1、23.2离散型随机变量的方差内容标准学科素养1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题3.掌握方差的性质以及两点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差.利用数据分析提升数学建模和数学运算授课提示：对应学生用书第42页基础认识知识点一方差、标准差的定义及方差的性质前面我们学习了离散型随机变量的均值，它代表随机变量取值的平均水平那么怎样刻画离散型随机变量的稳定性呢？要从两名同学中挑出一名同学，代表班级参加射击比赛根据以往的成绩纪录，第一名同学击中目标靶的环数X1的分布列为：X15678910P0.030.090.200
2、.310.270.10第二名同学击中目标靶的环数X2的分布列为：X256789P0.010.050.200.410.33应该派哪名同学参赛？提示：通过计算两名同学环数X的均值相等因此只根据均值不能区分这两名同学的射击水平通过样本数据偏离均值的程度来刻画他们成绩的稳定性即方差 知识梳理1.方差及标准差的定义设离散型随机变量X的分布列为Xx1x2xixnPp1p2pipn(1)方差：D(X)(xiE(X)2pi；(2)标准差：.2方差与标准差的意义随机变量的方差和标准差都反映了随机变量的取值偏离于均值的平均程度方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小3方差的性质：D(aXb)a2D(X
3、)知识点二两点分布与二项分布的方差知识梳理XX服从两点分布XB(n，p)D(X)p(1p)(其中p为成功概率)np(1p)自我检测1设随机变量X的方差D(X)1，则D(2X1)的值为()A2B3C4 D5答案：C2同时抛掷两枚均匀的硬币10次，设两枚硬币同时出现反面的次数为，则D()等于()A. B.C. D5答案：A授课提示：对应学生用书第43页探究一求离散型随机变量的方差阅读教材P66例4随机抛掷一枚质地均匀的骰子，求向上一面的点数X的均值、方差和标准差题型：求离散型随机变量的均值、方差、标准差方法步骤：(1)先求出随机变量X的分布列；(2)再求出E(X)；(3)由方差的计算公式求出D(X
4、).例1袋中有5个大小相同的小球，其中有1个白球、4个黑球，每次从中任取一球，每次取出的黑球不再放回去，直到取出白球为止求取球次数X的均值和方差解析取球次数X是一个随机变量，X的所有可能取值是1,2,3,4,5.P(X1)0.2，P(X2)0.2，P(X3)0.2，P(X4)0.2，P(X5)0.2.随机变量X的分布列为：X12345P0.20.20.20.20.2E(X)10.220.230.240.250.20.2(12345)3，D(X)(13)20.2(23)20.2(33)20.2(43)20.2(53)20.20.2(2212021222)2.方法技巧求离散型随机变量的方差的类型及
5、解决方法(1)已知分布列型(非两点分布或二项分布)：直接利用定义求解，先求均值，再求方差(2)已知分布列是两点分布或二项分布型：直接套用公式求解，具体如下：若X服从两点分布，则D(X)p(1p)若XB(n，p)，则D(X)np(1p)(3)未知分布列型：求解时可先借助已知条件及概率知识先求得分布列，然后转化成(1)中的情况(4)对于已知D(X)求D(aXb)型，利用方差的性质求解，即利用D(aXb)a2D(X)求解跟踪探究1.袋中有大小相同的四个球，编号分别为1,2,3,4，每次从袋中任取一个球，记下其编号若所取球的编号为偶数，则把该球编号改为3后放回袋中继续取球；若所取球的编号为奇数，则停止
6、取球(1)求“第二次取球后才停止取球”的概率；(2)若第一次取到偶数，记第二次和第一次取球的编号之和为X，求X的分布列和方差解析：(1)记“第二次取球后才停止取球”为事件A.易知第一次取到偶数球的概率为，第二次取球时袋中有三个奇数，所以第二次取到奇数球的概率为，而这两次取球相互独立，所以P(A).(2)若第一次取到2，则第二次取球时袋中有编号为1,3,3,4的四个球；若第一次取到4，则第二次取球时袋中有编号为1,2,3,3的四个数所以X的可能取值为3,5,6,7.所以P(X3)，P(X5)，P(X6)，P(X7).所以X的分布列为：X3567P均值E(X)3567，方差D(X)2222.探究二
7、两点分布与二项分布的方差阅读教材P69习题2.3B组1改编抛掷两枚骰子，当至少有一枚5点或一枚6点出现时，就说这次试验成功，求在30次试验中成功次数X的均值和方差解析：抛掷两枚骰子至少有一枚5点或一枚6点的概率P，由题意知XB(30，)，E(X)30，D(X)30.例2为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物，某人一次种植了n株沙柳，各株沙柳的成活与否是相互独立的，成活率为p，设为成活沙柳的株数，均值E()为3，标准差为.(1)求n和p的值，并写出的分布列；(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率解析由题意知，B(n，p)，P(k)Cpk(1p
