1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。核心素养测评 五十六曲线与方程(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.方程(x2+y2-4)=0表示的曲线形状是()【解析】选C.原方程化为或x+y+1=0,显然方程表示直线x+y+1=0和圆x2+y2=4在直线x+y+1=0的右上方的部分.2.在平面直角坐标系中,已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C满足=1+2(O为原点),其中1,2R,且1+2=1,则点C的轨迹是()A.直线B.椭圆C.圆D.双曲线【解析】选A.设C(x,y),则=(x,y),
2、=(3,1),=(-1,3),因为=1+2,所以又因为1+2=1,所以化简得x+2y-5=0表示一条直线.3.设过点P(x,y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A,B两点,点Q与点P关于y轴对称,O为坐标原点.若=2,且=1,则点P的轨迹方程是()A.x2+3y2=1(x0,y0)B.x2-3y2=1(x0,y0)C.3x2-y2=1(x0,y0)D.3x2+y2=1(x0,y0)【解析】选A.设A(a,0),B(0,b),a0,b0,由=2,得(x,y-b)=2(a-x,-y),所以即a=x0,b=3y0;由题意得点Q(-x,y),故由=1得(-x,y)(-a,b)=1即ax+by
3、=1;将a,b代入ax+by=1得所求的轨迹方程为x2+3y2=1(x0,y0).4.在ABC中,B(-2,0),C(2,0),A(x,y),给出ABC满足的条件,就能得到动点A的轨迹方程.如表给出了一些条件及方程:条件方程ABC周长为10C1:y2=25ABC面积为10C2:x2+y2=4(y0)ABC中,A=90C3:+=1(y0)则满足条件,的轨迹方程依次为()A.C3,C1,C2B.C1,C2,C3C.C3,C2,C1D.C1,C3,C2【解析】选A.ABC的周长为10,即|AB|+|AC|+|BC|=10,又|BC|=4,所以|AB|+|AC|=6|BC|,此时动点A的轨迹为椭圆,与
4、C3对应;ABC的面积为10,所以|BC|y|=10即|y|=5与C1对应;因为A=90,所以=(-2-x,-y)(2-x,-y)=x2+y2-4=0与C2对应.5.给出下列说法:方程x2+y2-2x+4y+6=0表示一个圆;若mn0,则方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆;已知点M(-1,0)、N(1,0),若|PM|-|PN|=2,则动点P的轨迹是双曲线的右支;以过抛物线焦点的弦为直径的圆与该抛物线的准线相切.其中正确说法的个数是()A.1B.2C.3D.4【解析】选B.根据题意,依次分析4个说法:对于,方程x2+y2-2x+4y+6=0变形可得(x-1)2+(y+2)2=-1,不
5、是圆的方程,错误;对于,方程mx2+ny2=1变形可得+=1,若mn0,则有0,则方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆;正确;对于,点M(-1,0)、N(1,0),则|MN|=2,若|PM|-|PN|=2,则动点P的轨迹是一条射线;错误;对于,由抛物线的定义,以过抛物线焦点的弦为直径的圆与该抛物线的准线相切,正确.二、填空题(每小题5分,共15分)6.由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA,PB,切点分别为A、B,APB=60,则动点P 的轨迹方程为_.【解析】设P(x,y),x2+y2=1的圆心为O,因为APB=60,OP平分APB,所以OPB=30,因为|OB|=1,OBP为直角
6、,所以|OP|=2,所以x2+y2=4.答案:x2+y2=47.在平面直角坐标系中,动点P和点M(-2,0),N(2,0)满足|+=0,则动点P(x,y)的轨迹方程为_.【解析】把已知等式|+=0用坐标表示,得4+4(x-2)=0,化简变形得y2=-8x.答案:y2=-8x8.若直线y=k(x+2)+4与曲线y=有两个交点,则实数k的取值范围是_.【解析】直线y=k(x+2)+4,当x=-2时,y=4,可得此直线恒过A(-2,4),曲线y=为圆心在坐标原点,半径为2的半圆,根据题意作出相应的图形,如图所示:当直线y=k(x+2)+4与半圆相切(切点在第一象限)时,圆心到直线的距离d=r,所以=
7、2,即4k2+16k+16=4+4k2,解得:k=-,当直线y=k(x+2)+4过点C时,将x=2,y=0代入直线方程得:4k+4=0,解得:k=-1,则直线与曲线有2个交点时k的取值范围为.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.设mR,在平面直角坐标系中,已知向量a=(mx,y+1),向量b=(x,y-1),ab,动点M(x,y)的轨迹为E.(1)求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状.(2)当m=时,轨迹E与直线y=x-1交于A、B两点,求弦AB的长.【解析】(1)因为a=(mx,y+1),b=(x,y-1),且ab,所以ab=mx2+y2-1=0,即mx2+y2=1.当m=
8、0时,方程表示两条直线,方程为y=1;当m=1时,方程表示的是圆x2+y2=1;当m0且m1时,方程表示的是椭圆;当m0,可得-t0得k2,所以0x,所以顶点E的轨迹方程为x2+4y2-6x=0.5.(10分)设O为坐标原点,动点M在椭圆C:+y2=1上,过M作x轴的垂线,垂足为N,点P满足= .(1)求点P的轨迹方程;(2)设点Q在直线x=-3上,且=1.证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.【解析】(1)设P(x,y),M(x0,y0),则N(x0,0),=(x-x0,y),=(0,y0).由= ,得x0=x,y0=y.因为M(x0,y0)在椭圆C上,所以+=1.因此点P的轨迹方
9、程为x2+y2=2.(2)由题意知F(-1,0).设Q(-3,t),P(m,n),则=(-3,t),=(-1-m,-n),=3+3m-tn,=(m,n),=(-3-m,t-n).由=1,得-3m-m2+tn-n2=1,又由(1)知m2+n2=2,故3+3m-tn=0.所以=0,即.又过点P存在唯一直线垂直于OQ,所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.【拓广探索练】1.方程(x2-y2-1)=0表示的曲线的大致形状是(图中实线部分)()【解析】选B.原方程等价于 或x-y-1=0,前者表示等轴双曲线x2-y2=1位于直线x-y-1=0下方的部分,后者为直线x-y-1=0,这两部分合起来即为所求B.2.方程|y|-1=所表示的曲线的长度是()A.6B.2C.2+4D.6+12【解析】选B.方程|y|-1=,可得|y|-10,即有y1或y-1,即有(x-2)2+(|y|-1)2=3,作出方程|y|-1=所表示的曲线,如图可得曲线为两个半圆,半径均为,可得表示曲线的长度为2.关闭Word文档返回原板块
