1、第3节机械能守恒定律及其应用(1)重力势能的大小与零势能参考面的选取有关。()(2)重力势能的变化与零势能参考面的选取无关。()(3)被举到高处的物体重力势能一定不为零。()(4)克服重力做功，物体的重力势能一定增加。()(5)发生弹性形变的物体都具有弹性势能。()(6)弹力做正功弹性势能一定增加。()(7)物体所受的合外力为零，物体的机械能一定守恒。()(8)物体的速度增大时，其机械能可能减小。()(9)物体除受重力外，还受其他力，但其他力不做功，则物体的机械能一定守恒。()突破点(一)机械能守恒的理解与判断1对机械能守恒条件的理解(1)只受重力作用，例如做平抛运动的物体机械能守恒。(2)除
2、重力外，物体还受其他力，但其他力不做功或做功代数和为零。(3)除重力外，只有系统内的弹力做功，并且弹力做的功等于弹性势能变化量的负值，那么系统的机械能守恒，注意并非物体的机械能守恒，如与弹簧相连的小球下摆的过程机械能减少。2机械能是否守恒的三种判断方法(1)利用机械能的定义判断：若物体动能、势能之和不变，机械能守恒。(2)利用守恒条件判断。(3)利用能量转化判断：若物体系统与外界没有能量交换，物体系统内也没有机械能与其他形式能的转化，则物体系统机械能守恒。题点全练1(2018苏州模拟)以下情形中，物体的机械能一定守恒的是()A下落的物体受到空气阻力的作用B物体以一定初速度在粗糙的水平面上滑动C
3、一物体匀速上升D物体沿光滑斜面自由下滑解析：选D物体下落的过程中受到空气阻力的作用，且阻力做负功，故物体的机械能不守恒，A错误；物体以一定初速度在粗糙的水平面上滑动时势能不变，动能减小，机械能不守恒，B错误；物体匀速上升过程动能不变，势能增大，机械能不守恒，C错误；物体沿光滑斜面自由下滑过程中只有重力做功，机械能守恒，故D正确。2多选如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是()A甲图中，物体A将弹簧压缩的过程中，A机械能守恒B乙图中，物体B在大小等于摩擦力的拉力作用下沿斜面下滑时，B机械能守恒C丙图中，斜面光滑，物体在推力F作用下沿斜面向下运动的过程中，物体机械能守恒D丁图中，斜面光滑，
4、物体在斜面上下滑的过程中，物体机械能守恒解析：选BD甲图中，物体A将弹簧压缩的过程中，物体和弹簧构成的系统机械能守恒，物体A的机械能不守恒，故A错误；乙图中，物体B在大小等于摩擦力的拉力作用下沿斜面下滑时，物体B受重力、拉力、支持力和滑动摩擦力，拉力和滑动摩擦力的合力为零，故合力的功等于重力的功，故物体B的机械能守恒，故B正确；丙图中，物体受重力、支持力和推力，由于推力做功，故物体机械能不守恒，故C错误；丁图中，物体受重力和支持力，由于支持力不做功，只有重力做功，故物体机械能守恒，故D正确。3多选如图，小球自a点由静止自由下落，到b点时与弹簧接触，到c点时弹簧被压缩到最短。若不计弹簧质量和空气
5、阻力，在小球由abc的运动过程中，下列说法正确的是()A小球和弹簧总机械能守恒B小球的重力势能随时间均匀减少C小球在b点时动能最大D到c点时小球重力势能的减少量等于弹簧弹性势能的增加量解析：选AD分析小球从a到c的运动过程，只有重力和弹簧的弹力做功，符合机械能守恒的条件，因此，系统的机械能守恒，所以A项正确。因为小球下落的位移不是随时间均匀增大的，所以B项错误。小球从b点接触弹簧，弹力逐渐增大，开始小于重力，到bc间某位置等于重力，后大于重力，因此，小球从b到c先做加速运动，后做减速运动，到c点速度减为零，弹簧压缩到最短，到b点的动能不是最大，根据小球和弹簧总机械能守恒可得到c点时小球重力势能
