1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。核心考点精准研析考点一垂直关系的基本问题1.已知直线l,m与平面,满足=l,l,m,m,则必有()A.且mB.且C.m且lmD.且lm2.设l,m,n表示不同的直线,表示不同的平面,给出下列四个命题:若ml,且m,则l;若,m,n,则mn;若,则;如果mn,m,n,则.则错误的命题为()A.B.C.D.3.如图,在三棱锥A-BCD中,ACAB,BCBD,平面ABC平面BCD.ACBD;平面ABC平面ABD;平面ACD平面ABD.以上结论中正确的个数有()世纪金榜导学号A.
2、1B.2C.3D.04.如图,已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形,PA平面ABC,PA=2AB,则下列结论正确的是()世纪金榜导学号A.PBADB.平面PAB平面PBCC.直线BC平面PAED.直线PD与平面ABC所成的角为45【解析】1.选D.因为m,m,所以.因为=l,所以l,又因为m,所以lm.2.选D.若ml,且m,则l是正确的,两平行线中的一条垂直于一个平面,另一条也垂直于这个平面.若,m,n,则mn是错误的,当m和n平行或相交(不垂直)时,也可能满足前边的条件;若,则,不对,垂直于同一个平面的两个平面也可以是相交的;如果mn,m,n,则是错误的,平面和可以相交或平行.3.选
3、C.因为平面ABC平面BCD,平面ABC平面BCD=BC,BCBD,所以BD平面ABC,又AC平面ABC,所以BDAC,故正确.因为BDAC,BDBC,ACBC=C,所以BD平面ABC,又因为BD平面ABD,所以平面ABD平面ABC,故正确.因为ACAB,BDAC,ABBD=B,所以AC平面ABD,又AC平面ACD,所以平面ACD平面ABD,故正确.4.选D.若PBAD,因为PA平面ABC,所以PAAD,所以AD平面PAB,所以ADAB,矛盾,所以A错误.过点A作AM垂直于PB,垂足为M,连接CM,在直角三角形PAB中,设AB=1,则PA=2,PB=, AM=,BM=,又因为AC=,所以PC=
4、,所以cosPBC= -,所以CM=,所以在三角形AMC中,cosAMC=-,所以AM与MC不垂直,所以B错误.因为在棱锥的底面内,直线BC与直线AE相交,所以BC与平面PAE相交,所以C错误.在RtPAD中,PA=AD=2AB,所以PDA=45.所以直线PD与平面ABC所成的角为45.与线面垂直关系有关命题真假的判断方法(1)借助几何图形来说明线面关系要做到作图快、准,甚至无需作图通过空间想象来判断.(2)寻找反例,只要存在反例,结论就不正确.(3)反复验证所有可能的情况,必要时要运用判定或性质定理进行简单说明.秒杀绝招排除法解T2,选D.若ml,且m,则l是正确的,两平行线中的一条垂直于一
5、个平面,另一条也垂直于这个平面,故正确,排除A,B,C,选D.考点二空间角及其应用【典例】1.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=2,CC1=,二面角C1-BD-C的大小为_.世纪金榜导学号2.如图,AB是O的直径,PA垂直于O所在的平面,C是圆周上不同于A,B的一动点.(1)证明:PBC是直角三角形;世纪金榜导学号(2)若PA=AB=2,且当直线PC与平面ABC所成角的正切值为时,求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.【解题导思】序号联想解题1要求二面角,想到先作出二面角的平面角,进而设法求解.2(1)要证PBC是直角三角形,想到证两条边垂直;(2)要求线面角,想到找到或
6、作出角,再求解.【解析】1.如图,连接AC交BD于点O,连接C1O,因为C1D=C1B,O为BD中点,所以C1OBD.因为ACBD,所以C1OC是二面角C1-BD-C的平面角,在RtC1CO中,C1C=,则C1O=2,所以sinC1OC=,所以C1OC=30.答案:302.(1)因为AB是O的直径,C是圆周上不同于A,B的一动点,所以BCAC.因为PA平面ABC,所以BCPA,又PAAC=A,PA,AC平面PAC,所以BC平面PAC,所以BCPC,所以PBC是直角三角形.(2)如图,过A作AHPC于H,连接BH.因为BC平面PAC,AH平面PAC,所以BCAH,又PCBC=C,PC,BC平面P
