1、核心素养测评十六 导数与不等式的综合问题(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.对于x0,+),则ex与1+x的大小关系为()A.ex1+xB.ex1+xC.ex=1+xD.ex与1+x大小关系不确定【解析】选A.令f(x)=ex-(1+x),因为f(x)=ex-1,所以对x0,+),f(x)0,故f(x)在0,+)上递增,故f(x)f(0)=0,即ex1+x.2.(2020长沙模拟)已知函数f(x)=-x3-3x+2sin x,设a=20.3,b=0.32,c=log20.3,则()A.f(b)f(a)f(c)B.f(b)f(c)f(a)C.f(c)f(b)f(a)D.f(a
2、)f(b)f(c)【解析】选D.根据函数性质可得120.32;00.321;-2log20.3-1;故可判断出cba.又f(x)=-3x2-3+2cos x,其中-3x2-3-3恒成立,而cos x-1,1也是恒成立,故f(x)0恒成立,即函数f(x)是单调递减的,由cbf(b)f(a).3.已知x=1是函数f(x)=ax3-bx-ln x(a0,bR)的一个极值点,则ln a与b-1的大小关系是()A.ln ab-1B.ln a0),则g=-3=,令g0,解得0a,令g,故g(a)在上单调递增,在上单调递减,故g(a)max=g=1-ln 30,故ln a0,则f(t)=-ln t+-1,令
3、g(t)=-ln t+-1,t0,则g(t)=-f(x+1)成立的x的取值范围是_.【解析】根据题意,函数f(x)=ex+e-x+x2,则f(-x)=e-x+ex+(-x)2=ex+e-x+x2=f(x),即函数f(x)为偶函数,又f(x)=(ex)+(x2)=ex-e-x+2x.当x0时,有f(x)0,即函数f(x)在0,+)上为增函数,f(2x)f(x+1)f(|2x|)f(|x+1|)|2x|x+1|,解得x1,即x的取值范围为(1,+).答案:(1,+)6.(2020汉中模拟)设函数f(x)=ex-(e为自然对数的底数),若不等式f(x)0有正实数解,则实数a的最小值为_.【解析】原问
4、题等价于存在x(0,+),使得aex(x2-3x+3),令g(x)=ex(x2-3x+3),x(0,+),则ag(x)min.而g(x)=ex(x2-x),由g(x)0可得 x(1,+),由g(x)0,函数f(x)=x+,g(x)=x-ln x,若对任意的x1,x21,e,都有f(x1)g(x2)成立,则实数a的取值范围为_.【解析】因为g(x)=x-ln x,x1,e,所以有g(x)=1-0,函数g(x)单调递增,则g(x)max=g(e)=e-1.因为f(x)=x+,所以f(x)=.令f(x)=0,因为a0,所以x=a.当0aa.当1ae时,f(x)min=f(a)=2ae-1恒成立.当a
5、e时,f(x)在1,e上单调递减,f(x)min=f(e)=e-1恒成立.综上,a.答案:,+)8.已知不等式ex-1kx+ln x,对于任意的x(0,+)恒成立,则k的最大值为_.【解题指南】不等式ex-1kx+ln x,对于任意的x(0,+)恒成立,等价于k对于任意的x(0,+)恒成立.求得f(x)=(x0)的最小值即可得到k的取值.【解析】不等式ex-1kx+ln x,对于任意的x(0,+)恒成立,等价于k对于任意的x(0,+)恒成立.令f(x)=(x0),f(x)=,令g(x)=ex(x-1)+ln x(x0),则g(x)=xex+0,所以g(x)在(0,+)上单调递增,g(1)=0,
6、所以x(0,1)时,g(x)0.所以x(0,1)时,f(x)0.所以x(0,1)时,f(x)单调递减,x(1,+)时,f(x)单调递增,所以f(x)min=f(1)=e-1,所以ke-1.答案:e-1三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2020邯郸模拟)已知函数f(x)=ln x-ax.(1)当a=1时,判断函数f(x)的单调性.(2)若f(x)0恒成立,求a的取值范围.(3)已知bae,证明abba.【解析】由题意可知,函数f(x)=ln x-ax的定义域为(0,+)且f(x)=-a.(1)当a=1时,f(x)=-1=,若f(x)0,则0x1;若f(x)1,所以函数f(x)在区间(0,
7、1)上单调递增,(1,+)上单调递减.(2)若f(x)0恒成立,则ln x-ax0恒成立,又因为x(0,+),所以分离变量得a恒成立,设g(x)=,则ag(x)max,所以g(x)=,当g(x)0时,x(0,e),即函数g(x)=在(0,e)上单调递增,在(e,+)上单调递减.当x=e时,函数g(x)=取最大值,g(x)max=g(e)=,所以a.(3)欲证abba,两边取对数,只需证明ln abln ba,即证bln aaln b,即证,由(2)可知g(x)=在(e,+)上单调递减,且bae,所以g(a)g(b),命题得证.10.(2020汉中模拟)已知函数f(x)=ln x+x2-(m+1
8、)x+m+.(1)设x=2是函数f(x)的极值点,求m的值,并求f(x)的单调区间.(2)若对任意的x(1,+),f(x)0恒成立,求m的取值范围.【解析】(1)f(x)=ln x+x2-(m+1)x+m+(x0),f(x)=x+-m-1.因为x=2是函数f(x)的极值点,所以f(2)=2+-m-1=0,故m=.令f(x)=x+-=0,解得0x2.令f(x)0,则x0,则f(x)在(1,+)上单调递增,又f(1)=0,所以ln x+x2-(m+1)x+m+0恒成立;当 m1时,易知f(x)=x+-m-1在(1,+)上单调递增,故存在x0(1,+),使得f(x0)=0,所以f(x)在(1,x0)上单调递减,在(x0,+)上单调递增,又f(1)=0,则f(x0)0恒成立矛盾.综上,m1.
