1、第3讲二项式定理1二项式定理的内容(1)(ab)nCanCan1b1CanrbrCbn(nN*)(2)第r1项，Tr1Canrbr(3)第r1项的二项式系数为C(r0，1，n)2二项式系数的性质(1)0rn时，C与C的关系是相等(2)二项式系数先增后减，中间项最大，且n为偶数时，第1项的二项式系数最大，最大为C；当n为奇数时，第1和1项的二项式系数最大，最大为C或C(3)各二项式系数和：CCCC2n，CCC2n1，CCC2n11注意(ab)n与(ba)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题2解题时，要注意区别二项式系数和项的系数的不同，项数和项的不同3切实理解“常
2、数项”“有理项(字母指数为整数)”“系数最大的项”等概念1(2022东莞调研测试)二项式的展开式的常数项为()A15 B15 C20 D20 答案B解析二项式的展开式的通项为Tr1Cx6r(1)rCx63r.令63r0，得r2，展开式的常数项是C15.故选B.2若(x1)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，则a0a2a4的值为()A9 B8 C7 D6答案B解析令x1，则a0a1a2a3a40，令x1，则a0a1a2a3a416，两式相加，得a0a2a48.3(xy)(xy)5的展开式中x2y4的系数为()A10 B5 C5 D10答案B解析(xy)5的展开式的通项为Tr1Cx5ryr，令5
3、r1，得r4，令5r2，得r3，(xy)(xy)5的展开式中x2y4的系数为C1(1)C5.故选B.4设(5x)n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，MN240，则展开式中x3的系数为()A500 B500 C150 D150答案C解析由题意可得N2n，令x1，则M(51)n4n(2n)2.(2n)22n240，2n16(负值舍去)，n4.展开式中第r1项为Tr1C(5x)4r()r(1)r54rCx令43，即r2，此时(1)252C150.5(2021天津高考)在的展开式中，x6的系数是_答案160解析6的展开式的通项为Tr1C(2x3)6rr26rCx184r，令184r6，解
4、得r3，所以x6的系数是23C160.6在(13)7的展开式中，若x2的系数为19，则a_答案2解析(13)7的展开式中x2的系数为C(1)6Ca1CaC，则aCC19，解得a2.考向一求展开式中的特定项或特定项系数例1(1)在(2)5的展开式中，x2的系数为()A5 B5 C10 D10答案C解析(2)5展开式的通项为Tr1C()5r(2)r(2)rCx，令2，得r1，则x2的系数为(2)1C(2)510.故选C. (2)(2020全国卷)(xy)5的展开式中x3y3的系数为()A5 B10 C15 D20答案C解析(xy)5展开式的通项为Tr1Cx5ryr(rN且r5)，所以(xy)5xT
5、r1Tr1xCx5ryrCx5ryrCx6ryrCx4ryr2.在xTr1Cx6ryr中，令r3，可得xT4Cx3y310x3y3，该项中x3y3的系数为10，在Tr1Cx4ryr2中，令r1，可得T2Cx3y35x3y3，该项中x3y3的系数为5，所以x3y3的系数为10515.故选C.(3)(2021北京高考)4展开式中常数项为_答案4解析4的展开式的通项Tr1C(x3)4rr(1)rCx124r，令124r0，得r3，则常数项为T4(1)3C4.求二项展开式中特定项或项的系数问题的思路(1)利用通项公式将Tr1项写出并化简(2)令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数
6、为整数等)，解出r.(3)代回通项公式得所求1.(2022秦皇岛模拟)的展开式中x3项的系数为()A80 B80 C40 D48答案B解析的展开式的通项为Tk1C(2x)5k(1)k25kCx52k，令52k3，得k1.于是展开式中x3项的系数为(1)251C80.故选B.2(x21)的展开式的常数项是()A5 B10 C32 D42答案D解析由于的展开式的通项为C(2)rC(2)rx，故(x21)的展开式的常数项是C(2)C(2)542.故选D.3(2021山西太原模拟)已知的展开式中x3的系数为，则a_答案4解析的展开式的通项为Tr1C(1)ra9r2Cx令r93，得r8，则(1)8a24