6、的减少量等于弹簧弹性势能的增加量，所以C选项错误，D正确。突破点(二)单个物体的机械能守恒1机械能守恒的三种表达式对比守恒角度转化角度转移角度表达式E1E2EkEpEA增EB减物理意义系统初状态机械能的总和与末状态机械能的总和相等表示系统(或物体)机械能守恒时，系统减少(或增加)的重力势能等于系统增加(或减少)的动能若系统由A、B两部分组成，则A部分物体机械能的增加量与B部分物体机械能的减少量相等注意事项应用时应选好重力势能的零势能面，且初、末状态必须用同一零势能面计算势能应用时关键在于分清重力势能的增加量和减少量，可不选零势能面而直接计算初、末状态的势能差常用于解决两个或多个物体组成的系统的
7、机械能守恒问题2求解单个物体机械能守恒问题的基本思路(1)选取研究对象物体。(2)根据研究对象所经历的物理过程，进行受力、做功分析，判断机械能是否守恒。(3)恰当地选取参考平面，确定研究对象在初、末状态时的机械能。(4)选取方便的机械能守恒定律的方程形式(Ek1Ep1Ek2Ep2、EkEp)进行求解。典例光滑水平面AB与一光滑半圆形轨道在B点相连，轨道位于竖直面内，其半径为R。一个可视为质点、质量为m的物块静止在水平面上，现向左推物块使其压紧弹簧(物块与弹簧不拴接)，然后放手，物块在弹力作用下获得一向右的速度。当物块经B点进入半圆形轨道的瞬间，物块对轨道的压力为其重力的9倍，之后向上运动经C点
8、再落回到水平面，重力加速度为g。求：(1)弹簧弹力对物块做的功；(2)物块离开C点后，再落回到水平面上时距B点的距离；(3)再次左推物块压紧弹簧，要使物块在半圆轨道上运动时不脱离轨道，则弹簧弹性势能的取值范围为多少？审题指导第一步：抓关键点关键点获取信息光滑半圆形轨道物块在光滑半圆形轨道运动时机械能守恒对轨道的压力为其重力的9倍可知道物块在B点对轨道的压力运动经C点再落回到水平面物块由C到水平面做平抛运动物块在半圆轨道上运动时不脱离轨道知道在C点的最小速度和到达四分之一轨道的速度第二步：找突破口(1)应用平抛规律，求物块落地点距B点的距离时，应先求出滑块运动到C点的速度vC。(2)要使物块在半
9、圆轨道上运动时不脱离轨道，则物块可能在圆轨道的上升高度不超过半圆轨道的中点或通过C点。解析(1)设弹簧弹力对物块做的功为W，由动能定理得WmvB2在B点由牛顿第二定律得：9mgmgm解得W4mgR。(2)设物块经C点落回到水平面上时距B点的距离为s，用时为t，由平抛规律知svCt2Rgt2以水平面AB为重力势能参考面，从B到C由机械能守恒定律mvB2mvC22mgR联立解得，s4R。(3)假设弹簧弹性势能为Ep，要使物块在半圆轨道上运动时不脱离轨道，则物块可能在圆轨道的上升高度不超过半圆轨道的中点，则EpmgR若物块刚好通过C点，则在C点时mgm，从B到C：mvB2mvC22mgR则EpmvB
10、2联立解得：EpmgR。综上所述，要使物块在半圆轨道上运动时不脱离轨道，则弹簧弹性势能的取值范围为EpmgR或EpmgR。答案(1)4mgR(2)4R(3)EpmgR或EpmgR方法规律(1)列方程时，选取的表达角度不同，表达式不同，对参考平面的选取要求也不一定相同。(2)应用机械能守恒能解决的问题，应用动能定理同样能解决，但其解题思路和表达式有所不同。集训冲关1.多选甲、乙两球的质量相等，悬线一长一短，将两球由图示位置的同一水平面无初速度释放，不计阻力。则对两小球过最低点时的状态描述正确的是()A两球的角速度大小相等B两球的加速度大小相等C甲球的动能与乙球的动能相等D相对同一参考面，两球的机
