1、1.3函数的基本性质1.3.1单调性与最大(小)值第1课时函数的单调性学 习 目 标核 心 素 养1理解函数的单调性及其几何意义，能运用函数图象理解和研究函数的单调性(重点、难点)2会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性(难点)3会求一些具体函数的单调区间(重点)1借助单调性的证明，培养逻辑推理素养2利用求单调区间及应用单调性解题，提升直观想象和数学运算素养.1增函数与减函数的定义条件一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时都有f(x1)f(x2)都有f(x1)f(x2)结论那么就说函数f(x)在区间D上是增函数
2、那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图示思考1：增(减)函数定义中的x1，x2有什么特征？提示：定义中的x1，x2有以下3个特征(1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；(2)有大小，通常规定x1x2；(3)属于同一个单调区间2函数的单调性与单调区间,如果函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做yf(x)的单调区间思考2：函数y在定义域上是减函数吗？提示：不是y在(，0)上递减，在(0，)上也递减，但不能说y在(，0)(0，)上递减1函数yf(x)的图象如图所示，其增区间是()A4
3、,4B4，31,4C3,1D3,4C由图可知，函数yf(x)的单调递增区间为3,1，选C.2下列函数中，在区间(0，)上是减函数的是()AyByxCyx2Dy1xD函数y1x在区间(0，)上是减函数，其余函数在(0，)上均为增函数，故选D.3函数f(x)x22x3的单调减区间是_(，1因为f(x)x22x3是图象开口向上的二次函数，其对称轴为x1，所以函数f(x)的单调减区间是(，1求函数的单调区间【例1】求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数(1)f(x)；(2)f(x)(3)f(x)x22|x|3.解(1)函数f(x)的单调区间为(，0)，(0，)，其在(，0)
4、，(0，)上都是增函数(2)当x1时，f(x)是增函数，当x1时，f(x)是减函数，所以f(x)的单调区间为(，1)，1，)，并且函数f(x)在(，1)上是减函数，在1，)上是增函数(3)因为f(x)x22|x|3根据解析式可作出函数的图象如图所示，由图象可知，函数f(x)的单调区间为(，1，(1,0)，0,1)，1，)f(x)在(，1，0,1)上是增函数，在(1,0)，1，)上是减函数求函数单调区间的方法(1)利用基本初等函数的单调性，如本例(1)和(2)，其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解；(2)利用函数的图象，如本例(3)提醒：若所求出函数的单调增区间或单调减区间
5、不唯一，函数的单调区间之间要用“，”隔开，如本例(3)1.(1)根据如图说出函数在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数；(2)写出y|x22x3|的单调区间解(1)函数在1,0，2,4上是减函数，在0,2，4,5上是增函数(2)先画出f(x)的图象，如图所以y|x22x3|的单调减区间为(，1，1,3；单调增区间为1,1，3，)函数单调性的判定与证明【例2】(教材改编题)证明函数f(x)x在(0,1)上是减函数思路点拨：证明：设x1，x2是区间(0,1)上的任意两个实数，且x1x2，则f(x1)f(x2)(x1x2)(x1x2)(x1x2)0x1x21，x1x20,0x1x21，则1x1x2
6、0，即f(x1)f(x2)，f(x)x在(0,1)上是减函数利用定义证明函数单调性的步骤(1)取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1x21，则f(x1)f(x2)，因为x1x21，所以x2x10，x210，所以f(x1)f(b)，则a，b满足什么关系如果函数f(x)是减函数呢？提示：若函数f(x)是其定义域上的增函数，那么当f(a)f(b)时，ab；若函数f(x)是其定义域上的减函数，那么当f(a)f(b)时，af(5x6)，求实数x的取值范围思路点拨(1)(2) 解(1)f(x)x22(a1)x3的开口向下，要使f(x)在(，3上是增函数，只需(a1)3，即a4.实数a的取值范围为
7、(，4(2)f(x)在(，)上是增函数，且f(2x3)f(5x6)，2x35x6，即x.x的取值范围为.函数单调性的应用(1)函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围.(2)若一个函数在区间a，b上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的.1核心要点：(1)函数单调性的定义中应强调x1，x2在区间内的任意性，其本质是把区间上无限多个函数值的大小比较转化为两个任意值的大小比较(2)利用函数的单调性定义证明函数的单调性时，一定要严格遵循设元、作差、变形、定量、结论的步骤2数学方法：在证明函数的单调性时，比
8、较f(x1)与f(x2)大小用到了作差法比较两式的大小，即判断f(x1)f(x2)的正负号3数学思想：已知函数单调性求参数的范围时，要树立两种意识：一是等价转化意识，如f(x)在D上递增，则f(x1)f(x2)x1x2；二是数形结合意识，如处理一(二)次函数及反比例函数中的含参数的范围问题1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)所有的函数在其定义域上都具有单调性()(2)若函数yf(x)在区间1,3上是减函数，则函数yf(x)的单调递减区间是1,3()(3)函数f(x)为R上的减函数，则f(3)f(3)()(4)若函数yf(x)在定义域上有f(1)x21，则y1y2.x1x21，x1x20，x110，x210，0，即y1y20，y1y2，y在(1，)上是增函数