8、)nk，k0,1，n.(1)由E()np3，D()np(1p)，得1p，从而n6，p.的分布列为0123456P(2)记“需要补种沙柳”为事件A，则P(A)P(3)，得P(A)，或P(A)1P(3)1，所以需要补种沙柳的概率为.方法技巧解决此类问题第一步是判断随机变量服从什么分布，第二步代入相应的公式求解若服从两点分布，则D()p(1p)；若服从二项分布，即B(n，p)，则D()np(1p)跟踪探究2.某厂一批产品的合格率是98%.(1)计算从中抽取一件产品为正品的数量的方差；(2)从中有放回地随机抽取10件产品，计算抽出的10件产品中正品数的方差及标准差解析：(1)用表示抽得的正品数，则0,
9、1.服从两点分布，且P(0)0.02，P(1)0.98，所以D()p(1p)0.98(10.98)0.019 6.(2)用X表示抽得的正品数，则XB(10,0.98)，所以D(X)100.980.020.196，标准差为0.44.探究三离散型随机变量的方差的应用阅读教材P67例5有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：表1甲单位不同职位月工资X1/元1 2001 4001 6001 800获得相应职位的概率P10.40.30.20.1表2乙单位不同职位月工资X2/元1 0001 4001 8002 200获得相应职位的概率P20.40.30.20.1根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪
10、家单位？题型：离散型随机变量的均值和方差的实际应用方法步骤：(1)由分布列求出E(X1)，D(X1)，E(X2)，D(X2)；(2)比较E(X1)与E(X2)的大小，D(X1)与D(X2)的大小；(3)根据所需选择结论例3为选拔奥运会射击选手，对甲、乙两名射手进行选拔测试已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量，甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环，且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a，a,0.1，乙射中10,9,8环的概率分别为0.3，0.3，0.2.(1)求，的分布列；(2)求，的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术并从中选拔一人解析(1)依据
11、题意知，0.53aa0.11，解得a0.1.乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2，乙射中7环的概率为1(0.30.30.2)0.2.，的分布列分别为：10987P0.50.30.10.110987P0.30.30.20.2(2)结合(1)中，的分布列，可得E()100.590.380.170.19.2，E()100.390.380.270.28.7，D()(109.2)20.5(99.2)20.3(89.2)20.1(79.2)20.10.96，D()(108.7)20.3(98.7)20.3(88.7)20.2(78.7)20.21.21.E()E()，说明甲平均射中的环数
12、比乙高又D()D()，说明甲射中的环数比乙集中，比较稳定甲的射击技术好方法技巧1.解题时可采用比较分析法，通过比较两个随机变量的均值和方差得出结论2均值体现了随机变量取值的平均大小，在两种产品相比较时，只比较均值往往是不恰当的，还需比较它们的取值偏离于均值的平均程度，即通过比较方差，才能准确地得出更恰当的判断跟踪探究3.甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等，而两个保护区内每个季度发生违反保护条例的事件次数的分布列分别为：0123P0.30.30.20.2012P0.10.50.4试评定两个保护区的管理水平解析：甲保护区的违规次数的均值和方差分别为E()00
13、.310.320.230.21.3；D()(01.3)20.3(11.3)20.3(21.3)20.2(31.3)20.21.21.乙保护区的违规次数的均值和方差分别为E()00.110.520.41.3；D()(01.3)20.1(11.3)20.5(21.3)20.40.41.因为E()E()，D()D()，所以两个保护区内每个季度发生的违规事件的平均次数相同，但甲保护区的违规事件次数相对分散和波动，乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定授课提示：对应学生用书第44页课后小结(1)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度，以及随机变量取值偏离均值的平均程度方差D(X)或标准差越小，则随机变量X偏离均值的平均程度越小；方差越大，表明平均偏离的程度越大，说明X的取值越分散(2)求离散型随机变量X的均值、方差的步骤理解X的意义，写出X的所有可能的取值；求X取每一个值的概率；写出随机变量X的分布列；由均值、方差的定义求E(X)，D(X)特别地，若随机变量服从两点分布或二项分布，可根据公式直接计算E(X)和D(X)素养培优错用方差的性质致错已知随机变量X满足D(X)2，则D(3X2)_.A6B8C18 D20易错分析：易将方差性质记成D(ab)aD()导致选A.考查数学运算的学科素养自我纠正：D(X)2，D(3X2)9D(X)18.故选C.答案：C
