1、2.4圆的方程2.4.1圆的标准方程素养目标定方向 课程标准学法解读1掌握圆的定义及其标准方程2会用待定系数法求圆的标准方程，判断点与圆的位置关系1会用定义推导圆的标准方程，并掌握圆的标准方程的特征(数学抽象)2能根据所给条件求圆的标准方程(数学运算)3掌握点与圆的位置关系并能解决相关问题(数学运算)必备知识探新知 知识点1 圆的标准方程(1)条件：圆心为C(a，b)，半径长为r(2)方程：_(xa)2(yb)2r2_(3)特例：圆心为坐标原点，半径长为r的圆的方程是_x2y2r2_知识点2 点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆C：(xa)2(yb)2r2的位置关系及判断方法位置关系利用距离
2、判断利用方程判断点M在圆上|CM|_r(x0a)2(y0b)2_r2点M在圆外|CM|_r(x0a)2(y0b)2_r2点M在圆内|CM|_r(x0a)2(y0b)2_r2思考：(1)如果圆的标准方程为(xx0)2(yy0)2a2(a0)，那么圆的圆心、半径分别是什么？(2)如果点P(x0，y0)在圆x2y2r2上，那么xyr2，若点P在圆内呢？圆外呢？提示：(1)圆心为(x0，y0)，半径为|a|(2)若点P在圆内，则xyr2；若点P在圆外，则xyr2关键能力攻重难 题型探究题型一求圆的标准方程典例1求圆心在直线x2y30上，且过点A(2，3)，B(2，5)的圆的标准方程分析解答本题可以先根
3、据所给条件确定圆心和半径，再写方程，也可以设出方程用待定系数法求解，也可以利用几何性质求出圆心和半径解析方法1：设点C为圆心，点C在直线：x2y30上，可设点C的坐标为(2a3，a)又该圆经过A，B两点，|CA|CB|又，解得a2圆心坐标为C(1，2)，半径r故所求圆的标准方程为(x1)2(y2)210方法2：设所求圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2，圆心坐标为(a，b)，由条件知解得故所求圆的标准方程为(x1)2(y2)210方法3：线段AB的中点为(0，4)，kAB，所以弦AB的垂直平分线的斜率k2，所以线段AB的垂直平分线的方程为：y42x，即y2x4故圆心是直线y2x4与直线x2y
4、30的交点，由得即圆心为(1，2)，圆的半径为r，所以所求圆的标准方程为(x1)2(y2)210规律方法圆的标准方程的两种求法(1)几何法它是利用图形的几何性质，如圆的性质等，直接求出圆的圆心和半径，代入圆的标准方程，从而得到圆的标准方程(2)待定系数法由三个独立条件得到三个方程，解方程组以得到圆的标准方程中三个参数，从而确定圆的标准方程它是求圆的方程最常用的方法，一般步骤是：设设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2；列由已知条件，建立关于a，b，r的方程组；解解方程组，求出a，b，r；代将a，b，r代入所设方程，得所求圆的方程【对点训练】(1)若圆经过点(2,0)，(0,4)，(0,2)，
5、求圆的标准方程；(2)已知C经过点O(0,0)和A(8，4)，且圆心C在直线l：xy70上，求C的方程解析(1)设圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2，圆经过点(2,0)，(0,4)，(0,2)，将已知点代入方程得：解得所以圆的标准方程为(x3)2(y3)210(2)由题意设圆心坐标为：(a，a7)，由题意得|OC|2|AC|2，所以a2(a7)2(a8)2(a74)2，解得：a3，所以圆心(3，4)，半径r5，所以圆C的方程为：(x3)2(y4)225题型二点与圆的位置关系典例2(1)点P(m2,5)与圆x2y224的位置关系是(B)A点P在圆内B点P在圆外C点P在圆上D不确定(2)已知点
6、M(51，)在圆(x1)2y226的内部，则a的取值范围是_0,1)_分析(1)首先根据圆的方程确定圆心和半径，然后利用P到圆心的距离和圆的半径大小关系确定点与圆的位置关系；(2)首先确定圆心和半径，利用圆心到点M的距离小于半径列出不等式求解解析(1)因为(m2)252m42524，所以点P在圆外(2)由题意知解得0a1规律方法点与圆的位置关系及其应用点与圆的位置关系有三种：点在圆内、点在圆上、点在圆外判断点与圆的位置关系有两种方法：一是用圆心到该点的距离与半径比较，二是代入圆的标准方程，判断与r2的大小关系通过点与圆的位置关系建立方程或不等式可求参数值或参数的取值范围【对点训练】若点(1,1
7、)在圆(xa)2(ya)24的内部，则a的取值范围是(B)Aa1或a1B1a1C0a1Da1解析由题意可知，(1a)2(1a)24，解得a21，故1a1题型三与圆有关的轨迹问题典例3已知圆x2y24上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若PBQ90，求线段PQ中点的轨迹方程解析(1)设AP的中点为M(x0，y0)，由中点坐标公式可知点P坐标为(2x02,2y0)因为点P在圆x2y24上，所以(2x02)2(2y0)24故线段AP中点的轨迹方程为(x1)2y21(2)设PQ的中点为N(x，y)在RtPBQ中，|PN|BN|设O为坐标
8、原点，连接ON，则ONPQ，所以|OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2所以x2y2(x1)2(y1)24故线段PQ中点的轨迹方程为x2y2xy10规律方法求与圆有关的轨迹方程的方法(1)直接法：根据题设条件直接列出方程(2)定义法：根据圆的定义写出方程(3)几何法：利用圆的性质列方程(4)代入法：找出要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式【对点训练】设定点M(3,4)，动点N在圆x2y24上运动，以OM，ON为邻边作平行四边形MONP，求点P的轨迹解析如图所示，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为，线段MN的中点坐标为由于平行四边形的对角线相交于一点，故，
9、从而又N(x3，y4)在圆上，故(x3)2(y4)24因此所求轨迹为圆：(x3)2(y4)24，但应除去两点和(点P在直线OM上时的情况)易错警示对圆心位置考虑不全致错典例4已知某圆圆心在x轴上，半径为5，且截y轴所得线段长为8，求该圆的标准方程错解如图，由题设知|AB|8，|AC|5|OA|4在RtAOC中，|OC|3C点坐标(3,0)，所求圆的标准方程为(x3)2y225辨析由题意知，|OC|3，C在x轴上，则C可能在x轴正半轴上，也可能在x轴负半轴上，错解只考虑了在x轴正半轴上的情况正解正解一：如图，由题设|AC|r5，|AB|8，|AO|4在RtAOC中，|OC|3设点C坐标为(a,0)，则|OC|a|3，a3所求圆的标准方程为(x3)2y225或(x3)2y225正解二：由题意设所求圆的标准方程为(xa)2y225圆截y轴所得线段长为8，圆过点A(0,4)代入方程得a21625，a3，所求圆的标准方程为(x3)2y225或(x3)2y225误区警示借助图形解决数学问题，只能是定性地分析，而不能定量研究，要定量研究问题，就应考虑到几何图形的各种情况，本题出错就是由于考虑问题不全面所致
