1、数学思想专项训练(二)转化与化归思想方法概述适用题型转化与化归思想方法在研究、解决数学问题中,当思维受阻时考虑寻求简单方法或从一种情形转化到另一种情形,也就是转化到另一种情境使问题得到解决,这种转化是解决问题的有效策略,同时也是成功的思维方式.常见的转化方法有以下几种类型:(1)直接转化法:把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题;(2)换元法:运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等,把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题;(3)数形结合法:研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系,通过互相变换获得转化途径;(4)等价转化法:把原问题转化为一个易于
2、解决的等价命题,达到化归的目的;(5)特殊化方法:把原问题的形式向特殊化形式转化,并证明特殊化后的问题,结论适合原问题.一、选择题1已知奇函数f(x)在R上单调递增,且f(x2x)f(2)0,则实数x的取值范围为()A(2,)B(1,)C(2,1) D(1,2)解析:选C依题意,由f(x2x)f(2)0可得f(x2x)f(2),由f(x)在R上单调递增,即x2x2,得2x1.2已知数列an的前n项和Sn4nt(t是实数),下列结正确的是()At为任意实数,an均是等比数列B当且仅当t1时,an是等比数列C当且仅当t0时,an是等比数列D当且仅当t4时,an是等比数列解析:选BSn4nt,S14
3、t,S216t,S364t,a14t,a2S2S112,a3S3S248,若an是等比数列,则aa1a3,12248(4t),t1.3关于x的不等式x216mx在x1,10上恒成立,则实数m的取值范围为()A(1,8) B.(1,8C(,8) D(,8解析:选D由于x1,10,原不等式可化为mx.又x2 8,当x4时,等号成立所以m8,即m的取值范围是(,84如图所示,在棱长为5的正方体ABCDA1B1C1D1中,EF是棱AB上的一条线段,且EF2,点Q是A1D1的中点,点P是棱C1D1上的动点,则四面体PQEF的体积()A是变量且有最大值B是变量且有最小值C是变量有最大值和最小值D是常量解析
4、:选D点Q到棱AB的距离为常数,所以EFQ的面积为定值由C1D1EF,可得棱C1D1平面EFQ,所以点P到平面EFQ的距离是常数于是四面体PQEF的体积为常数5如果实数x,y满足等式(x2)2y23,那么的最大值是()A. B.C. D解析:选D原题即为:在圆(x2)2y23上求一点P,使直线OP的斜率最大如图,显然当直线OP为圆的切线时斜率最大,设此时OP与x轴的夹角为,则有sin ,所以tan .6已知双曲线C:1的右支上存在一点P,使得点P到双曲线右焦点的距离等于它到直线x(其中c2a2b2)的距离,则双曲线C的离心率的取值范围是()A(1, B.,)C(1,1 D1,)解析:选C若离心
5、率e2,设双曲线为x21,P(x,y),则右焦点为(2,0),依题意有2(x2)2y2,联立双曲线方程,消去y,得12x220x30,该方程有实根,所以离心率可以取2,排除A,D.若离心率e3,设双曲线为x21,双曲线上不存在点P使P点到双曲线右焦点(3,0)的距离等于它到直线x的距离,所以离心率不可以取3,排除B,D,选C.二、填空题7设为第四象限的角,若,则tan 2_.解析:借助三角变换转化求cos 2、sin 2,sin 3sin(2)sin 2cos cos 2sin ,2cos2cos 21cos 2cos 2.cos 2.又2k2k(kZ),4k24k(kZ),sin 2.tan
6、 2.答案:8若f(x)是定义在R上的函数,对任意实数x都有f(x3)f(x)3和f(x2)f(x)2,且f(1)1,则f(2 014)_.解析:f(x1)f(x3)2f(x)32f(x)1,f(x1)f(x4)3f(x2)23f(x)43f(x)1,f(x)1f(x1)f(x)1,f(x1)f(x)1,数列f(n)为首项为1,公差为1的等差数列f(2 014)f(1)2 01312 014.答案:2 0149给定kN,设函数f:NN满足:对于任意大于k的正整数n,f(n)nk.已知命题:k3,当n3且nN时,2f(n)3为真命题,则不同的函数f的个数为_解析:由题可知k3,n3时,f(n)n
7、3,(n3)N,而n3时,2f(n)3,即f(n)2,3,即n1,2,3,f(n)2,3,一一列举可知,三对一的有2种,二对一的有6种,不同的函数f的个数为8.答案:810若椭圆C的方程为1,焦点在x轴上,与直线ykx1总有公共点,那么m的取值范围为_解析:由椭圆C的方程及焦点在x轴上,知0m5.又直线与椭圆总有公共点,直线恒过点(0,1),则定点(0,1)必在椭圆内部或边界上则1,即m1.故m的取值范围为1,5)答案:1,5)三、解答题11对于满足|p|2的所有实数p,求使不等式x2px12xp恒成立的x的取值范围解:构造函数f(p)(x1)px22x1,|p|2.当即时,亦即当(*)时,f(p)0(|p|2)恒成立,由(*)式得x3或x1.当x3或x1时,f(p)0(|p|2)恒成立即:x2px12xp恒成立12设P是双曲线y21右支上的一个动点,F是双曲线的右焦点,已知A点的坐标是(3,1),求|PA|PF|的最小值解:若设出P点坐标,把|PA|PF|表示出来,再求最值相当困难画出图形,联想双曲线的定义,则可使问题迎刃而解设F为双曲线的左焦点,则|PF|PF|2,|PF|PF|2,|PA|PF|PA|PF|2,原问题转化成了求|PA|PF|的最小值问题,(如图)(|PA|PF|)min|AF|.(|PA|PF|)min(|PA|PF|)min22.