1、2圆与圆的方程21圆的标准方程知识点一确定圆的条件 填一填一个圆的圆心位置和半径一旦给定，这个圆就确定了，如图所示答一答1确定圆的标准方程需要具备的条件是什么？提示：由标准方程(xa)2(yb)2r2知确定圆的标准方程需要确定三个参数a、b、r.其中圆心(a，b)是圆的定位条件，半径r是圆的定量条件知识点二圆的标准方程 填一填(1)圆的定义：到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点叫作圆的圆心，定长称为圆的半径(2)圆的标准方程：圆心为C(a，b)，半径为r的圆的标准方程是(xa)2(yb)2r2.(3)当圆心是坐标原点时，有ab0，那么圆的方程为x2y2r2.答一答2若圆的标准方程为(xm
2、)2(yn)2a2(a0)，此圆的半径一定是a吗？圆心坐标是(m，n)吗？提示：圆的半径不一定是a，当a0时，半径是a；当a0，则圆的标准方程就确定了，这就是说要确定圆的标准方程，必须具备三个独立的条件，注意确定a，b，r，可以根据条件利用待定系数法来解决知识点三点与圆的位置关系 填一填设点P到圆心的距离为d，半径为r，则点在圆内dr.答一答4判断点和圆的位置关系的依据是什么？提示：判断点与圆的位置关系的依据是圆心到该点的距离和圆的半径的大小关系1对于圆的标准方程，我们要从其结构形式上准确地记忆2由圆的标准方程，可直接得到圆的圆心坐标和半径大小；反过来说，给出了圆的圆心和半径，即可直接写出圆的
3、标准方程，这一点体现了圆的标准方程的直观性3确定圆的标准方程需要三个独立的条件，一般运用待定系数法求a，b，r.类型一 根据方程确定圆心和半径 【例1】分别写出下列方程所表示圆的圆心坐标和半径(1)(x2)2(y2)28；(2)(x4)2y24；(3)(xm)2(yn)2p2.【思路探究】利用圆的标准方程的几何特征解答【解】(1)原方程可化为(x2)2(y2)2(2)2，圆心坐标为(2,2)，半径r2.(2)原方程可化为x(4)2(y0)222，圆心坐标为(4,0)，半径r2.(3)原方程可化为x(m)2(yn)2p2，圆心坐标为(m，n)，半径r|p|.规律方法 由圆的标准方程可直接得出圆心
4、坐标和半径，但要注意圆的标准方程(xa)2(yb)2r2中，a，b前的运算符号均为减号给定圆：(x2)2(y8)2(3)2，下列说法中正确的是(C)A圆心坐标是(2，8)，半径长为3B圆心坐标是(2,8)，半径长为3C圆心坐标是(2，8)，半径长为3D圆心坐标是(2,8)，半径长为3解析：对照圆的标准方程(xa)2(yb)2r2(r0)，知圆心坐标是(2，8)，半径长不可能是负数，故为3.类型二 判断点与圆的位置关系 【例2】已知两点P(3,8)，Q(5,4)，试分别判断点M(6，3)，N(3,5)在以线段PQ为直径的圆上，圆内，还是圆外？【解】线段PQ的中点为C(4,6)，|PQ|2，圆的半
5、径r，以线段PQ为直径的圆的标准方程为(x4)2(y6)25.由于(64)2(36)2135，点M在圆外由于(34)2(56)22r点M在圆外；|CM|r2点M在圆外；(ma)2(nb)225，点N在圆C外(3)(2)2(3)217225，点P在圆C内类型三 求圆的标准方程 【例3】求经过两点A(1,4)，B(3,2)且圆心在y轴上的圆的标准方程【思路探究】用待定系数法，求出圆心(a，b)、半径r.也可用几何法【解】解法一：圆心在y轴上，a0.设圆的标准方程是x2(yb)2r2.该圆经过A、B两点，所以圆的标准方程是x2(y1)210.解法二：线段AB的中点为(1,3)，kAB，弦AB的垂直平
6、分线方程为y32(x1)，即y2x1.由得(0,1)为所求圆的圆心由两点间距离公式得圆半径r为，所求圆的标准方程为x2(y1)210.规律方法 求圆的标准方程就是要求圆心坐标和圆的半径，解法一是先设出圆的标准方程，而后用待定系数法求出圆心坐标和圆半径，解法二抓住圆的性质及题目的特点，求出线段AB的垂直平分线方程并与y轴的方程联立组成方程组，先得出了圆心的坐标，而后求出圆的半径已知一个圆经过两个点A(2，3)和B(2，5)，且圆心在直线l：x2y30上，求此圆的标准方程解：解法一：设所求圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2.由已知条件得即所求圆的标准方程为(x1)2(y2)210.解法二：由A
7、(2，3)，B(2，5)得AB的中点为(0，4)，kAB，AB的垂直平分线的方程为y42x，即2xy40，解方程组得圆心为(1，2)，半径r.故所求圆的标准方程为(x1)2(y2)210.解法三：设点C是圆心，点C在直线l上，设点C(2b3，b)又|CA|CB|，解得b2，圆心为C(1，2)，半径r，故所求圆的标准方程为(x1)2(y2)210.规范解答系列数形结合解决与圆有关的最值问题【例4】设点P(x，y)是圆x2(y4)24上任意一点，求的最大值【精解详析】因为点P(x，y)是圆x2(y4)24上的任意一点，因此表示点(1,1)与该圆上点的距离，如图所示易知点(1,1)在圆x2(y4)2
8、4外，结合右图易得的最大值为22.【解后反思】用数形结合的思想方法也能求出的最小值为2.求圆外一定点A与圆C上动点P连线距离的最值方法：设|AC|d，圆C半径为r，则|AP|maxdr，|AP|mindr；求圆内一定点A与圆C上动点P连线距离的最值方法：设|AC|d，圆C半径为r，则|AP|maxdr，|AP|minrd.已知点P(x，y)在圆(x2)2(y3)236上，求的取值范围解：，其最值可视为圆上一点P(x，y)到定点A(1,2)的距离的最值，又(12)2(23)236，所以点A在圆内，问题可转化为圆心C(2，3)到定点A(1,2)的距离与半径6的和或差又圆心到定点(1,2)的距离为，所以的最大值为6，最小值为6.所以的取值范围是6，6一、选择题1点A(2,3)与圆(x3)2(y1)29的位置关系是(B)A在圆外B在圆内C在圆上 D不确定解析：圆心坐标为C(3,1)，半径r3，|AC|26，即a1.三、解答题4已知圆的圆心M是直线2xy10与直线x2y20的交点，且圆过点P(5,6)求圆的标准方程，并判断点A(2，2)，B(1,8)，C(6,5)是在圆上，在圆内，还是在圆外？解：解方程组得圆心M的坐标为(0,1)半径r|MP|5.圆的标准方程为x2(y1)250.|AM|r，点C在圆外圆的标准方程为x2(y1)250.点A在圆内，点B在圆上，点C在圆外