7、C，解得a4. 精准设计考向，多角度探究突破考向二二项式系数与各项的系数问题角度二项展开式中系数的和例2(1)若二项式的展开式的二项式系数之和为8，则该展开式每一项的系数之和为()A1 B1 C27 D27答案A解析由题意，得CCC2n8，即n3，所以的展开式的系数之和为(12)31.故选A.(2)(2021浙江高考)已知多项式(x1)3(x1)4x4a1x3a2x2a3xa4，则a1_；a2a3a4_答案510解析(x1)3的展开式的通项Tr1(1)rCx3r，(x1)4的展开式的通项Tk1Cx4k，则a1CC145，a2(1)1CC3，a3(1)2CC7，a4(1)3CC0.所以a2a3a
8、437010.赋值法的应用(1)对形如(axb)n(a，bR)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x1.(2)对形如(axby)n(a，bR)的式子求其展开式的各项系数之和，只需令xy1.(3)一般地，对于多项式(abx)na0a1xa2x2anxn，令g(x)(abx)n，则(abx)n的展开式中各项的系数和为g(1)，(abx)n的展开式中奇数项的系数和为g(1)g(1)，(abx)n的展开式中偶数项的系数和为g(1)g(1).4.(2022江西南昌模拟)在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为321，则x2的系数为_答案90解析令x1，则4n，所以的展开式中，各项系数和
9、为4n，又二项式系数和为2n，所以2n32，解得n5.二项展开式的通项Tr1Cx5r3rCx，令5r2，得r2，所以x2的系数为32C90.5已知(x)100a0a1xa2x2a100x100，则(a0a1a2a100)(a0a2a100)(a1a3a5a99)_答案1解析令x1，则有a0a1a2a100(1)100，令x1，则有a0a1a2a3a99a100(1)100，故(a0a1a2a100)(a0a2a100)(a1a3a99)(1)100(1)100(1)(1)1001.角度二项式系数的最值问题例3(1)设m为正整数，(xy)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(xy)2m1展开式的
10、二项式系数的最大值为b.若13a7b，则m()A5 B6 C7 D8答案B解析由题意，得aC，bC，则13C7C，13，解得m6，经检验m6为原方程的解故选B.(2)(2021陕西咸阳质检)二项式的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中x的指数为整数的项的个数为()A3 B5 C6 D7答案D解析根据的展开式中只有第11项的二项式系数最大，得n20，的展开式的通项为Tr1C(x)20r()20rCx，要使x的指数是整数，需r是3的倍数，r0，3，6，9，12，15，18，x的指数为整数的项共有7个故选D. 求二项式系数最大项(1)如果n是偶数，那么中间一项的二项式系数最大(2)如果n
11、是奇数，那么中间两项的二项式系数相等并最大6.(2021安徽安庆期末)在二项式的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则展开式中含有x2项的系数是()A35 B35 C56 D56答案C解析因为恰好第5项的二项式系数最大，所以n8.所以二项式展开式的通项为Tk1Cx8k(x1)k(1)kCx82k，令82k2，得k3，故展开式中含有x2项的系数是(1)3C56.7若在的二项展开式中，第3项和第4项的二项式系数相等且最大，则的展开式中的常数项为_答案120解析由的二项展开式中二项式系数的最大项是第3项和第4项，则展开式共6项，即n615，又展开式的通项为Tk1C(2x)5k25kCx52k，则的展
12、开式中的常数项为22C223C120.角度项的系数的最值问题例4(1)(2021河南周口模拟)若的展开式中第6项系数最大，则不含x的项为()A210 B10 C462 D252答案A解析第6项系数最大，且项的系数为二项式系数，n的值可能是9，10，11.又展开式的通项为Tr1Cx3(nr)x2rCx3n5r，令3n5r0，其中n9，10，11，rN，n10，r6，故不含x的项为T7C210.(2)(12x)7的展开式中系数最大的项是_答案672x5解析设第r1项系数最大，则有即化简得解得又rN，r5.系数最大的项为T6C25x5672x5.求展开式系数最大项如求(abx)n(a，bR)的展开式
