1、核心素养测评五十五 圆锥曲线的范围问题一、选择题(每小题5分,共20分)1.已知点(1,2)是双曲线-=1 (ab0)上一点,则其离心率的取值范围为()A.(1, )B.C.(,+) D.【解析】选C.由已知得-=1,所以=b2+4,e=,所以e.2.已知A,B为椭圆+=1上的两个动点,M(-1,0),且满足MAMB,则的取值范围为()A.B.C.D.【解析】选C.A,B为椭圆+=1上的两个动点,M(-1,0)为其左焦点.MAMB,则有=0.=(-)=.设A(x,y),则y2=3(1-).=(x+1)2+y2=(x+1)2+3(1-)=x2+2x+4=(x+4)2.由x-2,2,得=(x+4)
2、21,9.3.已知椭圆C1:+=1(ab0)与圆C2:x2+y2=b2,若在椭圆C1上存在点P,使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直,则椭圆C1的离心率的取值范围为()A. B. C.D.【解析】选C.由椭圆上长轴端点向圆作两条切线PA、PB,则两切线形成的角为APB,若椭圆C1上存在点P令切线互相垂直,则只需APB90,即=APO45,所以sin =sin 45=,解得a22c2,所以e2,即e.而0e1,所以e4),点A(-2,2)是椭圆内一点,B(0,-2),若椭圆上存在一点P,使得|PA|+|PB|=8,则m的范围是_;当m取得最大值时,椭圆的离心率为_.【解析】显然椭圆的焦点在y
3、轴上,设椭圆的半焦距为c,则c=2,故B为椭圆的下焦点,设椭圆的上焦点为F(0,2),则由椭圆定义可知|PF|+|PB|=2a,因为|PA|+|PB|=8,所以|PA|=8-|PB|,于是|PA|-|PF|=|8-|PB|-|PF|=|8-2a|,又|PA|-|PF|AF|=2,所以|8-2a|2,解得:3a5,即35,所以9m25.又A(-2,2)在椭圆内部,所以+4,解得m6+2.综上可得:6+20)上一点M(m,9)到其焦点F的距离为10.(1)求抛物线C的方程.(2)设过焦点F的直线l与抛物线C交于A,B两点,且抛物线在A,B两点处的切线分别交x轴于P,Q两点,求|AP|BQ|的取值范
4、围.【解析】(1)已知M(m,9)到焦点F的距离为10,则点M到准线的距离为10.因为抛物线的准线为y=-,所以9+=10,解得p=2,所以抛物线的方程为x2=4y.(2)由已知可判断直线l的斜率存在,设斜率为k,因为F(0,1),则l:y=kx+1.设A,B,由消去y得,x2-4kx-4=0,所以x1+x2=4k,x1x2=-4.由于抛物线C也是函数y=x2的图象,且y=x,则PA:y-=x1(x-x1).令y=0,解得x=x1,所以P,从而|AP|=.同理可得|BQ|=,所以|AP|BQ|=2.因为k20,所以|AP|BQ|的取值范围为2,+).8.已知椭圆C1,抛物线C2的焦点均在x轴上
5、,C1的中心和C2的顶点均为原点O,从每条曲线上各取两个点,其坐标分别是(3,-2),(-2,0),(4,-4),.(1)求C1,C2的标准方程.(2)过点M(0,2)的直线l与椭圆C1交于不同的两点A,B,且AOB为钝角(其中O为坐标原点),求直线l的斜率k的取值范围.【解析】(1)由题意,抛物线的顶点为原点,设椭圆方程为+=1(ab0),所以点(-2,0)一定在椭圆上,且a=2,则椭圆上任何点的横坐标的绝对值都小于等于2,所以也在椭圆上,+=1,b2=1,故椭圆标准方程为+y2=1,所以点(3,-2)、(4,-4)在抛物线上,且抛物线开口向右,设其方程为y2=2px(p0),12=6p,p=2,所以方程为y2=4x.(2)当直线l斜率不存在时,易知A,O,B三点共线,不符合题意.当l斜率存在时,设l:y=kx+2,A(x1,x2),B(x2,y2),x2+4(kx+2)2-4=0,(4k2+1)x2+16kx+12=0,令=(16k)2-48(4k2+1)0,256k2-192k2-480,64k248,k,=(x1,y1),=(x2,y2),x1+x2=,x1x2=,y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4=-+=,令=x1x2+y1y2=16,k2.综上:k2.
