1、课 题：小结与复习(三)教学目的：1在有关问题的解决过程中，进一步了解和掌握相关公理、定理的内容和功能，并探索立体几何中论证问题的规律；在有关问题的分析与解决的过程中提高逻辑思维能力、空间想象能力及化归和转化的数学思想的应用2在解决有关空间角的问题的过程中，进一步巩固关于直线和平面的平行垂直的性质与判定的应用，掌握作平行线(面)和垂直线(面)的技能；通过有关空间角的问题的解决，进一步提高学生的空间想象能力、逻辑推理能力及运算能力3通过教学使学生掌握基本的立体几何解题方法和常用解题技巧，发掘不同问题之间的内在联系，提高解题能力4在学生解答问题的过程中，注意培养他们的语言表述能力和“说话要有根据”
2、的逻辑思维的习惯、提高思维品质使学生掌握化归思想，特别是将立体几何问题转化为平面几何问题的思想意识和方法，并提高空间想象能力、推理能力和计算能力5使学生更好地理解多面体与旋转体的体积及其计算方法，能够熟练地使用分割与补形求体积，提高空间想象能力、推理能力和计算能力授课类型：练习课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 重要公式与方法：1三种空间角的向量法计算公式：异面直线所成的角：；直线与平面(法向量)所成的角：；锐二面角：，其中为两个面的法向量。2.用向量法求距离的公式：异面直线之间的距离：，其中。直线与平面之间的距离：，其中。是平面的法向量。两平行平面之间的距离：，其中。是平面的法
3、向量。点A到平面的距离：，其中，是平面的法向量。点A到直线的距离： ，其中，是直线的方向向量。两平行直线之间的距离：，其中，是的方向向量。教学过程：一、讲解范例：例如图，已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC平面ABCD，且GC2，求点B到平面EFG的距离分析：由题设可知CG、CB、CD两两互相垂直，可以由此建立空间直角坐标系用向量法求解，就是求出过B且垂直于平面EFG的向量，它的长即为点B到平面EFG的距离解：如图，设4，4，2，以、为坐标向量建立空间直角坐标系Cxyz由题设C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)，D(4,0,0)，E(2,4,0)，F
4、(4,2,0)，G(0,0,2) ， ，设平面EFG，M为垂足，则M、G、E、F四点共面，由共面向量定理知，存在实数a、b、c，使得，(2a+4b,2b4c,2c) 由平面EFG，得，于是，整理得：，解得(2a+4b,2b4c,2c)故点B到平面EFG的距离为另法：， ，设EFG的方程为：则取D6，则A=B=1,C=3所以EFG的方程为：，所以点到平面EFG的距离为：.说明：用向量法求点到平面的距离，常常不必作出垂线段，只需利用垂足在平面内、共面向量定理、两个向量垂直的充要条件解出垂线段对应的向量就可以了例2 已知正方体ABCD的棱长为1，求直线与AC的距离分析：设异面直线、AC的公垂线是直线
5、l，则线段在直线l上的射影就是两异面直线的公垂线段，所以此题可以利用向量的数量积的几何意义求解解：如图，设，以、为坐标向量建立空间直角坐标系xyz，则有，设是直线方向上的单位向量，则，解得或取，则向量在直线上的投影为由两个向量的数量积的几何意义知，直线与AC的距离为例3 如图，已知线段AB在平面内，线段，线段BDAB，线段，如果ABa，ACBDb，求C、D间的距离解：由，可知由可知，2() 小结：选定空间同起点且不公面的三个向量作为一个基底，并用它表示指定的向量，是用向量知识解决立体几何问题的基本要领解题中要结合已知和未知去观察图形、联想有关的运算法则和公式等，就近表示所需的向量，再对照目标将
6、不符合要求的向量加以调整，如此反复，直至所有向量符合目标要求例4如果一条直线与一个平面平行那麽过这个平面内的一点与这条直线平行的直线必在这个平面内Ab1a已知：a，Aa，Ab且ab求证：ba证明：假设ba过A点和a确定平面为b，ba=b1，b1a，Ab1a ab1由ab而b，b1都过点A这样，在平面a内过A有两条直线b和b1都平行于a这是不可能的 ba 例5正方形ABCD和正方形ABEF所在平面互相垂直，点M，N分别在对角线AC和BF上，且AM=FN求证：MN平面BEC分析：证线面平行线线平行，需找出面BEC中与MN平行的直线证法（一）：作NKAB交BE于K，作MHAB交BC于H MHNK A
