1、第1讲空间几何体 考点1三视图、直观图与截面图、展开图一个物体的三视图的排列规则俯视图放在正(主)视图的下面，长度与正视图的长度一样，侧(左)视图放在正(主)视图的右面，高度与正(主)视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样即“长对正、高平齐、宽相等”例1(1)2018全国卷某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为()A2 B2C3 D2(2)2019黑龙江哈尔滨六中模拟如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA18，当侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好
2、过AC，BC，A1C1，B1C1的中点，当底面ABC水平放置时，液面高为_【解析】(1)先画出圆柱的直观图，根据题图的三视图可知点M，N的位置如图所示圆柱的侧面展开图及M，N的位置(N为OP的四等分点)如图所示，连接MN，则图中MN即为M到N的最短路径ON164，OM2， |MN|2.故选B.(2)设底面ABC的面积为S，当侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点，则水的体积为S8，当底面ABC水平放置时，设液面高为h，水的体积为Sh，则ShS8，可得h6.【答案】(1)B(2)61由直观图确认三视图的方法根据空间几何体三视图的定义及画法规则和摆放规则确认2由
3、三视图还原到直观图的思路(1)根据俯视图确定几何体的底面(2)根据正(主)视图或侧(左)视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置(3)确定几何体的直观图形状.对接训练12019广东实验中学段考正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱BB1的中点(如图)，用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的侧视图为()解析：如图，F为DD1的中点，过点A，E，C1的平面为平面AEC1F，该平面截去正方体的上半部分后，剩余几何体的侧视图为C，故选C.答案：C2.2019江西八所重点中学联考某四面体的三视图如图所示，则该四面体最长的棱长与最短的棱长的比值是()A
4、. B.C. D.解析：在棱长为2的正方体中还原该四面体PABC如图所示，其中最短的棱为AB和BC，最长的棱为PC.因为正方体的棱长为2，所以ABBC2，PC3，所以该四面体最长的棱长与最短的棱长的比值为，故选D.答案：D 考点2空间几何体的表面积与体积空间几何体的几组常用公式(1)柱体、锥体、台体的侧面积公式：S柱侧ch(c为底面周长，h为高)；S锥侧ch(c为底面周长，h为斜高)；S台侧(cc)h(c，c分别为上下底面的周长，h为斜高)(2)柱体、锥体、台体的体积公式：V柱体Sh(S为底面面积，h为高)；V锥体Sh(S为底面面积，h为高)；V台(SS)h(不要求记忆)例2(1)2019天津
5、卷已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_(2)2019重庆一中调考一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A3 B4C24 D34【解析】(1)本题主要考查空间几何体的结构特征与体积的计算，考查考生的空间想象能力，考查的核心素养是直观想象、数学运算由题可得，四棱锥底面对角线的长为2，则圆柱底面的半径为，易知四棱锥的高为2，故圆柱的高为1，所以圆柱的体积为21.(2)由几何体的三视图可知，该几何体为半圆柱，直观图如图所示，表面积为222121243，故选D.【答案】(1)(2
6、)D1求解几何体的表面积及体积的技巧(1)求几何体的表面积及体积问题，可以多角度、多方位的考虑，熟记公式是关键求三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转化原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上(2)求不规则几何体的体积，常用分割或补形的方法，将不规则几何体转化为规则几何体，易于求解2根据几何体的三视图求其表面积与体积的三个步骤(1)根据给出的三视图判断该几何体的形状(2)由三视图中的大小标示确定该几何体的各个度量(3)套用相应的面积公式与体积公式计算求解.对接训练32019江苏卷如图，长方体ABCDA1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥EBCD的体积是_解析：本题主要
7、考查空间几何体的体积，考查考生的空间想象能力和运算求解能力，考查的核心素养是直观想象、数学运算因为长方体ABCDA1B1C1D1的体积是120，所以CC1S四边形ABCD120，又E是CC1的中点，所以三棱锥EBCD的体积VEBCDECSBCDCC1S四边形ABCD12010.答案：1042019云南昆明教学质量检测一个三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的侧面积为()A12 B24C12 D242解析：根据三视图可知该三棱柱的直观图如图所示，所以该三棱柱的侧面积S4(222)424.故选B.答案：B 考点3多面体与球1与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和
