中点 在中，又四边形是矩形，直线平面，直线平面，平面 （2）证明：（法一）向量法以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 又因为，所以，平面（法二）设，因为四边形是矩形， ，又因为 因为所以，因为所以，因为，所以，平面 （3）取中点，连接，连接因为是中点，所以在中，又因为，所以所以， 又因为，所以，【点睛
16、】（1）线面的位置关系需要熟练掌握其判定定理、性质定理；（2）线面所成角的正弦值一般有两种方法：几何法：过线上一点做平面的垂线段，垂线段与这点到线面交点线段的比值即为线面所成角的正弦值；向量法：求出平面的法向量，法向量与直线的方向向量所成角的余弦值的绝对值即为线面所成角的正弦值20（1）见解析 （2）9000只【解析】【分析】(1) 根据所给的频数和样本容量，用频数除以样本容量做出每一组数据对应的频率,填入表中，画出对应的频率分步直方图和频率分布折线图.(2)计算抽样产品在的个数，计算合格率，即可求出这批产品的合格只数.【详解】解：（1）频率分布表如下：分组频数频率 20.10540.2010
17、100.502540.2010合计201.0050频率分布直方图、频率分布折线图如图所示（2）因为抽样的20只产品中在范围内的有18只，所以合格率为所以根据抽样检查结果，可以估计这批产品的合格只数为9000【点睛】本题主要考查的是用样本估计总体、频数(率)分布直方图、频率分布折线，是中档题.21（1）；（2）证明见解析，.【解析】【分析】（1）由已知得，从而可求出的值，进而可得椭圆的方程；（2）当直线AB的斜率存在时，设方程为，与椭圆方程联立方程组，消元后利用根与系数的关系可得，由可得，从而可得，由此可得或，进而可得直线方程恒过定点，当直线AB的斜率不存在时，设，由 可求出坐标，从而可得直线方
18、程，再验证直线是否过定点即可【详解】（1）解：由已知得故所求椭圆的方程为（2）证明：当直线AB的斜率存在时，设方程为，与椭圆C联立消去y得，设，则因为，所以，代入韦达定理，整理得，解得或若，则直线AB的方程为，过点M，不符题意；若，则直线AB的方程为，恒过点；当直线AB的斜率不存在时，设，由 解得或(舍)，此时直线AB也过点综上知，直线AB恒过定点【点睛】此题考查椭圆方程的求解，考查直线与椭圆的位置关系，考查计算能力和分类思想，属于中档题22（1）；（2）证明见解析；（3）.【解析】【分析】（1）求在处的导函数值，进一步得出结论； （2）利用导函数判断的单调区间，可以得到 ，使得，即，求出的的最小值，并化简得到，进一步得到答案；（3）首先对不等式进行分离参数得到：，构造，求出的最小值，进一步得到k的取值范围.【详解】（1）由已知可得，所以又，所以在处的切线方程为即 （2）的定义域为，且显然在上是增函数又，使得，即，且当时，；当时，在上单调递减；在上单调递增 （3） 令，则令，则在上是增函数，又，即在上是增函数，又 实数k的取值范围是.【点睛】本题考查利用导函数求函数上某点的切线方程，以及恒成立的问题，考查思维理解能力和计算能力，属于综合题，难度有点大.