7、BCD与ABEF是两个有公共边AB的正方形ACMHKBEFNP 它们是全等正方形 AM=FN CM=BN 又HCM=KBN，HMC=KNB HCMKBN MH=NK MHKN是平行四边形 MNHK HK平面BEC MN平面BEC MN平面BEC证法（二）：分析：利用面面平行线面平行 过N作NPBE，连MP，NPAF FN/FB=AP/AB AM=FN，AC=BF FN/FB=AM/AC AP/AB=AM/AC MPBC 平面MNP平面BCE MN平面BCE例6在三棱锥P-ABC中，三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，H是ABC的垂心ABECPHH求证：PH底面ABC ABC是锐角三角形证明：PA
8、PB PAPC且PBPC=PPA侧面PBC 又BC平面PBD PABCH是ABC的垂心 AHBCPAAH=A BC截面PAH又PH平面PAH BCPH同理可证：ABPH 又ABBC=B PH面ABC设AH与直线BC的交点为E，连接PE 由知PH底面ABC AE为PE在平面ABC的射影 由三垂线定理：PEBC PBPC即BPC是直角三角形，BC为斜边 E在BC边上 由于AEBC，故BC都是锐角 同理可证：A也是锐角 ABC为锐角三角形例7正三棱柱ABC-A1B1C1的侧面三条对角线AB1，BC1，CA1中，AB1BC1求证：AB1CA1证明：取AB，A1B1中点D，D1连接CD，C1D1及A1D
9、，BD1A1B1C1CABDD1由三棱柱可知，面A1B1C1面AB1在正A1B1C1中，C1D1A1B1C1D1面AB1 (同理CD面AB1)BD1是BC1在平面AB1内的射影AB1BC1 AB1BD1 BD1AD1 AB1A1D且AD1是A1C在平面AB1内的射影 AB1A1C例8在正四棱柱AC1中，底面边长为1，侧棱长为2，求D1B1与平面A1BCD1所成的角求B1到平面A1BC1的距离分析：按定义需作B1D1在平面A1BCD1上的射影，那麽在此平面上射影的位置该落何处，这就是要考虑垂足的定位问题常用方法： 过B1作A1B的垂线B1EB1E平面A1BCD1 过B1作平面A1BCD1的垂线B
10、1E平面A1BCD1EA1B(3) 在垂面内做垂线解： BCAB , BCBB1 BC面A1B面A1C面A1B过B1作B1EA1B=E B1E平面A1BCD1连D1E，则D1E是B1D1在平面A1BCD1上的射影故 B1D1E即B1D1与平面A1BCD1所成的角且在Rt B1ED1中，B1E=A1B1*B1B/A1B=Sin B1D1E=(2)解一：正方形A1B1C1D1中 , 等腰BA1C1中A1C1 B1D1 ,BO A1C1A1C1面B1BO 面A1C1B面B1BO过B1作高线BO垂线 B1 H BO于H 则B1 H面A1C1B连A1C1，过B1作平面A1BC1的垂线，垂足为H，则B1H
11、的长即点B1到平面A1BC1的距离， 由正棱柱性质:B1A1，B1C1，B1B两两垂直H是A1BC1的垂心 连BO则BOA1C1 HBO B1B底面A1C1 B1BB1O，B1HBO B1H= (OB=)即顶点B1到截面A1BC1的距离为解二：（利用等积法）考察四面体B1A1BC1设顶点B1到A1BC1的距离为h则为三棱柱B1-A1BC1的高VB1-A1BC1=VB-ABC1*SA1BC1*h=*SA1BC1*B1B A1C1BO*A1C1*BO*h=*A1B1*B1C1*BB1 B到平面A1BC1的距离为二、小结 ：利用向量方法求解空间距离问题，可以回避此类问题中大量的作图、证明等步骤，而转化为向量间的计算问题 运用向量的坐标表示及其运算研究立体几何中的角、距离、证明垂直等问题时，关键是建立适当的坐标系，进而将向量坐标化，建立坐标系时，要充分利用图形的几何性质掌握运用向量求角、距离的方法三、课后作业：四、板书设计（略）五、课后记：
