1、第3讲圆的方程1圆的定义、方程(1)在平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆(2)确定一个圆的基本要素：圆心和半径(3)圆的标准方程：(xa)2(yb)2r2(r0)(4)圆的一般方程一般方程：x2y2DxEyF0；方程表示圆的充要条件：D2E24F0；圆心坐标：，半径r.2点与圆的位置关系(1)理论依据点与圆心的距离与半径的大小关系(2)三个结论圆的标准方程(xa)2(yb)2r2，点M(x0，y0)，d为圆心到点M的距离(x0a)2(y0b)2r2点在圆上dr；(x0a)2(y0b)2r2点在圆外dr；(x0a)2(y0b)2r2点在圆内dr.求圆的方程，借助圆的几何性质，能使解题思路
2、简化，减少计算量，常用的几何性质有：(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；(2)圆心在任一弦的中垂线上；(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线1圆x2y22x8y130的圆心到直线axy10的距离为1，则a()ABCD2答案A解析圆的方程可化为(x1)2(y4)24，则圆心坐标为(1,4)，圆心到直线axy10的距离为1，解得a.故选A.2若坐标原点在圆(xm)2(ym)24的内部，则实数m的取值范围是()A(1,1)B(，)C(，)D答案C解析原点(0,0)在圆(xm)2(ym)24的内部，(0m)2(0m)24，解得m0，化简得3a24a40，解得2a.4(2021河南安阳模拟)
3、圆心在y轴上且通过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是()Ax2y210y0Bx2y210y0Cx2y210x0Dx2y210x0答案B解析设圆心为(0，b)，半径为r，则r|b|，圆的方程为x2(yb)2b2.点(3,1)在圆上，9(1b)2b2，解得b5.圆的方程为x2y210y0.5(2020北京高考)已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为()A4B5C6D7答案A解析设圆心为C(x，y)，则1，化简得(x3)2(y4)21，所以圆心C的轨迹是以M(3,4)为圆心，1为半径的圆，如图所以|OC|1|OM|5，所以|OC|514，当且仅当C在线段OM上时取得
4、等号，故选A.6在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为_答案x2y22x0解析设圆的方程为x2y2DxEyF0，圆经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)，则解得所以圆的方程为x2y22x0.考向一求圆的方程例1(1)(2022山西大同模拟)已知圆M与直线3x4y0及3x4y100都相切，圆心在直线yx4上，则圆M的方程为()A(x3)2(y1)21B(x3)2(y1)21C(x3)2(y1)21D(x3)2(y1)21答案C解析到两直线3x4y0,3x4y100的距离相等的直线方程为3x4y50，所以圆M的圆心为直线yx4与3x4y50的交点，联立得方程
5、组解得所以圆M的圆心为(3，1)，又两平行线间的距离为2，所以圆M的半径为1，从而圆M的方程为(x3)2(y1)21.故选C.(2)已知圆的圆心在直线x2y30上，且过点A(2，3)，B(2，5)，则圆的方程为_答案x2y22x4y50解析解法一：设所求圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2，由题意得解得故所求圆的方程为(x1)2(y2)210，即x2y22x4y50.解法二：设圆的一般方程为x2y2DxEyF0，则圆心坐标为.由题意得解得故所求圆的方程为x2y22x4y50.解法三：圆经过点A(2，3)，B(2，5)，圆心在线段AB的垂直平分线y2x4上又圆心在直线x2y30上，解得圆心为(
6、1，2)半径为，故所求圆的方程为(x1)2(y2)210，即x2y22x4y50.求圆的方程的两种方法(1)几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程(2)待定系数法若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设出圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设出圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值1.已知圆E经过三点A(0,1)，B(2,0)，C(0，1)，且圆心在x轴的正半轴上，则圆E的标准方程为()A.2y2B2y2C.2y2D2y2答案C解析因为圆E经过点A(
7、0,1)，B(2,0)，所以圆E的圆心在线段AB的垂直平分线y2(x1)上又圆E的圆心在x轴的正半轴上，所以圆E的圆心坐标为.则圆E的半径为|EB|，所以圆E的标准方程为2y2.2(2021江西鹰潭模拟)圆心在直线y4x上，并且与直线l：xy10相切于点P(3，2)的圆的方程为_答案(x1)2(y4)28解析设圆心A的坐标为(x，4x)，则kAP，又kl1，圆A与直线l相切，kAPkl1，x1，A(1，4)，r2，所求圆的方程为(x1)2(y4)28.考向二与圆有关的轨迹问题例2已知直角三角形ABC的斜边为AB，且A(1,0)，B(3,0)求：(1)直角顶点C的轨迹方程；(2)直角边BC的中点
8、M的轨迹方程解(1)解法一：设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y0.因为ACBC，所以kACkBC1，又kAC，kBC，所以1，化简得x2y22x30.因此直角顶点C的轨迹方程为x2y22x30(y0)解法二：设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，由直角三角形的性质知|CD|AB|2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)所以直角顶点C的轨迹方程为(x1)2y24(y0)(2)设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3,0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x，y，所以x02x3，y02y.
