1、课后素养落实(十)数学归纳法(建议用时：40分钟)一、选择题1用数学归纳法证明“1aa2an1(a1，nN)”，在验证n1成立时，左边的项是()A1B1aC1aa2 D1aa2a3 C因为左边式子中a的最高指数是n1，所以当n1时，a的最高指数为2，根据左边式子的规律可得，当n1时，左边1aa22用数学归纳法证明n(n1)(n2)(3n2)(2n1)2(nN)时，若记f(n)n(n1)(n2)(3n2)，则f(k1)f(k)等于()A3k1 B3k1C8k D9kC因为f(k)k(k1)(k2)(3k2)，f(k1)(k1)(k2)(3k2)(3k1)3k(3k1)，则f(k1)f(k)3k1
2、3k3k1k8k3用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xnyn能被xy整除”的第二步是()A假设n2k1时正确，再推n2k3时正确(kN)B假设n2k1时正确，再推n2k1时正确(kN)C假设nk时正确，再推nk1时正确(kN)D假设nk(k1)时正确，再推nk2时正确(kN)BnN且为奇数，由假设n2k1(kN)时成立推证出n2k1(kN)时成立，就完成了归纳递推4用数学归纳法证明等式123(n3)(nN)时，第一步验证n1时，左边应取的项是()A1 B12C123 D1234答案D5对于不等式n1(nN)，某同学应用数学归纳法的证明过程如下：(1)当n1时，11，不等式成立(2)假设当nk(
3、kN)时，不等式成立，即 k1那么当nk1时，(k1)1，所以当nk1时，不等式也成立根据(1)和(2)，可知对于任何nN，不等式均成立则上述证法()A过程全部正确Bn1验得不正确C归纳假设不正确D从nk到nk1的证明过程不正确D此同学从nk到nk1的证明过程中没有应用归纳假设二、填空题6用数学归纳法证明“设f(n)1，则nf(1)f(2)f(n1)nf(n)(nN，n2)”时，第一步要证的式子是_2f(1)2f(2)因为n2，所以n02观察等式左边最后一项，将n02代入等式，可得2f(1)2f(2)7用数学归纳法证明假设nk时，不等式成立，则当nk1时，应推证的目标不等式是_观察不等式左边的
4、分母可知，由nk到nk1左边多出了这一项8一题两空用数学归纳法证明11)第一步要证明的不等式是_，从nk到nk1时，左端增加了_项122k当n2时，12当nk时到第2k1项，而当nk1时到第2k11项，所以2k11(2k1)2k12k22k2k2k三、解答题9已知数列an，an0，a10，aan11a，求证：当nN时，anan1证明(1)当n1时，因为a2是方程aa210的非负根，所以a2，即a1a2成立(2)假设当nk(kN，k1)时，0ak0，又ak2ak110，所以ak1ak2，即当nk1时，anan1也成立综上，可知anan1对任意nN都成立10已知数列an满足Snan2n1(1)写出
5、a1，a2，a3，推测an的表达式；(2)用数学归纳法证明所得结论解(1)由Snan2n1，得a1，a2，a3，推测an2(nN)(2)证明：an2(nN)当n1时，a12，结论成立假设当nk(k1，kN)时结论成立，即ak2，那么当nk1时，a1a2akak1ak12(k1)1，因为a1a2ak2k1ak，所以2ak1ak2，所以2ak14，所以ak12，所以当nk1时结论成立由知对于任意正整数n，结论都成立11如果命题p(n)对nk(kN)成立，则它对nk2也成立若p(n)对n1，2也均成立，则下列结论正确的是()Ap(n)对所有正整数n都成立Bp(n)对所有正偶数n都成立Cp(n)对所有
6、正奇数n都成立Dp(n)对所有自然数n都成立A由题意nk成立，则nk2也成立，当n1时成立，则p(n)对所有正奇数都成立；当n2时成立，则p(n)对所有正偶数都成立，因此p(n)对所有正整数n都成立12利用数学归纳法证明“(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)，nN”时，从“nk”变到“nk1”时，左边应增乘的因式是()A2k1 B2(2k1)C DB当nk(kN)时，左式为(k1)(k2)(kk)；当nk1时，左式为(k11)(k12)(k1k1)(k1k)(k1k1)，则左边应增乘的式子是2(2k1)13(多选题)某个命题与自然数n有关，若nk(kN)时命题成立，那么可推得当nk1时该
7、命题也成立，现已知n5时，该命题不成立，那么不能推出()An6时该命题不成立Bn6时该命题成立Cn4时该命题不成立Dn4时该命题成立ABD法一：由nk(kN)成立，可推得当nk1时该命题也成立因而若n4成立，必有n5成立现知n5不成立，所以n4一定不成立法二：其逆否命题“若当nk1时该命题不成立，则当nk时也不成立”为真，故“n5时不成立”“n4时不成立”14一题两空用数学归纳法证明“当nN时，求证：12222325n1是31的倍数”时，当n1时，原式为_，从nk到nk1时需增添的项是_1222232425k25k125k225k325k4当n1时，原式应加到251124，所以原式为12222324，从nk到nk1时需添25k25k125(k1)115平面内有n(n2，nN)条直线，其中任何两条均不平行，任何三条均不共点，证明：交点的个数f(n)证明(1)当n2时，两条直线有一个交点，f(2)1，命题成立(2)假设当nk(k2，kN)时，命题成立，即f(k)那么当nk1时，第k1条直线与前k条直线均有一个交点，即新增k个交点，所以f(k1)f(k)kk，即当nk1时命题也成立根据(1)和(2)，可知命题对任何n2，nN成立