11、械能相等解析：选BD根据机械能守恒定律：mv2mgL，由于悬线的长度不等，则甲、乙两球过最低点时动能不等，故C错误；角速度： ，悬线的长度不相等，则两球的角速度不相等，故A错误；在最低点，根据牛顿第二定律得：mam，向心加速度为：a2g，加速度相等，故B正确；甲、乙两球在运动的过程中，只有重力做功，机械能守恒，初始位置的机械能相等，所以在最低点，两球的机械能相等，故D正确。2.如图所示，ABDO是处于竖直平面内的光滑固定轨道，AB是半径为R15 m的圆周轨道，半径OA处于水平位置，BDO是直径为15 m的半圆轨道，D为BDO轨道的中央。一个小球P从A点的正上方高H处自由落下，沿竖直平面内的轨道
12、通过D点时对轨道的压力等于其重力的倍。取g10 m/s2。(1)求H的大小。(2)试讨论小球能否到达O点，并说明理由。(3)求小球再次落到轨道上的速度大小。解析：(1)设小球通过D点的速度为v，则有：mFmg小球从H高处落下直到沿光滑轨道运动到D点的过程中，机械能守恒，有mgmv2，可得高度HR10 m。(2)设小球能够沿竖直半圆轨道运动到O点的最小速度为vm，有mmg小球至少应从Hm高处落下，mgHmmvm2解得Hm，由HHm，小球可以通过BDO轨道的O点。(3)小球由H高处落下通过O点的速度为v0小球通过O点后做平抛运动，设小球经时间t落到AB圆弧轨道上，有xv0tygt2且x2y2R2联
13、立解得t1 s(另解舍弃)落到轨道上的速度大小v17.3 m/s。答案：(1)10 m(2)能，理由见解析(3)17.3 m/s突破点(三)多个物体的机械能守恒典例物体A的质量为mA，圆环B的质量为mB，通过绳子跨过定滑轮连结在一起，圆环套在光滑的竖直杆上，开始时连接圆环的绳子处于水平，如图所示，长度l4 m，现从静止释放圆环。不计定滑轮和空气的阻力，取g10 m/s2。求：(1)若mAmB52，则圆环能下降的最大距离hm。(2)若圆环下降h23 m时的速度大小为4 m/s，则两个物体的质量应满足怎样的关系？(3)若mAmB，请定性说明圆环下降过程中速度大小变化的情况及其理由。解析(1)设圆环
14、所能下降的最大距离为hm，由机械能守恒定律得mBghmmAghAhm2l2(lhA)2代入数据得hm2hm0解得hm m3.8 m。(2)由机械能守恒mBgh2mAghAmBvB2mAvA2vAvBcos vB4 m/s2.4 m/sh22l2(lhA)2，解得hA1 m解得两个物体的质量关系：1.71。(3)当mAmB，且l确定时，根据几何关系可知圆环下降的高度大于A上升的高度，则在圆环下降过程中，系统的重力势能一直在减少，根据系统的机械能守恒可知系统的动能一直在增加，所以圆环在下降过程中速度一直增大。答案(1)3.8 m(2)mAmB1.71(3)速度一直增大，当mAmB，且l确定时，根据
15、几何关系可知圆环下降的高度大于A上升的高度，则在圆环下降过程中，系统的重力势能一直在减少，根据系统的机械能守恒可知系统的动能一直在增加，所以圆环在下降过程中速度一直增大。易错提醒(1)对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过程中，系统的机械能是否守恒。(2)注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。(3)列机械能守恒方程时，一般选用EkEp或EAEB的形式。集训冲关1(2019泰州模拟)如图是在玩“跳跳鼠”的儿童，该玩具弹簧上端连接脚踏板，下端连接跳杆，儿童在脚踏板上用力向下压缩弹簧，然后弹簧将人向上弹起，最终弹簧将跳杆带离地面。下列说法正确的是()A从人被弹簧弹起到弹簧第一次恢复原
16、长，人一直向上加速运动B无论下压弹簧的压缩量多大，弹簧都能将跳杆带离地面C人用力向下压缩弹簧至最低点的过程中，人和“跳跳鼠”组成的系统机械能增加D人用力向下压缩弹簧至最低点的过程中，人和“跳跳鼠”组成的系统机械能守恒解析：选C从人被弹簧弹起到弹簧第一次恢复原长，人先向上做加速运动，当人的重力与弹力相等时，速度最大，由于惯性人向上做减速运动，故A错误；当下压弹簧的压缩量较小时，弹簧的拉伸量也较小，小于跳杆的重力时，跳杆不能离开地面，故B错误；人用力向下压缩弹簧至最低点的过程中，人的体能转化为系统的机械能，所以人和“跳跳鼠”组成的系统机械能增加，故C正确，D错误。2.多选(2018济南二模)如图所
