1、2.1.3 分 层 抽 样 必备知识自主学习 1.分层抽样 一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样的方法是一种分层抽样.导思1.什么是分层抽样？分层抽样有什么特点？2.如何设计分层抽样的步骤？【思考】在什么情况下适用分层抽样？提示：当总体是由差异明显的几部分组成时，往往选用分层抽样的方法.2.分层抽样的实施步骤 第一步，按某种特征将总体分成若干部分(层).第二步，计算抽样比.抽样比=.第三步，各层抽取的个体数=各层总的个体数抽样比.第四步，依各层抽取的个体数，按简单随机抽样或系统抽样从各层抽取样本
2、.第五步，综合每层抽样，组成样本.样本容量总体容量【思考】(1)怎样确定分层抽样中各层入样的个体数？提示：在实际操作时，应先计算出抽样比=，可得各层入样数的百分 比，再按抽样比确定每层需要抽取的个体数：抽样比该层个体数目=该层个体数目.样本容量总体容量样本容量总体容量(2)计算各层所抽个体的个数时，如果算出的个数值不是整数怎么办？提示：可四舍五入取整，也可先将该层等可能地剔除多余个体.3.简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的联系和区别 类别简单随机抽样系统抽样分层抽样各自 特点从总体中逐个抽取将总体均分成几个部分，按事先确定的规则在各部分抽取将总体分成几层，分层进行抽取相互 联系在起始部分采用简
3、单随机抽样在各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样适用 范围总体中的个体数较少总体中的个体数较多总体由存在明显差异的几部分组成共同 点抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等；每次抽出个体后不再放回，即不放回抽样【思考】分层抽样公平吗？提示：公平分层抽样中，每个个体被抽到的可能性是相同的，与层数、分层无 关.如果总体的个数为N，样本容量为n，Ni为第i层的个体数，则第i层抽取的个体 数ni=n ，每个个体被抽到的可能性是 iNNiiiinN1nn.NNNN【基础小测】1.辨析记忆(对的打“”，错的打“”)(1)系统抽样时，将总体分成均等的几部分，每部分抽取一个，符合分层抽样，故系统抽样就是一种特殊的
4、分层抽样.()(2)在分层抽样时，每层可以不等可能抽样.()(3)在分层抽样的过程中，每个个体被抽到的可能性是相同的，与层数及分层有关.()2.为了保证分层抽样时每个个体被等可能地抽取，必须要求()A.每层因所含个体数不同而不等可能抽取 B.每层抽取的个体数相等 C.按每层所含个体在总体中所占的比例抽样 D.只要抽取的样本容量一定，每层抽取的个体数没有限制【解析】选C.因为分层抽样为等比例抽样，所以选项A不正确，分层抽样时，每层抽样个数与各层的比例有关，所以选项B错误，选项C正确，选项D错误.3.(教材二次开发：例题改编)某单位有职工160人，其中业务员104人，管理人员32人，后勤服务人员2
5、4人，现用分层抽样法从中抽取一容量为20的样本，则抽取管理人员有()A.3人 B.4人 C.7人 D.12人【解析】选B.由 设管理人员x人，则 得x=4.2011608，x1328，4.在抽样过程中，每次抽取的个体不再放回总体的为不放回抽样，那么分层抽样、系统抽样、简单随机抽样三种抽样中，为不放回抽样的有_个.【解析】依据三种抽样方法的定义及特点可知：三种抽样方法均为不放回抽样.答案：三 关键能力合作学习 类型一 分层抽样的概念(数学抽象、逻辑推理)【题组训练】1.为了解某地区的“微信健步走”活动情况，拟从该地区的人群中抽取部分人员进行调查.事先已了解到该地区老、中、青三个年龄段人员的“微信
6、健步走”活动情况有较大差异，而男女“微信健步走”活动情况差异不大.在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是()A.简单随机抽样 B.按性别分层抽样 C.按年龄段分层抽样 D.系统抽样 2.某中学有老年教师20人，中年教师65人，青年教师95人.为了调查他们的健康状况，需从他们中抽取一个容量为36的样本，则合适的抽样方法是()A.抽签法 B.系统抽样 C.分层抽样 D.随机数法 3.为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是()A.
7、简单随机抽样 B.按性别分层抽样 C.按学段分层抽样 D.系统抽样【解题策略】1.使用分层抽样的前提 分层抽样的适用前提条件是总体可以分层、层与层之间有明显区别，而层内个体间差异较小.2.使用分层抽样应遵循的原则(1)将相似的个体归入一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则.(2)分层抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比等于抽样比.【补偿训练】某校有在校高中生共1 600人，其中高一学生520人，高二学生500人，高三学生580人.如果想通过抽查其中的80人来调查学生的消费情况，考虑到学生的年级高低消费情
8、况有明显差别，而同一年级内消费情况差异较小，问：应采用怎样的抽样方法？高三学生中应抽查多少人？类型二 分层抽样的设计及应用(数学抽象、逻辑推理)【典例】一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人，为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则从上述各层中依次抽取的人数分别是()A.12，24，15，9 B.9，12，12，7 C.8，15，12，5 D.8，16，10，6【思路导引】由于具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职 称的200人，其余人员120人，适合分层抽样.【解
9、析】选D.抽样比例为 故各层中依次抽取的人数为160 =8(人)，320 =16(人)，200 =10(人)，120 =6(人).40180020，120120120120【解题策略】利用分层抽样抽取样本的操作步骤(1)将总体按一定标准进行分层.(2)计算各层的个体数与总体的个体数的比.(3)按各层的个体数占总体的比确定各层应抽取的样本容量.(4)在每一层进行抽样(可用简单随机抽样或系统抽样).(5)最后将每一层抽取的样本汇总合成样本.【跟踪训练】1.将A，B，C三种性质的个体按124的比例进行分层抽样调查，若抽取的样 本容量为21，则A，B，C三种性质的个体分别抽取()A.12，6，3 B.
