1、A 级1(2017贵州省适应性考试)已知向量 a(2,4)，b(1,1)，c(2,3)，若 ab 与 c 共线，则实数()A.25B25C.35D35解析：ab(2，4)，c(2,3)，因为 ab 与 c 共线，所以必定存在唯一实数，使得 abc，所以22，43解得65，25.答案：B2(2017安徽省两校阶段性测试)已知向量 a(m,1)，b(m，1)，且|ab|ab|，则|a|()A1B.62C.2D4解析：a(m,1)，b(m，1)，ab(2m,0)，ab(0,2)，又|ab|ab|，|2m|2，m1，|a|m212 2.故选 C.答案：C3在平面直角坐标系 xOy 中，已知四边形 AB
2、CD 是平行四边形，AB(1，2)，AD(2,1)，则AD AC()A5B4C3D2解析：因为四边形 ABCD 为平行四边形，所以ACABAD(1，2)(2,1)(3，1)，所以AD AC23(1)15，故选 A.答案：A4(2017江西八校联考(一)在ABC 中，P，Q 分别是边 AB，BC 上的点，且 AP13AB，BQ13BC.若ABa，ACb，则PQ()A.13a13bB13a13bC.13a13bD13a13b解析：PQ PBBQ 23AB13BC23AB13(ACAB)13AB13AC13a13b，故选 A.答案：A5已知平面向量 a，b 满足 a(ab)5，且|a|2，|b|1，
3、则向量 a 与 b 的夹角的正切值为()A.33B.3C 3D 33解析：a(ab)5，即 a2ab5ab1，所以 cosa，b ab|a|b|12，所以a，b3，则向量 a 与 b 的夹角的正切值为 3，故选 B.答案：B6(2017云南省第一次统一检测)在ABCD 中，|AB|8，|AD|6，N 为 DC 的中点，BM2MC，则AM NM()A48B36C24D12解析：AM NM(ABBM)(NC CM)AB23AD 12AB13AD 12AB 229AD 21282296224，故选 C.答案：C7(2017西安市八校联考)已知点 A(1,1)，B(1,2)，C(2，1)，D(3,4)
4、，则向量CD 在BA方向上的投影是()A3 5B3 22C3 5D.3 22解析：依题意得，BA(2，1)，CD(5,5)，BACD(2，1)(5,5)15，|BA|5，因此向量CD 在BA方向上的投影是BACD|BA|155 3 5，选 A.答案：A8如图所示，下列结论正确的是()PQ 32a32b；PT32ab；PS32a12b；PR32ab.ABCD解析：根据向量的加法法则，得PQ 32a32b，故正确；根据向量的减法法则，得PT32a32b，故错误；PSPQ QS32a32b2b32a12b，故正确；PRPQ QR 32a32bb32a12b，故错误故选 C.答案：C9在ABC 中，M
5、 是 BC 的中点，AM4，点 P 在 AM 上，且满足AP3PM，则PA(PBPC)的值为()A4B6C6D4解析：依题意得|PA|34|AM|3，PBPC2PM 23PA，PA(PBPC)23PA223326，选 C.答案：C10(2017惠州市第三次调研考试)若 O 为ABC 所在平面内任一点，且满足(OB OC)(OB OC 2OA)0，则ABC 的形状为()A等腰三角形B直角三角形C正三角形D等腰直角三角形解析：(OB OC)(OB OC 2OA)0，即CB(ABAC)0，ABACCB，(ABAC)(ABAC)0，即|AB|AC|，ABC 是等腰三角形，故选 A.答案：A11已知向量
6、 a，b 满足|a|1，(ab)(a2b)0，则|b|的取值范围为()A1,2B2,4C.14，12D.12，1解析：由题意知 b0，设向量 a，b 的夹角为，因为(ab)(a2b)a2ab2b20，又|a|1，所以 1|b|cos 2|b|20，所以|b|cos 12|b|2，因为1cos 1，所以|b|12|b|2|b|，所以12|b|1，所以|b|的取值范围是12，1.答案：D12(2017宝鸡市质量检测(一)在等腰直角ABC 中，ABC90，ABBC2，M，N(不与 A，C 重合)为 AC 边上的两个动点，且满足|MN|2，则BM BN的取值范围为()A.32，2B.32，2C.32，