7、BC,所以AH平面PBC,所以ABH是直线AB与平面PBC所成的角,因为PA平面ABC,所以PCA即是PC与平面ABC所成的角,因为tanPCA= =,又PA=2,所以AC=,所以在RtPAC中,AH=,所以在RtABH中,sinABH=,即直线AB与平面PBC所成角的正弦值为.1.求直线与平面所成的角的一般步骤(1)找直线与平面所成的角,即通过找直线在平面上的射影来完成;(2)计算,要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解.2.作二面角的平面角的方法作二面角的平面角可以用定义法,也可以通过垂面法进行,即在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线,再过垂足作二面角的棱的垂线,两条垂线确定的平
8、面和二面角的棱垂直,由此可得二面角的平面角.1.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点O为线段BD的中点,设点P在线段CC1上,直线OP与平面A1BD所成的角为,则sin 的取值范围是()A.B.C.D.【解析】选B.连接A1O,PA1,易知POA1就是直线OP与平面A1BD所成的角(或其补角).设正方体的棱长为2,则A1O=.当P点与C点重合时,PO=,A1P=2,则cosA1OP=-,此时A1OP为钝角,所以sin =;当P点与C1点重合时,PO=A1O=,A1P=2,则cosA1OP=,此时A1OP为锐角,所以sin =;在A1OP从钝角到锐角逐渐变化的过程中,CC1上一定存
9、在一点P,使得A1OP=90,此时sin =1.又因为,所以sin 的取值范围是.2.(2020温州模拟)在四面体ABCD中,二面角A-BC-D为60,点P为直线BC上一动点,记直线PA与平面BCD所成角为,则()A.的最大值为60B.的最小值为60C.的最大值为30D.的最小值为30【解析】选A.过A作AMBC,AO平面BCD,垂足为O,连接OM,则AMO为二面角A-BC-D的平面角,所以AMO=60,在直线BC上任取一点P,连接OP,AP,则APO为直线AP与平面BCD所成的角,即APO=,因为APAM,AMsin 60=AO,APsin =AO,所以sin sin 60,又090,故的最
10、大值为60.考点三直线、平面垂直,面面垂直的判定与性质命题精解读考什么:(1)考查证明线线垂直、线面垂直、面面垂直.(2)考查直观想象与逻辑推理的核心素养.怎么考:考查在柱、锥、台体中证明线面的垂直关系.新趋势:以柱、锥、台体为载体,与平行、距离、空间角结合命题.学霸好方法1.(1)证明线面垂直的核心是证线线垂直,而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此,判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.(2)线面垂直的性质,常用来证明线线垂直.2.(1)判定面面垂直的方法定义法:证明两平面形成的二面角是直角.判定定理法:a,a.(2)在已知平面垂直时,一般要用性质定理进行转化.在一个平
11、面内作交线的垂线,转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直.3.交汇问题: 解决距离、空间角交汇时,常需要先证明线面垂直.直线与平面垂直的判定与性质【典例】如图所示,已知AB为圆O的直径,点D为线段AB上一点,且AD=DB,点C为圆O上一点,且BC=AC,PD平面ABC,PD=DB.世纪金榜导学号求证:PACD.【证明】因为AB为圆O的直径,所以ACCB,在RtABC中,由AC=BC得ABC=30,设AD=1,由3AD=DB得,DB=3,BC=2,由余弦定理得CD2=DB2+BC2-2DBBCcos 30=3,所以CD2+DB2=BC2,即CDAO.因为PD平面ABC,CD平面ABC,所以PD