10、12，3，6 C.3，6，12 D.3，12，6【解析】选C.由分层抽样的概念，知A，B，C三种性质的个体应分别抽取21 =3，21 =6，21 =12.1727472.为了调查城市PM2.5的情况，按地域把48个城市分成大型、中型、小型三 组，相应的城市数分别为8，16，24.若用分层抽样的方法抽取12个城市，则应 抽取的中型城市数为()A.3 B.4 C.5 D.6【解析】选B.根据分层抽样的特点可知，抽样比例为 则应抽取的中型 城市数为16 =4.121484，14类型三 抽样方法的选择(数学抽象、逻辑推理)【题组训练】1.教育局督学组到某校检查工作，临时需在每班各抽调两位同学参加座谈；
11、某班数学期中考试有14人在120分以上，35人在90119分，7人不及格，现从中抽出8人研讨进一步改进教与学；某班春节聚会，要产生两位“幸运者”.就这三件事，合适的抽样方法分别为()A.分层抽样，分层抽样，简单随机抽样 B.系统抽样，系统抽样，简单随机抽样 C.分层抽样，简单随机抽样，简单随机抽样 D.系统抽样，分层抽样，简单随机抽样 2.为了了解某校的教学水平，抽查了这个学校高三年级部分学生的本学年考试成绩.为了全面地反映实际情况，采取以下三种方式进行(已知该校高三年级共有14个教学班，并且每个班内的学生都已经按随机方式编好了学号，假定该校每班人数都相同).从全年级14个班中任意抽取一个班，
12、再从该班中任意抽取14人，了解他们的学习成绩；每个班都抽取1人，共计14人，了解这14名学生的成绩；把该校高三年级的学生按成绩分成优秀、良好、普通三个级别，从中抽取100名学生进行了解(已知若按成绩分，该校高三学生中优秀学生有105名，良好学生有420名，普通学生有175名).根据上面的叙述，试回答下列问题：(1)上面三种抽取方式中，其总体、个体、样本分别指什么？每一种抽取方式抽取的样本中，其样本容量分别是多少？(2)上面三种抽取方式各自采用何种抽取样本的方法？【思路导引】根据各抽样方法的特征、适用范围判断.【解题策略】抽样方法的选取(1)若总体由差异明显的几个层次组成，则选用分层抽样.(2)
13、若总体没有差异明显的层次，则考虑采用简单随机抽样或系统抽样.当总体容量较小时宜用抽签法；当总体容量较大，样本容量较小时宜用随机数表法；当总体容量较大，样本容量也较大时宜用系统抽样.(3)采用系统抽样时，当总体容量N能被样本容量n整除时，抽样间隔为k=；当总体容量不能被样本容量整除时，先用简单随机抽样剔除多余个体，抽样间 隔为k=，其中 表示不大于 的整数.NnNnNnNn【跟踪训练】1.某社区有500户家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95户.为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100的样本，记作；某学校高一年级有18名女排运动员，要从中选出4人调查训
14、练情况，记作.那么完成上述两项调查应分别采用的抽样方法是()A.用简单随机抽样法，用系统抽样法 B.用分层抽样法，用简单随机抽样法 C.用系统抽样法，用分层抽样法 D.用分层抽样法，用系统抽样法【解析】选B.因家庭收入不同其社会购买力也不同，宜用分层抽样的方法.因总体个数较少，宜用简单随机抽样法.2.下列问题中，采用怎样的抽样方法较为合理？为什么？(1)某学校有500名学生，其中有200人为O型血，125人为A型血，50人为AB型血.为了研究血型与色弱的关系，拟抽取一个容量为20的样本.(2)体育彩票000 001100 000编号中，凡彩票号码最后三位数为345的中一等奖.课堂检测素养达标
15、1.某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是()A.抽签法 B.随机数表法 C.系统抽样法 D.分层抽样法【解析】选D.由于是调查男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在差异，因此用分层抽样方法.2.(教材二次开发：练习改编)甲校有3 600名学生，乙校有5 400名学生，丙校有1 800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法抽取一个容量为90的样本，应在这三校分别抽取学生()A.30人、30人、30人 B.30人、45人、15人 C.20人、30人、40人 D.30人
16、、50人、10人【解析】选B.根据各校人数比例有3 6005 4001 800=231，由于样本容量为90，不难求出甲校应抽取30人、乙校应抽取45人、丙校应抽取15人.3.某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点.公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为；在丙地区有10个特大型销售点，要从中抽取7个销售点调查其销售收入和售后服务等情况，记这项调查为，则完成这两项调查宜采用的抽样方法依次为()A.分层抽样法，系统抽样法 B.分层抽样法，简单随机抽样法 C.系统抽样法，分层抽样法 D.简单随机抽样法，分层抽样法 4.九章算术第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱，欲以钱数多少衰出之，问各几何？”其意为：“今有甲带了560钱，乙带了350钱，丙带了180钱，三人一起出关，共需要交关税100钱，依照钱的多少按比例出钱”，则丙应出_钱(结果保留整数).5.某班有40名男生，20名女生，已知男女身高有明显不同，现欲调查平均身 高，准备抽取 ，采用分层抽样方法，抽取男生1名，女生1名，你认为这种 做法是否妥当？如果让你来调查，你准备怎样做？130