7、2D.32，解析：以等腰直角三角形的直角边 BC 为 x 轴，BA 为 y 轴，建立平面直角坐标系，如图，则 B(0,0)，直线 AC 的方程为 xy2.设 M(a,2a)，则 0a1，N(a1,1a)，BM(a,2a)，BN(a1,1a)，BM BNa(a1)(2a)(1a)2a22a2，0a1，当 a12时，BM BN取得最小值32，又BM BN2，故BM BN的取值范围为32，2.答案：C13(2017全国卷)已知向量 a(1,2)，b(m,1)若向量 ab 与 a 垂直，则 m_.解析：a(1,2)，b(m,1)，ab(1m,21)(m1,3)又 ab 与 a 垂直，(ab)a0，即(
8、m1)(1)320，解得 m7.答案：714(2017全国卷)已知向量 a，b 的夹角为 60，|a|2，|b|1，则|a2b|_.解析：法一：|a2b|a2b2 a24ab4b222421cos 60412 122 3.法二：(数形结合法)由|a|2b|2，知以 a 与 2b 为邻边可作出边长为 2 的菱形 OACB，如图，则|a2b|OC|.又AOB60，所以|a2b|2 3.答案：2 315已知等边ABC 的边长为 2，若BC3BE，AD DC，则BD AE_.解析：如图所示，BD AE(AD AB)(ABBE)12ACAB AB13AC13AB 12ACAB 13AC23AB 16AC
9、 223AB 21642342.答案：216(2017天津卷)在ABC 中，A60，AB3，AC2.若BD 2DC，AEACAB(R)，且AD AE4，则 的值为_解析：如图，由BD 2DC 得AD 13AB23AC，所以AD AE13AB23AC(ACAB)13ABAC13AB 223AC 223ABAC，又ABAC32cos 603，AB 29，AC 24，所以AD AE3832113 54，解得 311.答案：311B 级1在等腰梯形 ABCD 中，AB2CD，M 为 BC 的中点，则AM()A.12AB12ADB.34AB12ADC.34AB14ADD.12AB34AD解析：因为AB2
10、CD，所以AB2DC.又 M 是 BC 的中点，所以AM 12(ABAC)12(ABAD DC)12(ABAD 12AB)34AB12AD，故选 B.答案：B2已知向量 a(1,2)，b(3,1)，c(x,4)，若(ab)c，则 c(ab)()A(2,12)B(2,12)C14D10解析：由题意可得，ab(4,1)，由(ab)c，得(4)x140，即4x40，解得 x1，所以 c(1,4)而 ab(2,3)，所以 c(ab)124314.故选 C.答案：C3设 P 是ABC 所在平面内的一点，且CP2PA，则PAB 与PBC 的面积的比值是()A.13B.12C.23D.34解析：CP2PA，
11、|CP|PA|21，又PAB 在边 PA 上的高与PBC 在边 PC 上的高相等，SPABSPBC|PA|CP|12.答案：B4已知向量 a(1,3)，b(2，5)若向量 c 满足 c(ab)，且 b(ac)，则 c()A.118，3316B.118，3316C.118，3316D.118，3316解析：设 c(x，y)，由 c(ab)，得 c(ab)(x，y)(3，2)3x2y0，又 b(2，5)，ac(1x,3y)，且 b(ac)，所以 2(3y)(5)(1x)0.联立，解得 x118，y3316，所以 c118，3316.故选 A.答案：A5已知 O 为坐标原点，向量OA(3sin，co
12、s)，OB(2sin，5sin 4cos)，32，2，且OA OB，则 tan 的值为()A43B45C.45D.34解析：由题意知 6sin2cos(5sin 4cos)0，即 6sin25sin cos 4cos20，上述等式两边同时除以 cos2，得 6tan25tan 40，由于 32，2，则 tan 0，n0)，若 mn1，则|OC|的最小值为()A.52B.102C.5D.10解析：由OA(3,1)，OB(1,3)得OC mOA nOB(3mn，m3n)，因为 mn1(m0，n0)，所以 n1m 且 0m1，所以 OC(12m,4m 3)，则|OC|12m24m32 20m220m
