1、安徽省安庆市第二中学、天成中学2020届高三数学上学期期末联考试题 文（含解析）一、选择题（本题共12题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，有一个是符合题意的选项）1.已知集合A=，B=，则()A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】写出集合A中的整数，然后与集合B取交集，得到答案【详解】A=中整数有-1，0，1，2，所以故选B项【点睛】本题考查集合交集运算，属于简单题.2.已知数列满足，等比数列满足，则的前6项和为A. B. C. 63D. 126【答案】D【解析】【分析】由已知求得，可得等比数列的首项为2 ，公比为2，再利用等比数列的前和公式求解即可.【详解】因为，所
2、以，则，等比数列的首项为2，公比为2，则的前6项和，故选D.【点睛】本题主要考查递推公式的应用以及等比数列的前和公式，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.3.已知函数，则的图象大致为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析】利用特殊值，对函数图象进行排除，由此得出正确选项.【详解】由于，排除B选项.由于，函数单调递减，排除C选项.由于，排除D选项.故选A.【点睛】本小题主要考查已知具体函数的解析式，判断函数的图象，属于基础题.4.已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，为其终边上一点，则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先根据三角函数的定义求出，然
3、后再根据二倍角的余弦公式求出【详解】为角终边上一点，故选D【点睛】本题考查三角函数的定义和倍角公式，考查对基础知识的掌握情况和转化能力的运用，属于基础题5.将函数的图象向右平移个单位长度得到图像，则下列判断错误的是（ ）A. 函数的最小正周期是B. 图像关于直线对称C. 函数在区间上单调递减D. 图像关于点对称【答案】C【解析】分析】根据三角函数的图象平移关系求出的解析式，结合函数的单调性，对称性分别进行判断即可【详解】由题意，将函数的图象向右平移个单位长度，可得，对于,函数的最小正周期为，所以该选项是正确的； 对于，令，则为最大值，函数图象关于直线，对称是正确的；对于中，则，则函数在区间上先
4、减后增，不正确；对于中，令，则，图象关于点对称是正确的，故选【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及三角函数的单调性，对称性，求出解析式是解决本题的关键6.某三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】通过三视图的特点,还原为三棱锥,然后计算三棱锥面积.【详解】由三视图可知三棱锥为如图所示，在中,；在中,；在中,；在中,；故表面积为.【点睛】本题考查了三视图的还原问题以及三棱锥表面积的计算,关键是根据三视图特点还原为三棱锥.7.已知函数是上的偶函数，且对任意的有，当时，则A. 11B. 5C. D. 【答案】C【解析】【分析】可求得函数的周
5、期为6，则，再利用偶函数的性质，结合已知解析式即可求得答案【详解】，即函数的周期为6，故选：C【点睛】本题考查函数周期性及奇偶性的综合运用、函数的求值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力8.已知命题，命题，且,则()A. 命题是真命题B. 命题是假命题C. 命题是假命题D. 命题是真命题【答案】A【解析】【分析】先分别判断命题与命题的真假，进而可得出结果.【详解】令，则易知在上单调递增，所以当时，即；因此命题为真命题；由得；所以，当时，；当时，；因此，命题，且为假命题；所以命题是真命题.故选A【点睛】本题主要考查简单的逻辑连接词，复合命题真假的判定，熟记判定方法
6、即可，属于常考题型.9.设是双曲线与圆在第一象限的交点，分别是双曲线的左，右焦点，若，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先由双曲线定义与题中条件得到，求出，再由题意得到，即可根据勾股定理求出结果.【详解】解：根据双曲线定义：，是圆的直径，在中，得故选【点睛】本题主要考查求双曲线的离心率，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型.10.九章算术中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.在堑堵 中，当阳马 体积为时，堑堵的外接球的体积的最小值（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设ACx，BCy，由
7、阳马BA1ACC1体积，得到，结合基本不等式求得外接球半径由此能求出外接球体积【详解】设ACx，BCy，由题意得x0，y0，又 体积为， 堑堵的外接球即以 为棱的长方体的外接球故 ，当且仅当xy时，取等号，外接球的体积为 故选B【点睛】本题考查锥体体积的求法，考查外接球问题，结合基本不等式求解是关键，注意空间思维能力的培养11.已知圆：（），直线：，则“”是“上恰有不同的两点到的距离为”的 （ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据圆心到直线距离d，比较d与r关系即可判断【详解】圆：（）圆心坐标为 则圆心到直线距离为
8、所以当时恰有两个不同的点到的距离为当上恰有不同的两点到的距离为时，满足所以“”是“上恰有不同的两点到的距离为”的充分不必要条件所以选A【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，充分必要条件的简单应用，属于中档题12.已知函数，其中是自然对数的底数若，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】令，判断其奇偶性单调性即可得出【详解】令，则，在上为奇函数，函数在上单调递增，化为：，即，化为：，即，解得实数的取值范围是故选【点睛】本题考查了构造法、利用导数研究函数的单调性奇偶性、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题二、填空题.共4小题，每小题
9、5分共20分，将答案填写在答题卷的相应区域，答案写在试题卷上无效.13.周髀算经中有这样一个问题，从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则冬至的日影子长为_【答案】15.5尺【解析】【分析】利用等差数列的通项公式列出方程组，能求出冬至的日影子长【详解】从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，解得，冬至的