13、系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，An1，且第k项系数最大，应用解出k.8.已知(x3x2)n的展开式中，各项系数和与它的二项式系数和的比为32.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项解令x1，则展开式中各项系数和为(13)n22n.又展开式中二项式系数和为2n，2n32，n5.(1)n5，展开式共6项，二项式系数最大的项为第3，4两项，T3C(x)3(3x2)290x6，T4C(x)2(3x2)3270x(2)设展开式中第k1项的系数最大，则由Tk1C(x)5k(3x2)k3kCx，得k，k4，第5项系数最大，即展开式中系数最大的
14、项为T5C(x)(3x2)4405x考向三二项式定理的应用例5(1)设aZ，且0a13，若512021a能被13整除，则a()A0 B1 C11 D12答案B解析由于51521，(521)2021C522021C522020C5211，又13能整除52，所以只需13能整除1a，0a13，aZ，所以a1.(2)0.9910的第一位小数为n1，第二位小数为n2，第三位小数为n3，则n1，n2，n3分别为()A9，0，4 B9，4，0 C9，2，0 D9，0，2答案A解析0.9910(10.01)10C110(0.01)0C19(0.01)1C18(0.01)210.10.00450.9045.故选
15、A.二项式定理应用的题型及解法(1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式.(2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不很大，|x|比较小时，(1x)n1nx.9.190C902C903C(1)k90kC9010C除以88的余数是()A1 B1 C87 D87答案B解析190C902C903C(1)k90kC9010C(190)108910(881)108810C889C881.前10项均能被88整除，余数是1.10求1.9975精确到0.001的近似值解1.9975(20.003)525C240.003C230.0032C220.00
16、33C210.0034C200.0035320.240.0007231.761.自主培优(二十) 二项式定理破解三项式问题1(2022柳州摸底)(x2xy)5的展开式中，x5y2的系数为()A10 B20 C30 D60答案C解析由二项展开式的通项易知Tr1C(x2x)5ryr，令r2，则T3C(x2x)3y2，由二项式(x2x)3，可知其展开式的通项为Tt1C(x2)3txtCx6t，令t1，所以x5y2的系数为CC30.故选C.2(2021西安八校联考)若的展开式的常数项为20，则n_答案3解析当x0时，其通项为Tr1C()2nr(1)rC()2n2r.令2n2r0，得nr，展开式的常数项
17、为(1)nC；当x0时，(1)n.同理可得，展开式的常数项为(1)nC.无论哪一种情况，常数项均为(1)nC.令(1)nC20.以n1，2，3，逐个代入，得n3.二项式定理研究两项和的展开式，对于三项式问题，一般是通过合并、拆分或进行因式分解，转化成二项式定理的形式去求解1(x2x1)10的展开式中x3的系数为()A210 B210 C30 D30答案A解析(x2x1)10x2(x1)10C(x2)10C(x2)9(x1)Cx2(x1)9C(x1)10，所以展开式中x3的系数为CCC(C)210.故选A.2.的展开式中，x3y3的系数是_(用数字作答)答案120解析表示6个因式x2y的乘积，在
18、这6个因式中，有3个因式选y，其余的3个因式中有2个选x2，剩下一个选，即可得到x3y3的系数即x3y3的系数是CC(2)203(2)120. 1.的展开式中()A不含x9项 B含x4项C含x2项 D不含x项答案D解析的展开式的通项为Tr1(1)rCx122rxr(1)rCx123r，故x的次数为12，9，6，3，0，3，6.故选D.2.的展开式中，有理项共有()A1项 B2项 C3项 D4项答案D解析的展开式的通项为Tr1C(1)r36rx，令6r为整数，求得r0，2，4，6，共计4项3(2021山西八校联考)已知(1x)n的展开式中第5项和第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为(