8、接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径2球的表面积和体积公式S球表4R2(R为球的半径)；V球R3(R为球的半径)例32019全国卷已知三棱锥PABC的四个顶点在球O的球面上，PAPBPC，ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，CEF90，则球O的体积为()A8 B4C2 D.【解析】本题主要考查三棱锥的外接球的体积，考查考生的化归与转化能力、空间想象能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算方
9、法一因为点E，F分别为PA，AB的中点，所以EFPB，因为CEF90，所以EFCE，所以PBCE.取AC的中点D，连接BD，PD，易证AC平面BDP，所以PBAC，又ACCEC，AC，CE平面PAC，所以PB平面PAC，所以PBPA，PBPC，因为PAPBPC，ABC为正三角形，所以PAPC，即PA，PB，PC两两垂直，将三棱锥PABC放在正方体中如图所示因为AB2，所以该正方体的棱长为，所以该正方体的体对角线长为，所以三棱锥PABC的外接球的半径R，所以球O的体积VR33，故选D.方法二设PAPBPC2a，则EFa，FC，EC23a2.在PEC中，cosPEC.在AEC中，cosAEC.PE
10、C与AEC互补，34a21，a，故PAPBPC.又ABBCAC2，PAPBPC，外接球的直径2R，R，VR33.故选D.【答案】D(1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点或线作截面，把空间问题化归为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系(2)球心与截面圆心的连线垂直圆面，其距离为d，常利用直角三角形建立量的关系，R2d2r2.对接训练52019河南洛阳尖子生联考四棱锥SABCD的所有顶点都在同一个球面上，底面ABCD是正方形且和球心O在同一平面内，当此四棱锥的体积取得最大值时，其表面积等于88，则球O的体积等于()A. B.C16 D.解析：由题意得，
11、当此四棱锥的体积取得最大值时，四棱锥为正四棱锥如图，连结AC，则球心O为AC的中点，连接SO，设球O的半径为R，则AC2R，SOR，ABBCR.取AB的中点E，连接OE，SE，则OEBCR，SER.该四棱锥的体积取得最大值时，其表面积等于88，(R)24RR88，得R2，球O的体积为R3.故选A.答案：A62019福建五校第二次联考已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB3，AC4，ABAC，AA112，则球O的直径为_解析：如图，设BC的中点为D，B1C1的中点为D1，连接DD1，取其中点O，连接AD，A1D1，则DADBDC，D1A1D1B1D1C1，且DD1垂直于
12、直三棱柱的上、下底面，所以点O到直三棱柱的各个顶点的距离相等，即点O为直三棱柱的外接球的球心O，连接OB，则球O的直径为2BO2213.答案：13课时作业11空间几何体1.2019贵州七校联考如图，四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点(长方体是虚拟图形，起辅助作用)，则四面体ABCD的正视图、侧视图、俯视图分别是(用代表图形)()A BC D解析：正视图是边长为3和4的矩形，其对角线左下到右上是实线，左上到右下是虚线，因此正视图是；侧视图是边长为5和4的矩形，其对角线左上到右下是实线，左下到右上是虚线，因此侧视图是；俯视图是边长为3和5的矩形，其对角线左上到右下是实线，左下到右上是虚线，
13、因此俯视图是.故选B.答案：B22019山东德州联考圆锥被一个平面截去一部分后与半球组成一个几何体，如图所示是该几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A54 B104C144 D184解析：由三视图可知该几何体是由半个圆锥和半个球构成的，所以几何体的表面积为42224222144.故选C.答案：C3某圆锥的侧面展开图是面积为3且圆心角为的扇形，此圆锥的体积为()A B.C2 D2解析：设圆锥的母线为R，底面圆的半径为r，扇形的圆心角为，则SR2R23，解得R3，底面圆的半径r满足，解得r1，所以这个圆锥的高h2，故圆锥的体积Vr2h，故选B.答案：B42019河南郑州一中摸底某几何体的三视图
14、如图所示，则这个几何体最长的棱的长度为()A2 B2C4 D2解析：由三视图知，该几何体是如图所示的四棱锥ACDEF和三棱锥FABC的组合体，由图知该几何体最长的一条棱为AF，AF2，故选A.答案：A52019安徽安师大附中摸底某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A12 B18C24 D30解析：由三视图知，该几何体是一个底面为直角三角形的直三棱柱截去一个三棱锥后得到的，如图，该几何体的体积V43543(52)24，故选C.答案：C62019开封高三定位考试某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为()A4 B2C. D解析：由题意知该几何体的直观图如图所示，该
