1、小题专题练(四)立体几何一、选择题1如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为BD1的中点，则PAC在该正方体各个面上的正投影可能是()A BC D2(2019贵阳模拟)设m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下面四个命题：若，则；若，m，n，则mn；若m，n，则mn；若，m，n，则mn.其中正确命题的序号是()A BC D3如图是一个空间几何体的正视图和俯视图，则它的侧视图为()4祖暅是南北朝时代的伟大数学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个
2、几何体的体积一定相等，现有以下四个几何体：图是从圆柱中挖去一个圆锥所得的几何体，图、图、图分别是圆锥、圆台和半球，则满足祖暅原理的两个几何体为()A BC D5(2019福建五校第二次联考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A2 B2C2 D46如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为()A6 B6C6 D27已知长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1AB，AD1，则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为()A BC D8三棱锥ABCD中，AB，BC，CD两两垂直，被称为“三节棍”由该棱锥所有相邻的两个面组成的二面角中，直二面角共有
3、()A2个 B3个C4个 D5个9(2019郑州市第一次质量预测)已知直三棱柱ABCA1B1C1的底面为等腰直角三角形，ABAC，点M，N分别是边AB1，A1C上的动点，若直线MN平面BCC1B1，点Q为线段MN的中点，则点Q的轨迹为()A双曲线的一支(一部分) B圆弧(一部分)C线段(去掉一个端点) D抛物线的一部分10九章算术商功：“今有堑堵，下广二丈，袤一十八丈六尺，高二丈五尺”，所谓“堑堵”，就是两底面为直角三角形的棱柱，如图所示的几何体是一个“堑堵”，AA1平面ABC，ABBC4，AA15，M是A1C1的中点，过点B，C，M的平面把该“堑堵”分为两个几何体，其中一个为三棱台，则该三棱
4、台的表面积为()A40 B50C25153 D302011如图，已知三棱锥PABC的外接球的球心O在AB上，且PO平面ABC，AB2AC，若三棱锥PABC的体积为，则球O的表面积为()A9 BC16 D12(2019郑州市第二次质量预测)在长方体ABCDA1B1C1D1中，ADDD11，AB，E，F，G分别是棱AB，BC，CC1的中点，P是底面ABCD内一动点，若直线D1P与平面EFG没有公共点，则PBB1面积的最小值为()A B1C D二、填空题13(2019湖南省湘东六校联考)一个正四面体的侧面展开图如图所示，点G为BF的中点，则在该正四面体中，直线EG与直线BC所成角的余弦值为_14已知
5、半径为1的球O中内接一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的体积与圆柱的体积的比值为_15一个密闭且透明的正方体容器中装有部分液体，已知该正方体的棱长为2，如果任意转动该正方体容器，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围为_.16(2019重庆市七校联合考试)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P在线段BC1上运动，有下列判断：平面PB1D平面ACD1；A1P平面ACD1；异面直线A1P与AD1所成角的取值范围是；三棱锥D1APC的体积不变其中，正确的是_(把所有正确判断的序号都填上)参考答案与解析小题专题练(四)立体几何1解析：选B由题可知平面APC平面ABCD，且点P在各个
