1、5 垂直关系5.1 直线与平面垂直第1课时直线与平面垂直的性质学 习 目 标核 心 素 养1.理解直线与平面垂直的定义2会求简单的直线与平面所成的角以及点到平面的距离(重点、难点)3掌握直线与平面垂直的性质定理及其应用(重点)1.借助直线与平面垂直、直线与平面所成的角以及点到平面的距离的定义，培养数学抽象素养2通过直线与平面垂直的性质定理的应用，培养逻辑推理素养.1直线与平面垂直的定义定义如果直线l与平面内的任何一条直线都垂直，那么称直线l与平面垂直记法l有关概念直线l称为平面的垂线，平面称为直线l的垂面，它们唯一的公共点P称为垂足性质过一点有且只有一条直线与一个平面垂直，过一点有且只有一个平
2、面与一条直线垂直图示画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直2.直线与平面垂直的性质定理(1)定理：垂直于同一个平面的两条直线平行(2)作用：判定两条直线平行3直线和平面所成的角有关概念对应图形斜线一条直线与一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线称为这个平面的斜线斜足斜线与平面的交点A称为斜足投影过斜线上斜足以外的一点P向平面作垂线，过垂足O和斜足A的直线AO称为斜线在这个平面上的投影直线与平面所成的角平面的一条斜线与它在平面上的投影所成的锐角，叫作这条直线与这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线与平面平行，或在平面内，就说它
3、们所成的角是0的角.取值范围设直线与平面所成的角为，0904.直线到平面的距离如果一条直线与平面平行，那么这条直线上任意一点到平面的距离就是这条直线到这个平面的距离思考：1.垂直于同一平面的两条垂线一定共面吗？提示：共面由线面垂直的性质定理可知这两条直线是平行的，故能确定一个平面2直线与平面垂直定义中的关键词“任意一条直线”是否可以换成“所有直线”“无数条直线”？提示：定义中的“任意一条直线”与“所有直线”是等效的，但是不可说成“无数条直线”，因为一条直线与某平面内无数条平行直线垂直，该直线与这个平面不一定垂直3若a，b，则ba，正确吗？提示：正确，由直线与平面垂直的定义可知其正确1直线l平面
4、，直线m，则l与m不可能()A平行B相交C异面D垂直A若lm，又l，m，l，这与已知l矛盾所以直线l与m不可能平行2在空间中，下列命题正确的是()A垂直于同一条直线的两直线平行B平行于同一条直线的两个平面平行C垂直于同一平面的两个平面平行D垂直于同一平面的两条直线平行DA项中，垂直于同一条直线的两直线可能平行、异面或相交；B项中，平行于同一条直线的两个平面可能平行或相交；C项中，垂直于同一平面的两个平面可能平行或相交；D项正确3矩形ABCD中，AB1，BC，PA平面ABCD，PA1，则PC与平面ABCD所成的角是_30由题意知PCA为PC与平面ABCD所成的角在RtPAC中，tanPCA，PC
5、A30.直线与平面垂直的概念辨析【例1】下列命题中，正确的序号是_若直线l与平面内的无数条直线垂直，则l；若直线l与平面内的一条直线垂直，则l；若直线l不垂直于平面，则内没有与l垂直的直线；若直线l不垂直于平面，则内也可以有无数条直线与l垂直；过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条当直线l与平面内的无数条平行直线垂直时，l与不一定垂直，所以不正确；当l与内的一条直线垂直时，不能保证l与平面垂直，所以不正确；当l与不垂直时，l可能与内的无数条平行直线垂直，所以不正确，正确；过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以正确故填.1直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解实际上，“任
6、何一条”与“所有”表达相同的含义当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直2由定义可得线面垂直线线垂直，即若a，b，则ab.1设l，m是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是()A若lm，m，则lB若l，lm，则mC若l，m，则lmD若l，m，则lmB对于A，直线lm，m并不代表平面内任意一条直线，所以不能判定线面垂直；对于B，若l，则l垂直内任意一条直线，又lm，由异面直线所成角的定义知，m与平面内任意一条直线所成的角都是90，即m，故B正确；对于C，也有可能是l，m异面；对于D，l，m
7、还可能相交或异面直线与平面垂直的性质定理的应用【例2】已知m，n为两条不同直线，为两个不同平面，给出下列命题：n；mn；mn.其中正确命题的序号是()ABCDA中n，可能平行或n在平面内；正确；两直线m，n平行或异面，故选A判定两条直线平行的常用方法(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点.(2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线.(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行.(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直. (5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行.2关于直线m，n与平面，有下列四个命题若m，n，且，则mn；若m，n，且，
8、则mn；若m，n，且，则mn；若m，n，且，则mn.其中真命题的序号是()ABCDDm，n可能异面、相交或平行，m，n可能平行、异面或相交，所以错误直线与平面所成的角探究问题1作出斜线和平面所成的角的关键是什么？提示：找到平面的垂线和斜线在平面内的投影，斜线和投影所成的锐角就是斜线和平面所成的角2如何求线面角的大小？提示：一般作出或找到线面角后，首先将线面角置于一个三角形内，求出线面角的一个三角函数值，然后再求出线面角的大小【例3】三棱锥SABC的所有棱长都相等且为a，求SA与底面ABC所成角的余弦值思路点拨解如图，过S作SO平面ABC于点O，连接AO，BO，CO.则SOAO，SOBO，SOC
9、O.SASBSCa，SOASOBSOC，AOBOCO，O为ABC的外心ABC为正三角形，O为ABC的中心SO平面ABC，SAO即为SA与平面ABC所成的角在RtSAO中，SAa，AOaa，cosSAO，SA与底面ABC所成角的余弦值为.求斜线与平面所成的角的步骤(1)作角：作(或找)出斜线在平面上的投影，将空间角(斜线与平面所成的角)转化为平面角(两条相交直线所成的锐角)，作投影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足(有时可以是两垂足)作直线，(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角.(3)计算：通常在垂线段、斜线和投影所组成的直角三角形中计算.3如图所示，若斜线段AB的长度是它在平
10、面上的投影BO的2倍，则AB与平面所成的角是()A60 B45C30D120AABO即是斜线AB与平面所成的角，在RtAOB中，AB2BO，所以cosABO，即ABO60.1线面垂直的性质定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据2求线面角的常用方法(1)直接法(一作(或找)二证(或说)三计算)(2)转移法(找过点与面平行的线或面)1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)若直线l垂直于平面，则l与平面内的直线可能相交，可能异面，也可能平行()(2)若直线在平面内或与平面平行，此时直线与平面所成的角为0()(3)若一条直线垂直于两个平行平面
11、中的一个，则该直线也垂直于另一个平面()提示(1)错误直线l与平面内的直线可能相交，可能异面，但不可能平行(2)正确(3)正确由直线和平面垂直的定义可知其正确答案(1)(2)(3)2对于任意的直线l与平面，在平面内必有直线m，使m与l()A平行B相交C垂直D互为异面直线C在平面内必有直线m和直线l所成的角为90，所以二者垂直3a，b是异面直线，直线la，lb，直线ma，mb，则l与m的位置关系是_平行由线面垂直的性质定理可得4如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，求A1B与平面AA1D1D所成的角解AB平面AA1D1D，AA1B就是A1B与平面AA1D1D所成的角，在RtAA1B中，BAA190，ABAA1，AA1B45，A1B与平面AA1D1D所成的角是45.
