1、第3节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题最新考纲1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.知 识 梳 理1.二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式AxByC0在平面直角坐标系中表示直线AxByC0某一侧的所有点组成的平面区域不含边界直线.不等式AxByC0所表示的平面区域包括边界直线，把边界直线画成实线.(2)对直线AxByC0同一侧的所有点(x，y)，代入AxByC所得值的符号都相同，所以只需取一个特殊点(x0，y0)作为测试点，
2、由Ax0By0C的符号可判断AxByC0表示的是直线AxByC0哪一侧的平面区域.(3)不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.2.线性规划的有关概念名称意义线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组，是对x，y的约束条件目标函数关于x，y的解析式线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数达到最大值或最小值的可行解线性规划问题求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题常用结论与微点提醒1.画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：(1)直线定界：不等式中无等号时直
3、线画成虚线，有等号时直线画成实线；(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0，1)或(1，0)来验证.2.在通过求直线的截距的最值间接求出z的最值时，要注意：当b0时，截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值；当b0表示的平面区域在直线xy10的下方.(4)直线axbyz0在y轴上的截距是.答案(1)(2)(3)(4)2.下列各点中，不在xy10表示的平面区域内的是()A.(0，0) B.(1，1) C.(1，3) D.(2，3)解析把各点的坐标代入可得(1，3)不适合.答案C3.(教材习题原题)不等式组表示的平面区域是()解析x3y6
4、0表示直线x3y60及其右下方部分，xy20表示直线xy20左上方部分，故不等式表示的平面区域为选项B.答案B4.(2017全国卷)设x，y满足约束条件则z3x2y的最小值为_.解析不等式组表示的平面区域如图所示.由z3x2y得yx，当直线yx过图中点A时，纵截距最大，此时z取最小值.由解得点A(1，1)，此时z3(1)215.答案55.(2018石家庄质检)若x，y满足约束条件则z的最大值为_.解析作出不等式组表示的平面区域，如图所示阴影部分，z，表示区域内的点与原点连线的斜率，易知zmaxkOA.由得A，kOA3，zmax3.答案3考点一二元一次不等式(组)表示的平面区域【例1】 (1)不
5、等式(x2y1)(xy3)0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的()(2)若不等式组表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为()A.3 B.1C. D.3解析(1)(x2y1)(xy3)0或画出平面区域后，只有C符合题意.(2)如图，要使不等式组表示的平面区域为三角形，则2m2，则m1，由解得即A(1m，1m).由解得即B，所围成的区域为ABC，则SABCSADCSBDC(22m)(1m)(22m)(1m)(1m)2，解得m3(舍去)或m1.答案(1)C(2)B规律方法1.二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域.2.求平面区域的面积：(1
6、)首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；(2)对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和.【训练1】 (2018郑州预测)若不等式x2y22所表示的平面区域为M，不等式组表示的平面区域为N，现随机向区域N内抛一粒豆子，则豆子落在区域M内的概率为_.解析作出不等式组与不等式表示的可行域如图阴影部分所示，平面区域N的面积为3(62)12，区域M在区域N内的面积为()2，故所求概率P.答案考点二求目标函数的最值问题(
7、多维探究)命题角度1求线性目标函数的最值【例21】 (2017全国卷)设x，y满足约束条件则zxy的最大值为()A.0 B.1 C.2 D.3解析根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分(含边界)，则当目标函数zxy经过A(3，0)时取得最大值，故zmax303.答案D命题角度2求非线性目标函数的最值【例22】 (1)若变量x，y满足则x2y2的最大值是()A.4 B.9 C.10 D.12(2)(2018湘中高三联考)已知实数x，y满足则的最小值是_.解析(1)作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示(包括边界)，x2y2表示平面区域内的点与原点的距离的平方.由图易知平面区域内的点A(
8、3，1)与原点的距离最大，所以x2y2的最大值是10.(2)作出不等式组表示的平面区域，如图所示，又表示平面区域内的点与原点连线所在直线的斜率的倒数.由图知，直线OA的斜率最大，此时取得最小值，所以.答案(1)C(2)命题角度3求参数的值或范围【例23】 (2018惠州三调)已知实数x，y满足：若zx2y的最小值为4，则实数a()A.1 B.2 C.4 D.8解析作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，当直线zx2y经过点C时，z取得最小值4，所以a24，解得a2.答案B规律方法1.先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值.2.当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函
9、数的几何意义来解题，常见代数式的几何意义：(1)表示点(x，y)与原点(0，0)的距离，表示点(x，y)与点(a，b)的距离；(2)表示点(x，y)与原点(0，0)连线的斜率，表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率.3.当目标函数中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满足的条件.【训练2】 (1)(2017山东卷)已知x，y满足约束条件则zx2y的最大值是()A.0 B.2 C.5 D.6(2)(2018新乡模拟)若实数x，y满足且zmxy(m2)的最小值为，则m等于()A. B. C.1 D.解析(1)由已知得约束条件的可行域如图中阴影部分所示，故目标函数zx2y经过点C(3，4)时取最大值zmax3245.(2)作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，zmxy(m0)仅在点(3，0)处取得最大值，则a的取值范围是_.解析画出x，y满足约束条件的可行域如图所示，要使目标函数zaxy仅在点(3，0)处取得最大值，则直线yaxz的斜率应小于直线x2y30的斜率，即a.答案16.(2018安徽江南十校联考)已知实数x，y满足，则z的取值范围为_.解析作出不等式组对应的平面区域，如图阴影部分.z表示区域内的点(x，y)与A(0，1)连线的斜率k，由图可知，kmin0，kmaxkAP，P为切点，设P(x0，ln x0)，kAP，x01，kAP1，即z的取值范围为0，1.答案0，1