13、1020m1225(0m1)，所以当 m12时，|OC|min 5.答案：C9(2017吉林三模)已知平面向量 a，b 的夹角为 120，且 ab1，则|ab|的最小值为()A.6B.3C.2D1解析：由题意可知1ab|a|b|cos 120，所以 2|a|b|a|2|b|22，即|a|2|b|24，当且仅当|a|b|时等号成立，|ab|2a22abb2a2b22426，所以|ab|6，所以|ab|的最小值为 6.答案：A10(2017浙江卷)如图，已知平面四边形 ABCD，ABBC，ABBCAD2，CD3，AC 与 BD 交于点 O.记 I1OA OB，I2OB OC，I3OC OD，则()
14、AI1I2I3BI1I3I2CI3I1I2DI2I10，nm.从而DBC45，又BCO45，BOC 为锐角从而AOB 为钝角故 I10，I30.又 OAOC，OB1)，OC 2OA(21)，从而 I3OC OD 12OA OB 12I1，又 121，I10，I30，I3I1，I3I10，a11，则数列an的通项公式为 an()A32n12B2n1C3n1D23n11解析：因为BD 3DC，所以EnC EnB BCEnB 43BD EnB 43(BEn EnD)13EnB43EnD.设 m EnC EnA，则 由EnA 14 an 1 EnB (3an 2)EnD，得14an113m EnB 4
15、3m3an2 EnD 0，即13m14an1，43m(3an2)，所以14an114(3an2)，所以 an113(an1)因为 a112，所以数列an1是以 2 为首项，3 为公比的等比数列，所以 an123n1，所以 an23n11.答案：D13(2017北京卷)已知点 P 在圆 x2y21 上，点 A 的坐标为(2,0)，O 为原点，则AO AP的最大值为_解析：法一：AO AP表示AP在AO 方向上的投影与|AO|的乘积，当 P 在 B 点时，AO AP有最大值，此时AO AP236.法二：设 P(x，y)，则AO AP(2,0)(x2，y)2x4，由题意知1x1，x1 时，AO AP
16、取最大值 6，AO AP的最大值为 6.答案：614在ABC 中，若(AB2AC)AB，(AC2AB)AC，则ABC 的形状为_解析：(AB2AC)AB(AB2AC)AB0，即ABAB2ACAB0.(AC2AB)AC，即(AC2AB)AC0，即ACAC2ABAC0，所以ABABACAC2ABAC，即|AB|AC|，而 cos A ABAC|AB|AC|12，所以A60，所以ABC 为等边三角形答案：等边三角形15如图，在等腰三角形 ABC 中，已知 ABAC2 7，A120，E，F 分别是边AB，AC 上的点，且AEmAB，AFnAC，其中 m，n(0,1)，若线段 EF，BC 的中点分别为
17、M，N，且 m2n1，则|MN|的最小值是_解析：连接 AN，AM.因为MN ANAM 12(ABAC)(AEAF)12(ABAC)(mABnAC)12(1m)AB(1n)AC，又 ABAC2 7，A120，ABAC|AB|AC|cos 1202 72 712 14，所以|MN|121m2AB 21n2AC 221m1nABAC12281m2281n2281m1n.因为 m2n1，所以 m12n，所以|MN|77n24n17n272 349，因为 n(0,1)，所以当 n27时，MN 取得最小值，所以|MN|的最小值是 7 37 3.答案：316定义平面向量的一种运算 ab|ab|ab|sin
18、a，b，其中a，b是 a 与b 的夹角，给出下列命题：若a，b90，则 aba2b2；若|a|b|，则(ab)(ab)4ab；若|a|b|，则 ab2|a|2；若 a(1,2)，b(2,2)，则(ab)b 10.其中真命题的序号是_解析：中，因为a，b90，则 ab|ab|ab|a2b2，所以成立；中，因为|a|b|，所以(ab)，(ab)90，所以(ab)(ab)|2a|2b|4|a|b|，所以不成立；中，因 为|a|b|，所 以 a b|a b|a b|sin a，b|a b|a b|ab|2|ab|222|a|2，所以成立；中，因为 a(1,2)，b(2,2)，所以 ab(1,4)，sin(ab，b3 3434，所以(ab)b3 5 53 3434 45 3434，所以不成立答案：