6、面内的正投影均为正方形的中心根据对称性，只需考虑PAC在底面、后面、右面的正投影即可显然PAC在底面的正投影为正方形的对角线，在后面与右面的正投影相同，均为等腰直角三角形，故选B2解析：选D对于，同垂直于一个平面的两个平面可能相交，命题错误；对于，在两个互相垂直的平面内的两条直线可能互相平行，可能相交，也可能异面，命题错误；对于，直线m与n可能异面，命题错误；对于，由面面平行的性质定理知命题正确故正确命题的序号是，选D3解析：选A由正视图和俯视图可知，该几何体是由一个圆柱挖去一个圆锥构成的，结合正视图的宽及俯视图的直径可知侧视图应为A，故选A4解析：选D设截面与底面的距离为h，则中截面内圆的半
7、径为h，则截面圆环的面积为(R2h2)；中截面圆的半径为Rh，则截面圆的面积为(Rh)2；中截面圆的半径为R，则截面圆的面积为(R)2；中截面圆的半径为，则截面圆的面积为(R2h2)所以中截面的面积相等，故其体积相等，选D5.解析：选C由三视图知，该几何体是一个棱长为的正四面体ABCD，内置于棱长为1的正方体中如图所示，因为BCD的面积为，所以该几何体的表面积为42，选C6解析：选C由三视图可知，该几何体是由直四棱柱与半圆锥组成，因为V直四棱柱(12)226，V半圆锥，所以该几何体的体积为VV直四棱柱V半圆锥6，故选C7解析：选A如图，连接A1D，A1C1，由题易知B1CA1D，所以C1DA1
8、是异面直线B1C与C1D所成的角，又AA1AB，AD1，所以A1D2，DC1，A1C12，由余弦定理，得cosC1DA1，故选A8解析：选B由AB平面BCD，且AB平面ABD，AB平面ABC，得平面ABD平面BCD，平面ABC平面BCD.又CD平面ABC，CD平面ACD，故平面ACD平面ABC，所以ABDC，ABCD，DACB都是直二面角. 故选B9.解析：选C如图，分别取AA1，B1C的中点E，F，任意作一个与平面BCC1B1平行的平面与AB1，A1C分别交于M，N，则MN平面BCC1B1.由题意知ABC为等腰直角三角形，ABAC，则侧面AA1B1B与侧面AA1C1C是两个全等的矩形，且这两
9、个侧面关于过棱AA1与平面BCC1B1垂直的平面是对称的，因此EF必过MN的中点Q，故点Q的轨迹为线段EF，但需去掉端点F，故选C10解析：选C如图所示，记A1B1的中点为N，连接MN，BN，则MNBC，所以过点B，C，M的平面为平面BNMC，三棱台为A1MNACB，所以其表面积S4422(42)5(42)5(42)25153.11解析：选A由于三棱锥PABC的外接球的球心O在AB上，故AB为其外接球的一条直径，因此ACB90.设球O的半径为r，在RtABC中，AB2AC2r，ACr，BCr，所以SABCrrr2.由于P为球O上一点，故POr，又PO平面ABC，所以VPABCPOSABCrr2
10、r3，解得r，所以球O的表面积为4r249，故选A12解析：选C记PBB1的面积为S.因为P在底面ABCD上，所以PBBB1，即PBB1为直角三角形，又BB1DD11，所以SBB1PBPB，当线段PB的长最小时，S取得最小值因为D1P与平面EFG无公共点，所以D1P平面EFG.如图，连接AD1，D1C，AC，易证GFAD1，EFAC，又GFEFF，AD1ACA，所以平面AD1C平面EFG，所以D1P平面AD1C，所以点P一定在线段AC上运动如图，当PBAC时，线段PB的长最小，此时PB，故(S)min，选C13.解析：该正四面体如图所示，取AD的中点H，连接GH，EH，则GHAB，所以HGE为
11、直线EG与直线BC所成的角设该正四面体的棱长为2，则HEEG，GH1.在HEG中，由余弦定理，得cosHGE.答案：14.解析：如图所示，设圆柱的底面半径为r，则圆柱的侧面积为S2r24r42(当且仅当r21r2，即r时取等号)所以当r时，.答案：15解析：当液面的形状为三角形时，最大三角形即与正方体的一个顶点相邻的三个顶点构成的三角形，这四个顶点构成的三棱锥的体积为222，所以当液体体积小于或等于时不满足题意由对称性，当液体体积大于或等于23时亦不满足题意综上所述，液体体积的取值范围是.答案：16.解析：在正方体中，B1D平面ACD1，B1D平面PB1D，所以平面PB1D平面ACD1，所以正确；连接A1B，A1C1，如图，容易证明平面A1BC1平面ACD1，又A1P平面A1BC1，所以A1P平面ACD1，所以正确；因为BC1AD1，所以异面直线A1P与AD1所成的角就是直线A1P与BC1所成的角，在A1BC1中，易知所求角的范围是，所以错误；VD1APCVCAD1P，因为点C到平面AD1P的距离不变，且AD1P的面积不变，所以三棱锥D1APC的体积不变，所以正确答案：