9、由(1)知，点C的轨迹方程为(x1)2y24(y0)，将x02x3，y02y代入得(2x4)2(2y)24，即(x2)2y21.因此直角边BC的中点M的轨迹方程为(x2)2y21(y0)求与圆有关的轨迹方程的方法3.(2021云南曲靖模拟)已知过原点的动直线l与圆C1：x2y26x50相交于不同的两点A，B.(1)求圆C1的圆心坐标；(2)求线段AB的中点M的轨迹方程解(1)由x2y26x50，得(x3)2y24，所以圆C1的圆心坐标为(3,0)(2)设点M(x，y)，因为点M为线段AB的中点，所以C1MAB，所以kC1MkAB1，当x3时，可得1，整理得2y2，又当直线l与x轴重合时，M点坐
10、标为(3,0)，代入上式成立设直线l的方程为ykx，与x2y26x50联立，消去y得，(1k2)x26x50.令其判别式(6)24(1k2)50，得k2，此时方程为x26x50，解上式得x，因此x3.所以线段AB的中点M的轨迹方程为2y2.精准设计考向，多角度探究突破考向三与圆有关的最值问题角度借助几何性质求最值例3(1)(2021安徽合肥质检)已知A(0,2)，点P在直线xy20上，点Q在圆C：x2y24x2y0上，则|PA|PQ|的最小值是_答案2解析因为圆C：x2y24x2y0，故圆C是以C(2,1)为圆心，为半径的圆设点A(0,2)关于直线xy20的对称点为A(m，n)，故解得故A(4
11、，2)连接AC交圆C于Q，由对称性可知，|PA|PQ|AP|PQ|AQ|AC|r2.(2)已知实数x，y满足方程x2y24x10.求的最大值和最小值；求yx的最大值和最小值；求x2y2的最大值和最小值解原方程可化为(x2)2y23，表示以(2,0)为圆心，为半径的圆，的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设k，即ykx.当直线ykx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时，解得k.所以的最大值为，最小值为.yx可看作是直线yxb在y轴上的截距，当直线yxb与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时，解得b2.所以yx的最大值为2，最小值为2.x2y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面
12、几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值又圆心到原点的距离为2，所以x2y2的最大值是(2)274，最小值是(2)274.角度构建目标函数求最值例4(2021湖南长沙模拟)设点P(x，y)是圆x2(y3)21上的动点，定点A(2,0)，B(2，0)则的最大值为_答案12解析由题意，得(2x，y)，(2x，y)，所以x2y24，由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2(y3)21，故x2(y3)21，所以(y3)21y246y12.易知2y4，所以，当y4时，的值最大，最大值为641212.与圆有关的最值问题的求解方法(1)借助几何性质求最值形如形式的最值问题，可
13、转化为动直线斜率的最值问题；形如taxby形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；形如(xa)2(yb)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题(2)建立函数关系式求最值根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，利用基本不等式求最值是比较常用的4.(2022四川南充诊断考试)已知两点A(0，3)，B(4,0)，若点P是圆C：x2y22y0上的动点，则ABP面积的最小值为()A6BC8D答案B解析x2y22y0可化为x2(y1)21，则圆C是以(0,1)为圆心，1为半径的圆如图，过圆心C向直线AB作垂线交圆于点P，连
14、接BP，AP，这时ABP的面积最小，直线AB的方程为1，即3x4y120，圆心C到直线AB的距离d，又|AB|5，所以ABP面积的最小值为5.5(2021安徽巢湖模拟)设点P(x，y)是圆：(x3)2y24上的动点，定点A(0,2)，B(0，2)，则|的最大值为_答案10解析解法一：由题意，知(x,2y)，(x，2y)，所以(2x，2y)，由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程(x3)2y24，故y2(x3)24，所以|2.由圆的方程(x3)2y24，易得1x5，所以当x5时，|的值最大，最大值为210.解法二：设O为坐标原点，则|2|，|max5，所以|的最大值为10.6已知点(x，
15、y)在圆(x2)2(y3)21上(1)求的最大值和最小值；(2)求xy的最大值和最小值；(3)求 的最大值和最小值解(1)可视为点(x，y)与原点连线的斜率，的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率设过原点的直线的方程为ykx，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即1，解得k2或k2，的最大值为2，最小值为2.(2)设txy，则yxt，t可视为直线yxt在y轴上的截距，xy的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y轴上的截距由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即1，解得t1或t1.xy的
