1、第3讲平面向量的数量积及应用1向量的夹角定义图示范围共线与垂直已知两个非零向量a和b，作a，b，则AOB就是a与b的夹角设是a与b的夹角，则的取值范围是01800或180ab，90ab2平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为，则数量|a|b|cos叫做a与b的数量积，记作ab投影|a|cos叫做向量a在b方向上的投影，|b|cos叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos的乘积3向量数量积的运算律交换律abba分配律(ab)cacbc数乘结合律(a)b(ab)a(b)4平面向量数量积的有关结论已知非零向量a(x1，y1)，b(x2
2、，y2)，a与b的夹角为.结论几何表示坐标表示模|a|a|夹角coscosab的充要条件ab0x1x2y1y20|ab|与|a|b|的关系|ab|a|b|x1x2y1y2|1数量积运算律要准确理解、应用，例如，abac(a0)不能得出bc，两边不能约去一个向量2数量积不满足结合律，即(ab)ca(bc)一般不成立3当a与b同向时，ab|a|b|；当a与b反向时，ab|a|b|，特别地，aaa2或|a| .4有关向量夹角的两个结论(1)两个向量a与b的夹角为锐角，则有ab0，反之不成立(因为a与b的夹角为0时也有ab0)(2)两个向量a与b的夹角为钝角，则有ab0，反之不成立(因为a与b的夹角为
3、时也有ab0时，原式1，当且仅当x1时等号成立，故最大值为1.故选D.4若|ab|ab|2|a|，则向量ab与a的夹角为()A. B. C. D.答案B解析因为|ab|ab|2|a|，所以|ab|2|ab|2，两边平方可得a22abb2a22abb2，化简可得ab0，设向量ab与a的夹角为，则可得cos，又0，故.5(2021全国甲卷)已知向量a(3,1)，b(1,0)，cakb.若ac，则 .答案解析cakb(3,1)k(1,0)(k3,1)，由ac，得ac0，所以3(k3)10，解得k.6(2020北京高考)已知正方形ABCD的边长为2，点P满足()，则| ； .答案1解析以点A为坐标原点
4、，AB，AD所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则点A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，D(0,2)，()(2,0)(2,2)(2,1)，则点P(2,1)，(2,1)，(0，1)，|，0(2)(1)11.考向一平面向量数量积的运算例1(1)(2021北京高考)a(2,1)，b(2，1)，c(0,1)，则(ab)c ；ab .答案03解析a(2,1)，b(2，1)，c(0,1)，ab(4,0)，ab221(1)3，(ab)c40010.(2)在四边形ABCD中，ADBC，AB2，AD5，A30，点E在线段CB的延长线上，且AEBE，则 .答案1解析ADBC，且DAB30，
5、ABE30.又AEBE，EAB30.E120.在AEB中，AEBE2.()()21222cos3052cos3052cos18012615101.求向量a，b的数量积ab的常见方法(1)若两向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，则需要通过平移使它们的起点重合，再计算(2)根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出向量a，b，然后根据平面向量的数量积的定义进行计算求解(3)若图形适合建立平面直角坐标系，则建立坐标系，求出a，b的坐标，通过坐标运算求解注意：若已知条件中含有两个或两个以上向量的线性运算，则需先利用向量数量积的运算律及多
6、项式乘法的相关公式进行化简1.(2021新高考卷)已知向量abc0，|a|1，|b|c|2，abbcca .答案解析由已知可得(abc)2a2b2c22(abbcca)92(abbcca)0，因此，abbcca.2已知在直角三角形ABC中，ACB90，ACBC2，点P是斜边AB上的中点，则 .答案4解析由题意可建立如图所示的平面直角坐标系，可得A(2,0)，B(0，2)，P(1，1)，C(0，0)，则(1,1)(0,2)(1，1)(2,0)224.精准设计考向，多角度探究突破考向二平面向量数量积的性质角度平面向量的垂直例2(1)已知向量a(1,2)，b(2，3)若向量c满足(ca)b，c(ab
7、)，则c()A. B.C. D.答案D解析不妨设c(m，n)，则ca(m1，n2)，ab(3，1)，由(ca)b，得3(m1)2(n2)，由c(ab)，得3mn0，联立，解得故选D.(2)(2022陕西渭南模拟)已知向量与的夹角为120，且|3，|2.若，且，则实数的值为 答案解析因为，所以0.又，所以()()0，即(1)220，所以(1)|cos120940.所以(1)23940.解得.角度平面向量的模例3(1)在矩形ABCD中，|4，|2，则|()A. B3 C4 D2答案C解析由向量加法的平行四边形法则可知，则原式2|24.故选C.(2)(2021全国甲卷)若向量a，b满足|a|3，|a
8、b|5，ab1，则|b| .答案3解析由|ab|5得(ab)225，即a22abb225，结合|a|3，ab1，得3221|b|225，所以|b|3.角度平面向量的夹角例4(1)(2020全国卷)已知向量a，b满足|a|5，|b|6，ab6，则cosa，ab()A B C. D.答案D解析|a|5，|b|6，ab6，a(ab)|a|2ab52619，|ab|7，cosa，ab.故选D.(2)若非零向量a，b满足|a|b|，且(ab)(3a2b)，则a与b的夹角为()A. B. C. D答案A解析由条件，得(ab)(3a2b)3a22b2ab0，即ab3a22b2.又因为|a|b|，所以ab32
9、2b2b2，所以cosa，b，所以a，b.故选A.平面向量数量积求解问题的策略(1)求两向量的夹角：cos，要注意0，(2)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是abab0|ab|ab|.(3)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：a2aa|a|2或|a|；|ab|；若a(x，y)，则|a|.3.在ABC中，已知，满足(2)，(2)，则ABC的形状为()A等腰三角形 B直角三角形C等边三角形 D等腰直角三角形答案C解析(2)(2)0，即20，(2)(2)0，即20，2，即|，则cosA，又0A180，A60，ABC为等边三角形故选C.4(2022宁夏银川质检)若向量a，b的夹角
10、为，且|a|2，|b|1，则向量a2b与向量a的夹角为()A. B. C. D.答案A解析|a|2，|b|1，a与b的夹角为，ab1，(a2b)a|a|22ab6，又|a2b|2，记a2b与a的夹角为，则cos，又0，.故选A.5设向量a，b满足|a|2，|b|3，|ab|3，则|a2b| .答案4解析由|ab|3知|a|2|b|22ab9，又|a|2，|b|3，2ab4，|a2b|4.考向三向量运算的最值或范围问题例5(1)(2020新高考卷)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则的取值范围是()A(2,6) B(6,2)C(2,4) D(4,6)答案A解析解法一：的模为2，根据
11、正六边形的特征，可以得到在方向上的投影的取值范围是(1，3)，结合向量数量积的定义式，可知等于与在上的投影向量的数量积，所以的取值范围是(2,6)故选A.解法二：设P(x，y)，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，B(2,0)，(x，y)，(2,0)，所以2x，由题意可得点C的横坐标为3，点F的横坐标为1，所以1x3，所以20)，则C(m2，n)，因此BC边的中点E.则(m2，n)，.又由BCDA2，得所以m1，n23.则(m2)12.故选D.1如果向量a(2,0)，b(1,1)，那么下列结论正确的是()A|a|b| Bab2C(ab)b Dab答案C解析|a|2，|b|，A错误；a
12、b2，B错误；(ab)b(1，1)(1,1)0，(ab)b，C正确；21010，向量a与b不共线，D错误故选C.2若|a|2，|b|，a与b的夹角150，则a(ab)()A1 B1 C7 D7答案C解析a(ab)a2ab427.故选C.3已知向量，则ABC()A30 B45 C60 D120答案A解析因为cosABC，0ABC180，所以ABC30.故选A.4(2021山西长治月考)已知a，b满足|a|2，|b|3，ab6，则a在b上的投影为()A2 B1 C3 D2答案A解析a在b上的投影为|a|cos2.故选A.5在直角三角形ABC中，C，AB4，AC2，若，则()A18 B6 C18 D
13、6答案C解析由C，AB4，AC2，得CB2，0，()()218.故选C.6(2020全国卷)已知单位向量a，b的夹角为60，则在下列向量中，与b垂直的是()Aa2b B2ab Ca2b D2ab答案D解析由已知可得，ab|a|b|cos6011.对于A，(a2b)bab2b2210，不符合题意；对于B，(2ab)b2abb22120，不符合题意；对于C，(a2b)bab2b2210，不符合题意；对于D，(2ab)b2abb2210，符合题意故选D.7设向量a，b满足|ab|，|ab|，则ab()A1 B2 C3 D5答案A解析由|ab|得a2b22ab10，由|ab|得a2b22ab6，得4a
14、b4，所以ab1.故选A.8(2022江西九江模拟)已知非零向量m，n满足4|m|3|n|，cosm，n.若n(tmn)，则实数t的值为()A4 B4 C. D答案B解析由n(tmn)可得n(tmn)0，即tmnn20，所以t334.故选B.9在边长为4的菱形ABCD中，A60，M为CD的中点，N为平面ABCD内一点，若|，则等于()A16 B14 C12 D8答案B解析因为|，所以|，所以N点在AM的中垂线上设AM的中点为O，因为点M是DC的中点，所以，所以()|222242424214.故选B.10(2021河南郑州模拟)已知平面向量a，b，c满足|a|b|c|1，若ab，则(ab)(2b
15、c)的最小值为()A2 B3C1 D0答案B解析由|a|b|1，ab，可得a，b，令a，b，以的方向为x轴的正方向建立如图所示的平面直角坐标系，则a(1,0)，b，设c(cos，sin)(02)，则(ab)(2bc)2abac2b2bc33sin，则(ab)(2bc)的最小值为3.故选B.11(2022四川成都模拟)已知菱形ABCD的边长为2，B，点P满足，R，若3，则的值为()A. B C. D答案A解析解法一：由题意可得22cos602，()()()()()(1)(1)2(1)2(1)422(1)463，.故选A.解法二：建立如图所示的平面直角坐标系，则B(2,0)，C(1，)，D(1，)
16、令P(x,0)，由(3，)(x1，)3x333x3，得x1.，.故选A.12(2021河南驻马店模拟)已知O的半径为4，A，B是圆上两点，AOB120，MN是一条直径，点C在圆内且满足x(1x)(0x1)，则的取值范围是()A12,0 B12,0)C3,0 D3,0)答案B解析()2()2(422)|22|216.x(1x)(0x1)，点C在线段AB上，且与A，B两点不重合当COAB时，|取得最小值2；当C与A，B重合时，|取得最大值4，又C与A，B两点不重合，2|4，|21612,0)故选B.13(2021全国乙卷)已知向量a(1,3)，b(3,4)，若(ab)b，则 .答案解析解法一：由题
17、设知ab(13，34)，由(ab)b，得(ab)b(13，34)(3,4)3(13)4(34)15250，解得.解法二：因为a(1,3)，b(3,4)，所以ab133415.由(ab)b，得(ab)babb215(3242)15250，解得.14已知平面向量a，b，且|a|1，|b|2，a(a2b)，则|2ab| .答案解析由a(a2b)得a(a2b)a22ab0，所以ab，所以(2ab)24a2b24ab41222410，所以|2ab|.15已知向量a，b，c满足|a|1，|b|k，|c|2k且abc0，则b与c夹角的余弦值的取值范围是 答案解析设b与c的夹角为，由题意得bca，所以b2c22bc1.即cos1.因为|a|bc|b|c|，所以|2k2|1，所以k，所以1cos.16(2021天津高考)在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，DEAB且交AB于点E.DFAB且交AC于点F，则|2|的值为 ；()的最小值为 答案1解析如图，设BEx，x，ABC为边长为1的等边三角形，DEAB，BDE30，BD2x，DEx，DC12x，DFAB，DFC为边长为(12x)的等边三角形，DEDF，(2)242424x24x(12x)cos0(12x)21，|2|1.()()()2(x)2(12x)(1x)cos05x23x152，当x时，()的最小值为.