12、CD,由PDAO=D得,CD平面PAB,又因为PA平面PAB,所以PACD.证明线面垂直的基本思想是什么?提示:证明线面垂直的核心是证线线垂直,而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此,判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.面面垂直的判定与性质【典例】(2018全国卷)如图,在平行四边形ABCM中,AB=AC=3,ACM=90,以AC为折痕将ACM折起,使点M到达点D的位置,且ABDA. (1)证明:平面ACD平面ABC.(2)Q为线段AD上一点,P为线段BC上一点,且BP=DQ=DA,求三棱锥Q-ABP的体积.世纪金榜导学号【解析】(1)由已知可得,BAC=90,则BAAC
13、.又BAAD,ADAC=A,所以AB平面ACD.又AB平面ABC,所以平面ACD平面ABC.(2)由已知可得,DC=CM=AB=3,DA=3.又BP=DQ=DA,所以BP=2.作QEAC,垂足为E,则QECD且QE=DC=1.由已知及(1)可得DC平面ABC,所以QE平面ABC,因此,三棱锥Q-ABP的体积为VQ-ABP=QESABP=132sin 45=1.证明面面垂直的实质是什么?提示:利用判定定理证明面面垂直实质是证明线面垂直,与其中一个平面垂直的直线的选取至关重要,要根据条件的直观图准确选取.1.如图,在三棱锥P-ABC中,PA平面ABC,AB=AC=a,BC=a.求证:平面PAB平面
14、PAC.【证明】因为PA平面ABC,所以PAAB,PAAC,所以BAC即为二面角B-PA-C的平面角.又AB=AC=a,BC=a,所以BAC=90,所以平面PAB平面PAC.2.如图,S是RtABC所在平面外一点,且SA=SB=SC,D为斜边AC的中点.(1)求证:SD平面ABC.(2)若AB=BC,求证:BD平面SAC.【证明】(1)如图所示,取AB的中点E,连接SE,DE,在RtABC中,D,E分别为AC,AB的中点.所以DEBC,所以DEAB,因为SA=SB,所以SEAB.又SEDE=E,所以AB平面SDE.又SD平面SDE,所以ABSD.在SAC中,SA=SC,D为AC的中点,所以SD
15、AC.又ACAB=A,所以SD平面ABC.(2)由于AB=BC,则BDAC,由(1)可知,SD平面ABC,又BD平面ABC,所以SDBD,又SDAC=D,所以BD平面SAC.1.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,已知ACBC,BC=CC1.设AB1的中点为D,B1CBC1=E.求证:(1)DE平面AA1C1C.(2)BC1AB1.【证明】(1)由题意知,E为B1C的中点,又D为AB1的中点,因此DEAC.又因为DE平面AA1C1C,AC平面AA1C1C,所以DE平面AA1C1C.(2)因为棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以CC1平面ABC.因为AC平面ABC,所以ACCC1.又因为
16、ACBC,CC1平面BCC1B1,BC平面BCC1B1,BCCC1=C,所以AC平面BCC1B1.又因为BC1平面BCC1B1,所以BC1AC.因为BC=CC1,所以矩形BCC1B1是正方形,因此BC1B1C.因为AC平面B1AC,B1C平面B1AC,ACB1C=C,所以BC1平面B1AC.又因为AB1平面B1AC,所以BC1AB1.2.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1BC,A1AC=60,A1A=AC=BC=1,A1B=.(1)求证:平面A1BC平面ACC1A1.(2)如果D为AB中点,求证:BC1平面A1CD.【证明】(1)因为A1AC=60,A1A=AC=1,所以A1AC为等边三角形,所以A1C=1.因为BC=1,A1B=,所以A1C2+BC2=A1B2.所以A1CB=90,即A1CBC.因为BCA1A,BCA1C,AA1A1C=A1,所以BC平面ACC1A1.因为BC平面A1BC,所以平面A1BC平面ACC1A1.(2)连接AC1交A1C于点O,连接OD.因为ACC1A1为平行四边形,所以O为AC1的中点.因为D为AB的中点,所以ODBC1.因为OD平面A1CD,BC1平面A1CD,所以BC1平面A1CD.关闭Word文档返回原板块