16、最大值为1，最小值为1.(3)，求它的最值可视为求点(x，y)到定点(1,2)的距离的最值，可转化为求圆心(2，3)到定点(1,2)的距离与半径的和或差又圆心到定点(1,2)的距离为， 的最大值为1，最小值为1.1如果圆的方程为x2y2kx2yk20，那么当圆面积最大时，圆心坐标为()A(1,1)B(1，1)C(1,0)D(0，1)答案D解析r，当k0时，r最大所以圆的方程为x2y22y0，则圆心坐标为(0，1)2圆(x1)2(y2)21关于直线yx对称的圆的方程为()A(x2)2(y1)21B(x1)2(y2)21C(x2)2(y1)21D(x1)2(y2)21答案A解析已知圆的圆心C(1,
17、2)关于直线yx对称的点为C(2,1)，所以圆(x1)2(y2)21关于直线yx对称的圆的方程为(x2)2(y1)21.故选A.3已知aR，若方程a2x2(a2)y24x8y5a0表示圆，则此圆的圆心坐标为()A(2，4)B.C(2，4)或D不确定答案A解析方程a2x2(a2)y24x8y5a0表示圆，a2a20，解得a1或a2.当a1时，方程为x2y24x8y50，即(x2)2(y4)225，所得圆的圆心坐标为(2，4)，半径为5.当a2时，方程为x2y2x2y0，此时方程不表示圆故选A.4(2022江西景德镇模拟)过点A(6,2)，B(2，2)且圆心在直线xy10上的圆的方程是()A(x3
18、)2(y2)225B(x3)2(y2)225C(x3)2(y2)25D(x3)2(y2)25答案B解析由题设，知AB的中点坐标为(2,0)，且kAB，AB的中垂线方程为y2(x2)，与xy10联立，得可得即圆心为(3，2)，而r5，圆的方程是(x3)2(y2)225.故选B.5已知点P(1,2)和圆C：x2y2kx2yk20，过点P作圆C的切线有两条，则k的取值范围是()ARBC.D答案C解析圆C：2(y1)21k2，因为过点P有两条圆C的切线，所以点P在圆外，从而解得k1，所以半圆x2(y1)21(x0)到直线xy10的距离的最大值为1，最小值为点(0,0)到直线xy10的距离，为，所以ab
19、11.故选C.8过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1，7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|()A2B8C4D10答案C解析设圆的方程为x2y2DxEyF0，分别将点A，B，C的坐标代入，得解得则圆的方程为x2y22x4y200.令x0，得y24y200，设M(0，y1)，N(0，y2)，则y1，y2是方程y24y200的两根，由根与系数的关系，得y1y24，y1y220，故|MN|y1y2|4.9(2021四川绵阳模拟)已知实数x，y满足x2y24(y0)，则mxy的取值范围是()A(2，4)B2，4C4,4D4,2答案B解析x2y24(y0)表示圆x2y24的上半部分，如图所示，直线x
20、ym0的斜率为，在y轴上的截距为m.当直线xym0过点(2,0)时，m2.设圆心(0,0)到直线xym0的距离为d，则即解得m2，410已知在圆M：x2y24x2y0内，过点E(1，0)的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为()A3B6C4D2答案D解析圆x2y24x2y0可化为(x2)2(y1)25，圆心M(2，1)，半径r，最长弦为圆的直径，|AC|2，BD为最短弦，AC与BD垂直，易求得|ME|，|BD|2|BE|22.S四边形ABCDSABDSBDC|BD|EA|BD|EC|BD|(|EA|EC|)|BD|AC|222.故选D.11(2021江西吉安模拟)已知点P是
21、直线3x4y80上的动点，点C是圆x2y22x2y10的圆心，那么|PC|的最小值是_答案3解析点C到直线3x4y80上的动点P的最小距离即为点C到直线3x4y80的距离，又圆心C的坐标是(1,1)，因此最小距离为3.12(2022沈阳模拟)已知x，y满足x2y21，则的最小值为_答案解析表示圆上的点P(x，y)与点Q(1,2)连线的斜率，的最小值是直线PQ与圆相切时的斜率设直线PQ的方程为y2k(x1)，即kxy2k0，由1，得k，结合图形可知，所求最小值为.13. 如图，已知圆C与x轴相切于点T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)，且|AB|2.(1)圆C的标准方程为_；
22、(2)圆C在点B处的切线在x轴上的截距为_答案(1)(x1)2(y)22(2)1解析(1)记AB的中点为D，在RtBDC中，易得圆C的半径r|BC|，则圆心C的坐标为(1，)，所以圆C的标准方程为(x1)2(y)22.(2)因为点B的坐标为(0，1)，点C的坐标为(1，)，所以直线BC的斜率为1，所以所求切线的斜率为1.由点斜式得切线方程为yx1，故切线在x轴上的截距为1.14(2020江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，已知P，A，B是圆C：x2236上的两个动点，满足|PA|PB|，则PAB面积的最大值是_答案10解析圆C的圆心为C.|PA|PB|，PCAB.设圆心C到直线AB距离为d，则|AB|2，|PC|1.SPAB2(d1).令y(36d2)(d1)2(0d6)，y2(d1)(2d2d36)令y0，得d4(负值舍去)当0d4时，y0，当4d6时，y0，当d4时，y取最大值，ymax500，PAB面积的最大值为10.
