1、核心素养测评二十五 正弦定理和余弦定理(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.在ABC中,a=2,b=2,B=45,则A为()A.60或120B.60C.30或150D.30【解析】选A.在ABC中,由正弦定理得=,所以sin A=.又ab,所以AB,所以A=60或A=120.2.(2020侯马模拟)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若=,则B的大小为()A.30B.45C.60D.90【解析】选B.由正弦定理知,=,所以sin B=cos B,所以B=45.3.在ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,若a=2bcos C,则此三角形一定是()A.等腰直
2、角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形【解析】选C.在ABC中,因为cos C=,所以a=2bcos C=2b,所以a2=a2+b2-c2,所以b=c,所以此三角形一定是等腰三角形.4.在ABC中,A=60,a=,b=,则ABC解的情况是()A.无解B.有唯一解C.有两解D.不能确定【解析】选B.因为在ABC中,A=60,a=,b=,所以根据正弦定理得sin B=,因为A=60,得B+C=120,所以由sin B=,得B=30,从而得到C=90,因此,满足条件的ABC有且只有一个.【变式备选】已知在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.a=x,b=2,B=30
3、,若三角形有两个解,则x的取值范围是()A.(2,+)B.(2,2)C.(2,4)D.(2,2)【解析】选C.因为三角形有两个解,所以xsin Bbx,得2x4,即x的取值范围是(2,4).5.(2020郑州模拟)在ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c.若2cos2-cos 2C=1,4sin B=3sin A,a-b=1,则c的值为()A.B.C.D.6【解析】选A.由2cos2-cos 2C=1得2cos2-1-cos 2C=0,即cos 2C+cos C=0,即2cos 2C+cos C-1=0,解得cos C=或cos C=-1(舍),由4sin B=3sin A得4b=3a,又
4、a-b=1,联立得a=4,b=3,所以c2=a2+b2-2abcos C=16+9-12=13,c=.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2020合肥模拟)设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2,cos C=-,3sin A=2sin B,则c=_.【解析】因为3sin A=2sin B,所以3a=2b.又因为a=2,所以b=3.由余弦定理可知c2=a2+b2-2abcos C,所以c2=22+32-223=16,所以c=4.答案:47.在ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若bcos A=sin B,且a=2,b+c=6,则ABC的面积为_.【解析】由题
5、意可得:abcos A=asin B,所以asin Bcos A=sin Asin B,所以tan A=a=,所以A=.利用余弦定理有cos A=,结合a=2,b+c=6可得:bc=8,则SABC=bcsin A=8=2.答案:2【变式备选】在ABC中,三个内角A,B, C所对的边分别是a,b,c,若(b+2sin C)cos A=-2sin Acos C,且a=2,则ABC面积的最大值是_.【解析】因为(b+2sin C)cos A=-2sin Acos C,所以bcos A=-2(sin Ccos A+sin Acos C)=-2 sin(A+C)=-2sin B,则=,结合正弦定理得=,
6、即tan A=-,A=,由余弦定理得cos A=-,化简得b2+c2=12-bc2bc,故bc4,SABC=bcsin A4= .答案:8.已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asin A+bsin B+bsin A=csin C,a=2,b=2,则sin B=_.【解析】因为asin A+bsin B+bsin A=csin C,所以a2+b2+ab=c2.由余弦定理得cos C=-,又0C,所以C=.c2=a2+b2-2abcos C=22+(2)2-222=20,所以c=2.由正弦定理得=,即=,解得sin B=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2019柳