17、示，长为3l的轻质细杆一端可绕O点自由转动，杆上距O点l和3l处分别固定质量均为m的小球A、B。现将细杆拉至水平，并由静止释放，忽略一切摩擦及空气阻力，则当杆由水平转到竖直位置过程中()A此过程A球机械能守恒，B球机械能守恒B此过程A球机械能减少，B球机械能增加C当杆达到竖直位置时，球B的速度大小为2 D当杆达到竖直位置时，OA段杆对球的拉力大小为mg解析：选BD整个过程中，A、B球所组成的系统的机械能守恒，得：mgl3mglmvA2mvB2，由于两者的角速度相等，所以有：vB3vA，联立解得：vA2 ，所以B球速度大小为vB6 ，故C错误；A球的重力势能的减少量为：Epmgl，A球的动能的增
18、量为：EkmvA2mglEp，所以A球的重力势能的减少量大于动能的增量，A球的机械能减少，A球机械能的变化量等于B球的机械能的变化量，所以B球机械能增加，故A错误，B正确；当杆达到竖直位置时，对B球有：TABmgm，得：TABmg，对A球有：TOATABmgm，得：TOAmg，故D正确。非质点类机械能守恒问题像“液柱”、“链条”、“过山车”类物体，在其运动过程中将发生形变，其重心位置相对物体也发生变化，因此这类物体不能再视为质点来处理了。(一)“液柱”类问题1.如图所示，粗细均匀，两端开口的U形管内装有同种液体、开始时两边液面高度差为h，管中液柱总长度为4h，后来让液体自由流动，当两液面高度相
19、等时，右侧液面下降的速度为()A. B. C. D. 解析：选A当两液面高度相等时，减少的重力势能转化为整个液体的动能，根据功能关系有mghmv2，解得：v ，故A正确。(二)“链条”类问题2如图所示，AB为光滑的水平面，BC是倾角为的足够长的光滑斜面，斜面体固定不动。AB、BC间用一小段光滑圆弧轨道相连。一条长为L的均匀柔软链条开始时静止的放在ABC面上，其一端D至B的距离为La。现自由释放链条，则：(1)链条下滑过程中，系统的机械能是否守恒？简述理由；(2)链条的D端滑到B点时，链条的速率为多大？解析：(1)链条在下滑过程中机械能守恒，因为斜面BC和水平面AB均光滑，链条下滑时只有重力做功
20、，符合机械能守恒的条件。(2)设链条质量为m，可以认为始、末状态的重力势能变化是由La段下降引起的，高度减少量hsin sin 该部分的质量为m(La)由机械能守恒定律可得：(La)ghmv2，可解得：v 。答案：(1)守恒理由见解析(2) (三)“过山车”类问题3如图所示，露天娱乐场空中列车是由许多节完全相同的车厢组成，列车先沿光滑水平轨道行驶，然后滑上一固定的半径为R的空中圆形光滑轨道，若列车全长为L(L2R)，R远大于一节车厢的长度和高度，那么列车在运行到圆形光滑轨道前的速度至少要多大，才能使整个列车安全通过固定的圆形轨道(车厢间的距离不计)。解析：当列车进入轨道后，动能逐渐向势能转化，车速逐渐减小，当车厢占满圆形轨道时的速度最小，设此时的速度为v，列车的质量为M，轨道上那部分列车的质量M2R由机械能守恒定律可得：Mv02Mv2MgR又因圆形轨道顶部车厢应满足：mgm，可求得：v0 。答案：(1)物体虽然不能看作质点，但因只有重力做功，物体整体机械能守恒。(2)在确定物体重力势能的变化量时，要根据情况，将物体分段处理，确定好各部分的重心及重心高度的变化量。(3)非质点类物体各部分是否都在运动，运动的速度大小是否相同，若相同，则物体的动能才可表示为mv2。