19、)A29 B210 C211 D212答案A解析由题意知CC，由组合数性质得n10，则奇数项的二项式系数和为2n129.4(2021湖南株洲第一次教学质量检测)若(1)5ab(a，b为有理数)，则a()A25 B25 C40 D41答案D解析二项式(1)5的展开式的通项为Tr1C(1)r()r，则aC(1)0()0C(1)2()2C(1)4()441，故选D.5在(x1)(2x1)(nx1)(nN*)的展开式中一次项系数为()AC BC CC DC答案B解析123nC.6二项式的展开式中的常数项为()A B C D答案C解析展开式的通项为Tr1C(x2)10rCx(r0，1，10)，令20r0
20、，得r8.T9C.常数项为.7(2022江西萍乡湘东中学高三上开学考试)(x3)2的展开式中x3的系数是()A90 B90 C15 D15答案B解析(x3)2x26x9，而的展开式的通项为Tr1Cx6r(1)rCx62r，因而x3的系数为(6)(1)2C90.故选B.8(2021山西大同高三调研)若的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是()A210 B180 C160 D175答案B解析因为的展开式中只有第6项的二项式系数最大，所以n10，的展开式的通项为Tk1C()10kk(2)kCx(2)kCx，令5k0，解得k2，所以常数项为(2)2C180.9若(1xx2)6a0a
21、1xa2x2a12x12，则a2a4a12()A284 B356 C364 D378答案C解析令x0，则a01；令x1，则a0a1a2a1236.令x1，则a0a1a2a121.两式左右分别相加，得2(a0a2a12)361730，所以a0a2a12365，又a01，所以a2a4a12364.10(2021江淮十校考前最后一卷)已知(x1)(2xa)5的展开式中各项系数和为2，则其展开式中含x3项的系数是()A40 B20 C20 D40答案D解析令x1，可得(x1)(2xa)5的展开式中各项系数和为2(2a)52.所以a1.二项式(2x1)5的展开式的通项为Tk1C(2x)5k(1)k25k
22、(1)kCx5k，所以(x1)(2x1)5的展开式中含x3项的系数为22(1)3C23(1)2C40.11已知C2C22C23C2nC729，则CCCC()A63 B64 C31 D32答案A解析逆用二项式定理得C2C22C23C2nC(12)n729，即3n36，所以n6，所以CCCC2nC26163.故选A.12.的展开式中不含x的项的系数之和为()A43CC47 B43CC47C47 D47答案A解析的展开式的通项为Tr1C(4y)r，的展开式的通项为Mk1Cx，0k7r，0r7，k，r均为整数，令7r，解得k0，r7或k3，r3，则不含x的项的系数之和为(4)7CC(4)343CC47
23、.故选A.13(2022河南焦作开学考试)(x)6的展开式中，含x5项的系数为_答案15解析展开式的通项为Tk1C(1)kx，令65，得k2，故含x5项的系数为C(1)215. 14(2022江苏扬州高邮市第一中学高三上调研)(x2y)(xy)8的展开式中x2y7的系数为_(用数字作答)答案48解析由题意，(xy)8展开式的通项为Tk1Cx8kyk，0k8.当k7时，T8Cxy78xy7；当k6时，T7Cx2y628x2y6，故(x2y)(xy)8的展开式中x2y7项为x8xy7(2y)28x2y648x2y7，系数为48.15(2021上海浦东新区模拟)已知二项式的展开式中，前三项的二项式系
24、数之和为37，则n_，展开式中的第5项为_答案8x解析二项式的展开式中，前三项的二项式系数之和为CCC1n37，则n8，故展开式中的第5项为Cxx.16SCCC除以9的余数为_答案7解析依题意SCCC2271891(91)91C99C98C9C19(C98C97C)2.C98C97C是正整数，S被9除的余数为7.17已知()n的二项展开式中所有奇数项的二项式系数之和为512.(1)求展开式中的所有有理项；(2)求(1x)3(1x)4(1x)n的展开式中x2的系数解(1)()n的二项展开式中所有奇数项的二项式系数之和为512，2n151229，n19，解得n10.展开式的通项为Tr1C()10r()r(1)rCx(1)rCx(r0，1，10). 由5Z，得r0，6.展开式中的所有有理项为T1Cx5x5，T7Cx4210x4.(2)展开式中x2的系数为CCC(CC)(CC)(CC)CC164.18已知的展开式中前三项的系数成等差数列.(1)求n的值；(2)求展开式中系数最大的项解(1)展开式的通项为Tr1CxnrCx.由题设，得CC2C，即n29n80，解得n8或n1(舍去).(2)设第r1项的系数最大，则即解得2r3.又第1项系数为C1，第9项系数为C，所以系数最大的项为T37x5，T47x