10、日影子长为15.5尺故答案为：15.5尺【点睛】本题考查等差数列的首项的求法、等差数列的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，属于基础题.14.若实数，满足，设目标函数，则的取值范围为_【答案】【解析】【分析】画出约束条件表示的平面区域，结合图形找出最优解，从而求出目标函数的最值【详解】画出实数，满足表示的平面区域，如图所示由得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最小，此时最小；由，解得，此时，由，解得，的最大值为8则的取值范围为：故答案为：.【点睛】本题考查简单的线性规划的应用问题，考查转化与化归思想、数形结合思想，考查运算求解能力，求解时注意
11、直线截距几何意义的应用.15.已知向量，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围为_【答案】【解析】【分析】由题意可得，且、不共线，由此求得实数的取值范围【详解】向量，若与的夹角为钝角，则，且、不共线，即，求得，且，则实数的取值范围为，故答案为：【点睛】本题考查根据向量的夹角求参数的取值范围，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意考虑向量共线是不成立的.16.若函数，恰有3个零点，则实数的取值范围为_【答案】【解析】【分析】将函数零点个数转化为函数图象与叫交点的个数【详解】当时，可得，函数的图象如图：方程至多一个解，此时满足，可得，当时，即，令，可得，令，可得
12、，时，函数是减函数，时，函数是增函数，函数的最小值为，时，方程有两个解，可得，故实数的取值范围为故答案为：.【点睛】本题考查利用函数零点个数求参数的取值范围，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意利用导数求单调性三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤，答案写在试题卷上无效.17.已知角，为等腰的内角，设向量，且，（1）求角；（2）在的外接圆的劣弧上取一点，使得，求及四边形的面积【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用向量共线的条件，结合诱导公式，求得角的余弦值，即可得答案；（2
13、）求出，由正弦定理可得，即可求出四边形的面积【详解】（1）向量，且，；（2）根据题意及（1）可得是等边三角形，中，由余弦定理可得，由正弦定理可得，四边形的面积【点睛】本题考查向量共线条件的运用、诱导公式、余弦定理、正弦定理的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意将四边形的面积分割成两个三角形的面积和.18.已知数列的前项和为，且满足（1）求数列的通项公式；（2）若，且数列前项和为，求的取值范围【答案】（1）（2）【解析】分析】（1）由，可求，然后由时，可得，根据等比数列的通项可求（2）由，而，利用裂项相消法可求.【详解】（1）当时，解得，当时，得，
14、即，数列是以2为首项，2为公比的等比数列，；（2），.【点睛】本题考查递推公式在数列的通项求解中的应用，等比数列的通项公式、裂项求和方法，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力19.如图，圆柱的轴截面是，为下底面的圆心，是母线，（1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）有中点一般寻找中位线找出平行的线，再由线面平行的判断定理可证明线面的平行；（2）用等体积法求出体积，先证明线面垂直，进而求出高，再求体积【详解】（1）连接交于 由题意在矩形中可得为的中点，又圆柱的轴截面是，为下底面的圆心，即为的中点，所以在中，为三角形的中位
15、线，所以， 平面，平面，面；（2）因为又位的中点，又面面圆，面面圆，面圆，面，【点睛】本题考查直线与平面平行的判定定理、三棱锥的体积求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意等积法的应用.20.已知椭圆的左顶点为，焦距为2（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线与椭圆的另一个交点为点，与圆的另一个交点为点，是否存在直线使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由【答案】（1）（2）直线不存在见解析【解析】【分析】（1）据题意有，则通过计算可得椭圆的标准方程；（2）可先假设直线存在，可设直线的斜率为，则直线根据及圆的性质可知垂直平分再根据点到直线的
16、距离公式可得的关于的表达式，再解可得的关于的表达式然后联立直线与椭圆方程，消去整理可得一元二次方程，根据韦达定理有，根据弦长公式可得的关于的另一个表达式根据存在性则两个表达式相等，如果值存在则直线存在；如果没有值则直线不存在【详解】（1）由题意，可知，则，椭圆的标准方程为（2）由题意，假设存在直线使得，可设直线的斜率为则直线，即点为线段中点，根据圆的性质，可知，且平分根据题意画图如下：则在中，联立直线与椭圆方程，可得：，消去，整理得则，整理，得很明显矛盾，故直线不存在【点睛】本题考查直线、圆和椭圆三者综合的问题、弦长公式的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力
17、21.已知函数.（1）设是的一个极值点，求的值并求的单调区间；（2）设，求证.【答案】（1），见解析（2）见解析【解析】【分析】（1），根据是的一个极值点，可得，解得，即可得出函数的单调区间；（2）当时，令，利用导数研究函数的单调性极值与最值【详解】（1），是的一个极值点，解得此时可得：，时，此时函数单调递减；时，此时函数单调递增（2）当时，令，时，函数取得极小值，【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法，考查推理能力与计算能力，属于中档题22.在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于，两点（1）证明：为钝角三角形（2）若直线与直线平行，直线与抛物线相切，切点为，且的面积为16，求直线的方程【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）设，联立，得，利用韦达定理以及向量的数量积证明为钝角三角形（2）求出，结合函数的导数，利用斜率关系，求出点到直线的距离，写出，利用的面积，转化求解即可【详解】（1）设，联立，得，则，所以，从而，则为钝角，故为钝角三角形（2）由（1）知，则由，得，设，则，则点到直线的距离从而的面积，解得，故直线的方程为【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用、导数的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力