15、几何体为圆柱的一部分，设底面扇形的圆心角为，由tan ，得，故底面面积为22，则该几何体的体积为32.答案：B72018山东、湖北省质量检测已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为4，E为棱BB1的中点，F为棱DD1上靠近D1的四等分点，平面A1EF交棱CC1于点G，则截面A1EGF的面积为()A2 B10C4 D2解析：平面A1ADD1平面B1BCC1，A1FEG.同理，A1EGF，四边形A1EGF为平行四边形如图，连接EF，取棱DD1的中点K，连接EK，则EK4，FK1，在RtFKE中，EF，在RtA1B1E中，A1E2，在RtA1D1F中，A1F，在A1EF中，cosEA1F，故sin
16、EA1F，故截面A1EGF的面积为224，故选C.答案：C82019湖南六校联考如图是一个几何体的三视图，且这个几何体的体积为8，则x等于()A1 B2C3 D4解析：由三视图可知，该几何体为一个底面是直角梯形的四棱锥(如图)，体积Vx8，x4.故选D.答案：D92019安徽合肥调研已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都由半圆及矩形组成，俯视图由正方形及其内切圆组成，则该几何体的表面积为()A488 B484C648 D644解析：由三视图可知，该几何体是一个半球和一个直四棱柱的组合体，根据图中数据可知，表面积为44222424422644，故选D.答案：D102019湖南东部六校
17、联考某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面中，最大面的面积是()A4 B8C4 D8解析：如图，设该三棱锥为PABC，其中PA底面ABC，PA4，ABC是边长为4的等边三角形，故PBPC4，所以SABC424，SPABSPAC448，SPBC44，故四个面中最大面的面积为SPBC4，故选C.答案：C112019广东深圳调研如图，在平面四边形ABCD中，ABADCD1，BD，BDCD，将其沿对角线BD折成四面体ABCD，使平面ABD平面BCD，若四面体ABCD的所有顶点在同一个球面上，则该球的体积为()A. B3C. D2解析：如图，取BD的中点E，BC的中点O，连接AE，OD，EO，AO
18、.因为ABAD，所以AEBD.由于平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，所以AE平面BCD.因为ABADCD1，BD，所以AE，EO，所以OA.在RtBDC中，OBOCODBC，所以四面体ABCD的外接球的球心为O，半径为，所以该球的体积V3.答案：A122019河北九校联考已知三棱柱ABCA1B1C1的所有顶点都在球O的球面上，该三棱柱的五个面所在的平面截球面所得的圆大小相同，若球O的表面积为20，则三棱柱的体积为()A6 B12C12 D18解析：设球O的半径为R，则由4R220，得R25.由题意知，此三棱柱为正三棱柱，故设三棱柱的底面边长为a，高为h，如图，取三角形ABC的中心
19、O1，四边形BCC1B1的中心O2，连接OO1，OA，O2B，O1A，由题意可知，在RtAOO1中，OOAOAO2R2，即22R25，又AO1BO2，所以AOBO，即222，由可得a212，h2，所以三棱柱的体积Vh6.故选A.答案：A132019广东广州调研已知圆锥的底面半径为1，高为2，点P是圆锥的底面圆周上一点，若一动点从点P出发，绕圆锥侧面一圈之后回到点P，则绕行的最短距离是_解析：易知圆锥的侧面展开图是扇形，如图，设展开的扇形AOA的圆心角为，易得半径OA3，因为圆锥的底面半径r1，所以根据弧长公式可得23，即扇形的圆心角.连接AA，作OHAA，交AA于点H，则易得AOH，所以动点从
20、点P出发在圆锥侧面上绕一圈之后回到点P的最短距离为所对的弦长，即AA2AH2OAsinAOH233.答案：3142019陕西宝鸡质检已知A，B，C三点都在以O为球心的球面上，OA，OB，OC两两垂直，三棱锥OABC的体积为，则球O的表面积为_解析：设球O的半径为R，以球心O为顶点的三棱锥OABC的三条侧棱两两垂直且都等于球的半径R，ABC是边长为R的等边三角形，因此根据三棱锥的体积公式，得R2R，R2，S球42216.答案：16152019河北沧州质检已知ACB90，P为平面ABC外一点，PC2，点P到ACB两边AC，BC的距离均为，那么P到平面ABC的距离为_解析：如图，过点P作PO平面AB
21、C于O.则PO为P到平面ABC的距离再过O作OEAC于E，OFBC于F，连接PC，PE，PF，则PEAC，PFBC.又PEPF，所以OEOF，所以CO为ACB的平分线，即ACO45.在RtPEC中，PC2，PE，所以CE1，所以OE1，所以PO.答案：162019广东省七校联考在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是边长为2a的正方形，PD底面ABCD，且PD2a，若在这个四棱锥内放一个球，则该球半径的最大值为_解析：通解由题意知，球内切于四棱锥PABCD时半径最大设该四棱锥的内切球的球心为O，半径为r，连接OA，OB，OC，OD，OP，则VPABCDVOABCDVOPADVOPABVOPBCVOPCD，即2a2a2ar，解得r(2)a.优解易知当球内切于四棱锥PABCD，即与四棱锥PABCD各个面均相切时，球的半径最大作出相切时的侧视图如图所示，设四棱锥PABCD内切球的半径为r，则2a2a(2a2a2a)r，解得r(2)a.答案：(2)a
