1、2.2.2双曲线的简单几何性质第1课时双曲线的简单几何性质内容标准学科素养1.掌握双曲线的简单几何性质2.理解双曲线的渐近线及离心率的意义3.能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题.运用直观想象提升数学运算发展逻辑推理授课提示：对应学生用书第34页基础认识知识点双曲线的几何性质椭圆的简单几何性质有哪些？研究方法是什么？双曲线是否有类似的性质呢？提示：范围、对称性、顶点、离心率研究方法是：通过方程来研究图形的几何性质 知识梳理(1)双曲线的几何性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)性质图形焦点F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c)焦距|F1F2|2c范围xa或xa
2、yRya或ya xR对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)轴实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b；实半轴长：a，虚半轴长：b离心率e(1，)渐近线yxyx(2)等轴双曲线是指实轴长与虚轴长相等的双曲线，其渐近线方程为yx，离心率等于.自我检测1若点M(x0，y0)是双曲线1上支上的任意一点，则x0的取值范围是_，y0的取值范围是_答案：(，)2，)2双曲线4x22y21的实轴长等于_，虚轴长等于_，焦距等于_答案：13双曲线1的离心率为_答案：2授课提示：对应学生用书第35页探究一根据双曲线方程研究几何性质阅读
3、教材P51例3求双曲线9y216x2144的半实轴长和半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程题型：根据双曲线方程研究其几何性质方法步骤：将方程化成标准方程的形式写出a2，b2，从而求出a，b，c的值求出双曲线的几何性质例1求双曲线9y24x236的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程解析将9y24x236化为标准方程1，即1，a3，b2，c.因此顶点坐标为A1(3,0)，A2(3,0)，焦点坐标为F1(，0)，F2(，0)，实轴长2a6，虚轴长2b4，离心率e，渐近线方程为yxx.方法技巧1.已知双曲线的方程研究其几何性质时，若不是标准方程，则应先化为标准方程，确定方程中a，
4、b的对应值，利用c2a2b2得到c值，然后确定双曲线的焦点位置，从而写出它的几何性质2求双曲线的渐近线方程时要特别注意焦点在x轴上还是在y轴上，以免写错跟踪探究1.求双曲线25y24x21000的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率、渐近线方程解析：双曲线的方程25y24x21000可化为1，所以焦点在x轴上，所以a225，b24，因此实半轴长a5，虚半轴长b2，顶点坐标为(5,0)，(5,0)由c，得焦点坐标为(，0)，(，0)离心率e，渐近线方程yx.探究二根据双曲线的几何性质求标准方程阅读教材P51例4双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面(图(1)，它的
5、最小半径为12 m，上口半径为13 m，下口半径为25 m，高为55 m试选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程(精确到1 m)题型：根据双曲线的几何性质求其标准方程方法步骤：根据双曲线的对称性，建立适当的坐标系设出标准方程求出方程中的a2，b2，进而求出c.例2求满足下列条件的双曲线的方程：(1)已知双曲线的焦点在y轴上，实轴长与虚轴长之比为23，且经过点P(，2)；(2)已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为，且经过点M(3,2)；(3)若双曲线的渐近线方程为2x3y0，且两顶点间的距离是6.解析(1)设双曲线方程为1(a0，b0)双曲线过点P(，2)，1.由题意得解得故所求双曲线方程为1.(2
6、)设所求双曲线方程为1(a0，b0)e，e21，.由题意得解得所求的双曲线方程为1.(3)设双曲线方程为4x29y2(0)，即1(0)，由题意得a3.当0时，9，36，双曲线方程为1；当0，b0)，则.点A(2，3)在双曲线上，1.联立，无解当焦点在y轴上时，设所求方程为1(a0，b0)，则.点A(2，3)在双曲线上，1.联立，解得a28，b232.所求双曲线的标准方程为1.法二：由双曲线的渐近线方程为yx，可设双曲线方程为y2(0)，A(2，3)在双曲线上，(3)2，即8.所求双曲线的标准方程为1.探究三求双曲线的离心率例3(1)点P在双曲线1(a0，b0)上，F1，F2是这条双曲线的两个焦
7、点，F1PF290，且F1PF2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是()A2B3C4 D5(2)设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为_解析(1)由题意得不妨设|PF1|，|PF2|，|F1F2|成等差数列，分别设为md，m，md，则解得m4d8a，c，离心率e5.故选D.(2)不妨设一个焦点F(c,0)，虚轴的一个端点B(0，b)，则kFB.又双曲线的渐近线为yx，1，即b2ac，c2a2ac，c2aca20，即e2e10，e(舍负)，e.答案(1)D(2)方法技巧求双曲线离心率的方法(1)若可求得a，c，则直接利用e
8、得解；(2)若已知a，b，可直接利用e得解；(3)若得到的是关于a，c的齐次方程pc2qacra20(p，q，r为常数，且p0)，则转化为关于e的方程pe2qer0求解跟踪探究3.已知F1，F2是双曲线1(a0，b0)的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，如果PF2Q90，求双曲线的离心率解析：设F1(c,0)，将xc代入双曲线的方程得1，那么y.由|PF2|QF2|，PF2Q90，知|PF1|F1F2|，所以2c，所以b22ac，所以c22aca20，所以2210，即e22e10，所以e1或e1(舍去)，所以双曲线的离心率为1.授课提示：对应学生用书第36页课后小结(1)通过双
9、曲线方程可以讨论双曲线的几何性质，通过双曲线的几何性质也可以得到双曲线方程(2)渐近线是双曲线特有的性质，渐近线和离心率都可以描述双曲线的“张口”大小素养培优1考虑问题不全面致误已知双曲线的渐近线方程为yx，求其离心率易错分析因为渐近线方程为yx，所以，即a3b，所以a29b2，a29(c2a2)，即10a29c2，所以e.本解法忽视了该双曲线的焦点位置不确定，故或两种情况，考查直观想象、逻辑推理及数学运算的学科素养自我纠正由题意得或，故 或，或3，e或e.2解题缺乏依据致误点P是双曲线C1：1(a0，b0)和圆C2：x2y2a2b2的一个交点，且有2PF1F2PF2F1，其中F1，F2是双曲
10、线C1的左、右两个焦点，求双曲线C1的离心率易错分析因为圆的半径rc，又因为F1PF290，2PF1F2PF2F1，所以PF1F230，PF2F160.在RtF1PF2中，|F1F2|2c，故|PF1|c，|PF2|c.又点P在双曲线上，且在双曲线右支上，所以|PF1|PF2|cc2a，所以e1.此解法步骤不严谨，解析缺乏依据考查直观想象、逻辑推理自我纠正因为圆的半径rc，所以圆过双曲线C1的焦点，即F1F2为圆的直径所以F1PF290.因为2PF1F2PF2F1，所以PF1F230，PF2F160.在RtF1PF2中，|F1F2|2c.故|PF1|c，|PF2|c.又点P在双曲线上，且在双曲线右支上，所以|PF1|PF2|cc2a，所以e1.