7、州模拟)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(a2+b2-c2)(2sin A-sin B)=(a2+c2-b2)sin B.(1)求角C.(2)若c=2,ABC的中线CD=2,求ABC的面积.【解析】(1)因为(a2+b2-c2)(2sin A-sin B)=(a2+c2-b2)sin B.所以2abcos C(2sin A-sin B)=2accos Bsin B.所以2sin Acos C=sin(B+C)=sin A,又在ABC中,sin A0,所以cos C=,又0C,所以C=.(2)由|=得,a2+b2+ab=16,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=a
8、2+b2-ab=8,由两式得ab=4,所以ABC的面积S=absin C= ab=.10.(2020清华附中模拟)在ABC中,3sin A=2sin B,tan C=.(1)求cos2C.(2)若AC-BC=1,求ABC的周长.【解析】(1)因为tan C=,所以cos C=,所以cos2C=2-1=-.(2)设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.由3sin A=2sin B及正弦定理得3a=2b,又因为AC-BC=b-a=1,所以a=2,b=3.由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=13-2=11,所以c=,ABC的周长为5+.(15分钟35分)1.(5分)在ABC中,内
9、角A,B,C的对边分别为a,b,c.若=,A=,b=1,则ABC的面积为()A. B.C. D.【解析】选B.由正弦定理得=,又A=,b=1,则a=1,B=,所以ABC是边长为1的正三角形,所以ABC的面积为12=.2.(5分)(2020揭阳模拟)已知ABC中,AB=AC=3,sin ABC=2sin A,延长AB到D使得BD=AB,连接CD,则CD的长为()A.B.C.D.3【解析】选C.因为sin ABC=2sin A,所以AC=2BC,即BC=,因为BD=AB,所以+=+=0,CD2=,CD=.3.(5分)(2020长沙模拟)在锐角ABC中,D为BC的中点,满足BAD+C=90,则B,C
10、的大小关系是_.【解析】由BAD+C=90,得CAD+B=90,由正弦定理得=,=,又D为BC的中点,所以BD=DC,所以=,化简得sin Bcos B=sin Ccos C,即sin 2B=sin 2C,又ABC为锐角三角形,所以B=C.答案:B=C4.(10分)已知菱形ABCD的边长为2,DAB=60.E是边BC上一点,线段DE交AC于点F.(1)若CDE的面积为,求DE的长.(2)若CF=4DF,求sinDFC.【解析】(1)由已知,BCD=DAB=60.因为CDE的面积S=CDCEsinBCD=,所以2CE=,解得CE=1.在CDE中,由余弦定理得DE=.(2)连接BD,由已知ACD=
11、30,BDC=60,设CDE=,则060.在CDF中,由正弦定理得=,因为CF=4DF,所以sin =,所以cos =,所以sin DFC=sin(30+)=+=.5.(10分)(2020侯马模拟) 在ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C.(1)求A的大小;(2)若sin B+sin C=1,试判断ABC的形状.【解析】(1)由已知,结合正弦定理,得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,即a2=b2+c2+bc.又由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A,所以bc=-2bccos A,即cos A=-.由于A
12、为ABC的内角,所以A=.(2)由已知2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C,结合正弦定理,得2sin2A=(2sin B+sin C)sin B+(2sin C+sin B)sin C,即sin2A=sin2B+sin2C+sin Bsin C=sin2=.又由sin B+sin C=1,得sin2B+sin2C+2sin Bsin C=1,所以sin Bsin C=,结合sin B+sin C=1,解得sin B=sin C=.因为B+C=-A=,所以B=C=,所以ABC是等腰三角形.1.我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边长求三角形面积的“三斜求积”公式:设
13、ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则ABC的面积S=.若a2sin C=4sin A,(a+c)2=12+b2,则用“三斜求积”公式求得ABC的面积为()A.B.2C.3D.【解析】选A.由正弦定理及a2sin C=4sin A,得ac=4,再结合(a+c)2=12+b2,得a2+c2-b2=4,则S=,故选A.2.(2019沈阳模拟)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知c=5,B=,ABC的面积为,则cos 2A=_.【解析】由三角形面积公式得SABC=acsin B=a5sin =5a=,解得a=3.由b2=a2+c2-2accos B=32+52-235=49,得b=7.由=所以sin A=sin B=sin =,所以cos 2A=1-2sin2A=1-2=.答案:
