1、第7讲函数的图象1利用描点法作函数图象其基本步骤是列表、描点、连线首先：确定函数的定义域；化简函数解析式；讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等).其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线2利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换yf(x)yf(xa)；yf(x)yf(x)b(2)伸缩变换yf(x)；yf(x)yAf(x).(3)对称变换yf(x)yf(x)；yf(x)yf(x)；yf(x)yf(x)(4)翻折变换yf(x)yf(|x|)；yf(x)y|f(x)|.1左右平移仅仅是相对x而言的，即发生变化的只是x本身，利用“左加右减”进行操
2、作如果x的系数不是1，需要把系数提出来，再进行变换2上下平移仅仅是相对y而言的，即发生变化的只是y本身，利用“上减下加”进行操作但平时我们是对yf(x)中的f(x)进行操作，满足“上加下减”3函数图象的对称性(1)函数图象自身的轴对称f(x)f(x)yf(x)的图象关于y轴对称；函数yf(x)的图象关于直线xa对称f(ax)f(ax)f(x)f(2ax)f(x)f(2ax)；若函数yf(x)的定义域为R，且有f(ax)f(bx)，则函数yf(x)的图象关于直线x对称(2)函数图象自身的中心对称f(x)f(x)函数yf(x)的图象关于原点对称；函数yf(x)的图象关于(a，0)对称f(ax)f(
3、ax)f(x)f(2ax)f(x)f(2ax)；函数yf(x)的图象关于点(a，b)成中心对称f(ax)2bf(ax)f(x)2bf(2ax).(3)两个函数图象之间的对称关系函数yf(ax)与yf(bx)的图象关于直线x对称(由axbx得对称轴方程)；函数yf(x)与yf(2ax)的图象关于直线xa对称；函数yf(x)与y2bf(x)的图象关于点(0，b)对称；函数yf(x)与y2bf(2ax)的图象关于点(a，b)对称1(2021山东师大附中模拟)函数ylog2|x|的图象大致是()答案C解析函数ylog2|x|为偶函数，作出x0时ylog2x的图象，图象关于y轴对称，应选C.2函数y1的
4、图象大致是()答案B解析将函数y的图象向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度，即得到y1的图象，故选B.3(2021天津高考)函数y的图象大致为()答案B解析设yf(x)，则函数f(x)的定义域为x|x0，关于原点对称，又f(x)f(x)，所以函数f(x)为偶函数，排除A，C；当x(0，1)时，ln |x|0，所以f(x)0时，yf(|x|)f(x)，其图象在y轴右侧与图的相同，不符合，故错误；对于B，当x0时，对应的函数是yf(x)，显然B错误；对于D，当x0，排除D；f(9)3f(1)，排除C.故选B.6若关于x的方程|x|ax只有一个解，则实数a的取值范围是 答案(0，)解析在同一直
5、角坐标系中，画出函数y|x|和函数yxa的图象，即可知当a0时，两函数图象有且只有一个交点，即|x|ax只有一个解考向一画函数图象例1作出下列函数的图象：(1)yx22|x|1；(2)y；(3)y|log2(x1)|；(4)y2x11.解(1)先化简，再作图，y的图象如图所示.(2)因为y1，先作出y的图象，将其图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，即得y的图象，如图所示(3)利用函数ylog2x的图象进行平移和翻折变换，图象如图实线所示(4)将y2x的图象向左平移1个单位，得到y2x1的图象，再将所得图象向下平移1个单位，得到y2x11的图象，如图所示函数图象的常见画法及注意事项
6、(1)直接法：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，可根据这些函数的特征描出图象的关键点，进而直接作出函数图象(2)转化法：含有绝对值符号的函数，可去掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象(3)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到，则可利用图象变换作图.(4)画函数的图象一定要注意定义域(5)利用图象变换法时要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响1.作出下列各函数的图象：(1)yx|x1|；(2)y|x24x3|；(3)y；(4)y|log2x1|.解(1)根据绝对值的意
7、义，可将函数式化为分段函数y可见其图象是由两条射线组成，如图所示.(2)函数式可化为y图象如图所示.(3)作出y的图象，保留y的图象中x0的部分，加上y的图象中x0部分关于y轴对称的部分，即得y的图象，如图实线部分.(4)先作出ylog2x的图象，再将其图象向下平移一个单位，保留x轴上方的部分，将x轴下方的图象翻折到x轴上方，即得y|log2x1|的图象，如图所示精准设计考向，多角度探究突破考向二识图与辨图角度知式选图例2(2020浙江高考)函数yx cos xsin x在区间，的图象大致为()答案A解析因为f(x)x cos xsin x，则f(x)x cos xsin xf(x)，所以函数
8、f(x)为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，排除C，D；当x时，ycos sin 0，排除B.故选A.角度知图选式例3已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可以是()Af(x)Bf(x)Cf(x)1Df(x)x答案A解析由函数图象可知，函数f(x)为奇函数，应排除B，C.若函数为f(x)x，则x时，f(x)，排除D.故选A.角度知图选图例4已知定义在区间0，2上的函数yf(x)的图象如图所示，则yf(2x)的图象为()答案B解析yf(x)yf(x)yf(2x)yf(2x).故选B.函数图象的识辨(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置(2)从函数的
9、单调性，判断图象的变化趋势(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象2.(2022陕西千阳中学高三模拟(一)函数f(x)2x2e|x|在2，2的图象大致为()答案D解析函数f(x)2x2e|x|在2，2上是偶函数，其图象关于y轴对称，因为f(2)8e2，08e20，所以0a1.故函数yloga(xb)是定义域内的减函数，且过定点(1b，0)，故选A.精准设计考向，多角度探究突破考向三函数图象的应用角度研究函数的性质例5已知函数f(x)x|x|2x，则下列结论正确的是()Af(x)是偶函数，递增区间是(0，)Bf(x)是
10、偶函数，递减区间是(，1)Cf(x)是奇函数，递减区间是(1，1)Df(x)是奇函数，递增区间是(，0)答案C解析将函数f(x)x|x|2x去掉绝对值得f(x)画出函数f(x)的图象，如图，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且递减区间是(1，1).利用函数的图象研究函数的性质对于已知解析式易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究：(1)从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；(2)从图象的对称性，分析函数的奇偶性；(3)从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性5.(2021陕西宝鸡模拟)已知函数f(x)若f(x)在区间m，4上的值域为1，
11、2，则实数m的取值范围为 答案8，1解析作出函数f(x)的图象，当x1时，函数f(x)log2单调递减，且最小值为f(1)1.令log22，得x8，当x1时，函数f(x)x2x在(1，2)上单调递增，在2，)上单调递减，则最大值为f(2)2，且f(4).综上可知，所求实数m的取值范围为8，1.角度利用图象解决方程根的问题例6(2022云南玉溪模拟)已知函数f(x)若关于x的方程f(x)k有两个不等的实数根，则实数k的取值范围是 答案(0，1解析作出函数yf(x)与yk的图象，如图所示，由图可知k(0，1.利用函数的图象解决方程根的问题的思路当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根
12、，方程f(x)0的根就是函数f(x)图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标6.已知函数f(x)|x2|1，g(x)kx.若方程f(x)g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是 答案解析先作出函数f(x)|x2|1的图象，如图所示，当直线g(x)kx与直线AB平行时斜率为1，当直线g(x)kx过点A时，斜率为，故f(x)g(x)有两个不相等的实根时，实数k的取值范围为.角度利用函数图象解决不等式问题例7设函数f(x)的定义域为R，满足f(x1)2f(x)，且当x(0，1时，f(x)x(x1).若对任意x(，m，都有f(x)，则m的取值范
13、围是()A BC D答案B解析当x(0，1时，f(x)x(x1)，当x(0，1时，f(x).f(x1)2f(x)，当x(1，0时，x1(0，1，f(x)f(x1)(x1)x，f(x)；当x(2，1时，x1(1，0，f(x)f(x1)f(x2)(x2)(x1)，f(x)；当x(1，2时，x1(0，1，f(x)2f(x1)2(x1)(x2)，f(x)；当x(2，3时，x1(1，2，f(x)2f(x1)4f(x2)4(x2)(x3)，f(x)1，0；.f(x)的图象如图所示若对任意x(，m，都有f(x)，则有2m3.设f(m)，则4(m2)(m3)，m或m.结合图象可知，当m时，符合题意故选B.利用
14、函数图象解决不等式问题的思路当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合思想求解7.如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)log2(x1)的解集是()A.x|1x0Bx|1x1Cx|1x1Dx|1x2答案C解析令g(x)ylog2(x1)，作出函数g(x)的图象如图.由得结合图象知不等式f(x)log2(x1)的解集为x|10，且a1)的图象可能是()答案D解析当0a1时，函数y的图象过定点(0，1)，在R上单调递减，函数yloga的图象过定点，在上单调递增显然A，B，C三个选项都不符合故选D.利用性
15、质识别函数图象是辨图的主要方法，采用的性质主要是定义域、值域，函数整体的奇偶性，函数局部的单调性等当然，对于一些更为复杂的函数图象的判断，还可能同特殊点法结合起来使用函数f(x)ln 的图象是()答案B解析因为f(x)ln ，所以x0，解得1x1，所以函数的定义域为(1，0)(1，)，可排除A，D.令ux，因为函数ux在(1，0)和(1，)上单调递增，函数yln u在(0，)上单调递增，根据复合函数的单调性可知，函数f(x)在(1，0)和(1，)上单调递增，故选B.图象变换法3.(2021安徽安庆一中模拟)已知函数yf(1x)的图象如图，则y|f(x2)|的图象是()答案A解析把函数yf(1x
16、)的图象向左平移1个单位，得yf(x)的图象；作出f(x)关于y轴对称的函数图象得yf(x)的图象；将f(x)向左平移2个单位得yf(x2)的图象；将yf(x2)的图象在x轴下方的部分关于x轴对称翻折到x轴上方得到|f(x2)|的图象有关函数yf(x)与函数yaf(bxc)h的图象问题的判断，熟练掌握图象的平移变换(左加右减，上加下减)、对称变换、伸缩变换等，便可破解此类问题已知函数f(x)则函数yf(1x)的大致图象是()答案D解析解法一：先画出函数f(x)的草图，令函数f(x)的图象关于y轴对称，得函数f(x)的图象，再把所得的函数f(x)的图象，向右平移1个单位，得到函数yf(1x)的图
17、象，故选D.解法二：由已知函数f(x)的解析式，得yf(1x)故该函数过点(0，3)，排除A；过点(1，1)，排除B；在(，0)上单调递增，排除C.故选D.1函数yx22|x|的图象是()答案B解析由yx22|x|知其是偶函数，故图象关于y轴对称，排除C；当x0时，yx22x(x1)21.当x0时，y0，当x1时，y1，排除A，D.故选B.2设ab时，y0，由此可以排除A，B；又当xb时，y0，从而可以排除D.故选C.3(2022陕西汉中学习质量评估)函数yln |x|的图象大致为()答案D解析令f(x)yln |x|，则f(x)f(x)，故函数f(x)为偶函数，排除B；当x0且x0时，y，排
18、除A；当x2时，y1ln 2f(4)，而C在x0时是递增的，故排除C.故选D.6(2021甘肃天水模拟)函数f(x)的图象大致为()答案A解析因为x0，所以排除C，D；因为x0时，f(x)xex，所以f(x)exxexex(x1)0，所以f(x)在(0，)上单调递增，排除B.故选A.7若函数f(x)的图象如图所示，则f(3)等于()A B C1 D2答案C解析由图象可得a(1)b3，ln (1a)0，解得a2，b5，所以f(x)故f(3)2(3)51，故选C.8(2021浙江高考)已知函数f(x)x2，g(x)sin x，则图象如图的函数可能是()Ayf(x)g(x)Byf(x)g(x)Cyf
19、(x)g(x)Dy答案D解析易知函数f(x)x2是偶函数，g(x)sin x是奇函数，给出的图象对应的函数是奇函数选项A，yf(x)g(x)x2sin x为非奇非偶函数，不符合题意，排除A；选项B，yf(x)g(x)x2sin x也为非奇非偶函数，不符合题意，排除B；选项C，因为当x(0，)时，f(x)单调递增，且f(x)0，当x时，g(x)单调递增，且g(x)0，所以yf(x)g(x)在上单调递增，由图象可知所求函数在上不单调，排除C.故选D.9已知函数f(x)g(x)f(x)，则函数g(x)的图象大致是()答案D解析先画出函数f(x)的图象，如图(1)所示，再根据函数f(x)与f(x)的图
20、象关于坐标原点对称，即可画出函数f(x)的图象，即g(x)的图象，如图(2)所示故选D.10(2021贵阳市监测考试)已知函数f(x)，则下列结论正确的是()A函数f(x)的图象关于点(1，2)中心对称B函数f(x)在(，1)上是增函数C函数f(x)的图象上至少存在两点A，B，使得直线ABx轴D函数f(x)的图象关于直线x1对称答案A解析因为y2，所以该函数图象可以由y的图象向右平移1个单位长度，向上平移2个单位长度得到，所以函数f(x)的图象关于点(1，2)中心对称，A正确，D错误；易知函数f(x)在(，1)上单调递减，故B错误；易知函数f(x)的图象是由y的图象平移得到的，所以不存在两点A
21、，B使得直线ABx轴，C错误故选A.11.函数f(x)的图象如图所示，则下列结论成立的是()Aa0，b0，c0 Ba0，c0Ca0，c0 Da0，b0，c0，则c0，所以b0；当f(x)0时，axb0，所以x0，所以a0.故a0，c0时，y0，函数单调递增，所以函数yx2x对应的是第二个函数图象；又当x0时，函数yx|cos x|0，对应的是第四个函数图象，从而排除B.故选A.13不等式log2(x)x1的解集为 答案(1，0)解析设f(x)log2(x)，g(x)x1.函数f(x)，g(x)在同一坐标系中的图象如图由图象可知不等式log2(x)x1的解集为x|1x014若函数f(x)的图象向
22、右平移1个单位长度，所得图象与曲线yex关于y轴对称，则f(x)的解析式为 答案f(x)ex1解析与yex的图象关于y轴对称的图象对应的函数为yex.依题意，f(x)的图象向右平移1个单位长度，得yex的图象，f(x)的图象是由yex的图象向左平移1个单位长度得到的，f(x)e(x1)ex1.15.已知函数f(x)的部分图象如图所示，若不等式2f(xt)cba0，则abcd的取值范围是 答案(16，24)解析画出函数yf(x)的图象，如图所示，由图象可得0a1，1b2，则f(a)4|log2a|4log2a，f(b)4|log2b|4log2b，因为f(a)f(b)，所以log2alog2b，
23、所以ab1，令x25x120，即x210x240，解得x4或x6，而二次函数yx25x12的图象的对称轴为直线x5，由图象知，2c4，点(c，f(c)和点(d，f(d)均在二次函数yx25x12的图象上，故有5，所以d10c，所以abcd1cdcdc(10c)c210c(c5)225，因为2c4，所以16(c5)22524，即16abcd0且yeln xx，所以其图象如图所示(2)当x2，即x20时，y(x2)(x1)x2x2；当x2，即x20).(1)作出函数f(x)的图象；(2)当0ab，且f(a)f(b)时，求的值；(3)若方程f(x)m有两个不相等的正根，求m的取值范围解(1)函数f(x)的图象如图所示(2)f(x)故f(x)在(0，1上是减函数，在(1，)上是增函数，由0ab且f(a)f(b)得0a1b，且11，2.(3)由函数f(x)的图象可知，当0m0在R上恒成立，求实数m的取值范围解(1)令F(x)|f(x)2|2x2|，G(x)m，画出F(x)的图象如图所示由图象可知，当m0或m2时，函数F(x)与G(x)的图象只有一个交点，原方程有一个解；当0m0)，H(t)t2t，因为H(t)在区间(0，)上是增函数，所以H(t)H(0)0.因此要使t2tm在区间(0，)上恒成立，应有m0，即实数m的取值范围为(，0.
