1、3.1.5空间向量运算的坐标表示学 习 目 标核 心 素 养1掌握空间向量运算的坐标表示，并会判断两个向量是否共线或垂直(重点)2掌握空间向量的模，夹角公式和两点间距离公式，并能运用这些公式解决简单几何体中的问题(重点、难点)1通过空间向量的坐标运算及空间向量夹角及长度的学习，培养学生的数学运算核心素养2借助利用空间向量的坐标运算解决平行、垂直问题，提升学生的数学运算及逻辑推理的核心素养1空间向量运算的坐标表示设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，空间向量的坐标运算法则如下表所示：运算坐标表示加法ab(a1b1，a2b2，a3b3)减法ab(a1b1，a2b2，a3b3)数乘a(a
2、1，a2，a3)，R数量积aba1b1a2b2a3b32空间向量的平行、垂直、模与夹角公式的坐标表示设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则平行(ab)ab(b0)ab垂直(ab)abab0a1b1a2b2a3b30(a，b均为非零向量)模|a|夹角公式cosa，b思考：若a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则ab一定有成立吗？提示当b1，b2，b3均不为0时，成立3向量的坐标及两点间的距离公式在空间直角坐标系中，设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则(1)(a2a1，b2b1，c2c1)；(2)dAB|1已知向量a(3,2,5)，b(1,5，1)，则4a
3、2b等于()A(10，18，18)B(10,18,18)C(14，2,22) D(14,2，22)B4a(12,8,20)，2b(2,10，2)，4a2b(10,18,18)2已知向量a(1,1,0)，b(1,0,2)，且kab与2ab互相垂直，则k()A1 B C DDkab(k1，k,2)，2ab(3,2，2)，且(kab)(2ab)3(k1)2k40，解得k3若A(1,2,3)，B(2,1,4)，C(m，n,1)三点共线，则mn_3(3，1,1)，(m1，n2，2)A，B，C三点共线，存在实数，使得即(m1，n2，2)(3，1,1)(3，)，解得2，m7，n4mn34已知a(，2，)，b
4、(3，6,0)，则|a|_，a与b夹角的余弦值等于_3|a|3，cosa，b空间向量的坐标运算【例1】(1)若向量a(1,1，x)，b(1,2,1)，c(1,1,1)满足条件(ca)2b2，则x_(2)已知O是坐标原点，且A，B，C三点的坐标分别是(2，1,2)，(4,5，1)，(2,2,3)，求适合下列条件的点P的坐标；()；()(1)2ca(0,0,1x)，2b(2,4,2)，由(ca)2b2得2(1x)2，解得x2(2)解：(2,6，3)，(4,3,1)()(6,3，4)，则点P的坐标为设P(x，y，z)，则(x2，y1，z2)()，解得x5，y，z0，则点P的坐标为1一个向量的坐标等于
5、表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标2在确定了向量的坐标后，使用空间向量的加减、数乘、数量积的坐标运算公式进行计算就可以了，但要熟练应用下列有关乘法公式：(1)(ab)2a22abb2；(2)(ab)(ab)a2b21已知a(2，1，2)，b(0，1,4)求：(1)ab；(2)ab；(3)ab；(4)2a(b)；(5)(ab)(ab)解(1)ab(2，1，2)(0，1,4)(20，11，24)(2，2,2)(2)ab(2，1，2)(0，1,4)(20，1(1)，24)(2,0，6)(3)ab(2，1，2)(0，1,4)20(1)(1)(2)47(4)2a(4，2，4)，2a(b)(4，
6、2，4)(0,1，4)40(2)1(4)(4)14(5)(ab)(ab)a2b2414(0116)8利用向量的坐标运算解决平行、垂直问题【例2】正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱D1D的中点，P，Q分别为线段B1D1，BD上的点，且3，若PQAE，求的值思路探究：解如图所示，以D为原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A(1,0,0)，E，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)，由题意，可设点P的坐标为(a，a,1)，因为3，所以3(a1，a1,0)(a，a,0)，所以3a3a，解得a，所以点P的坐标为由题意可设点Q的坐标为(
7、b，b,0)，因为PQAE，所以0，所以0，即0，解得b，所以点Q的坐标为，因为，所以(1，1,0)，所以1，故4向量平行与垂直问题主要有两种题型：(1)平行与垂直的判断；(2)利用平行与垂直求参数或解其他问题，即平行与垂直的应用.解题时要注意：适当引入参数(比如向量a，b平行，可设ab)，建立关于参数的方程；最好选择坐标形式，以达到简化运算的目的.2已知空间向量a(1,2，3)，b(2，4，x)，c(4，y,6)(1)若ma，且|m|2，求向量m；(2)若ac，求实数y的值；(3)若(2ab)(a3b)，求实数x的值解(1)由于ma，可设ma(1,2，3)(，2，3)因为|m|2，所以2，即
8、22，解得故m(，2，3)或m(，2，3)(2)因为ac，所以ac0，即42y180，解得y11(3)由已知得2ab(4,8，6x)，a3b(5，10,3x3)，而(2ab)(a3b)，所以，解得x6空间向量夹角与长度的计算探究问题1已知A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则线段AB的中点P的坐标是多少？提示P2设异面直线AB，CD所成的角为，则cos cos，一定成立吗？提示当cos，0时，cos cos，当cos，0，则()A2B3C4 D5Bab(0，1,1)(4,1,0)(4,1，)，由已知得|ab|，且0，解得32已知点A(1,3,1)，B(1,3,4)，若2，则点P的坐
9、标是_(1,3,3)设点P(x，y，z)，则由2，得(x1，y3，z1)2(1x,3y,4z)，则解得即P(1,3,3)3若a(2,3，1)，b(2,1,3)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为_6ab2(2)31(1)34，|a|，|b|，cosa，bsina，b因此以a，b为邻边的平行四边形的面积为|a|b|sina，b64已知向量a(1,2，2)，b(2，4,4)，c(2，x，4)(1)判断a，b的位置关系；(2)若ac，求|c|；(3)若bc，求c在a方向上的投影的长解(1)因为a(1,2，2)，b(2，4,4)，所以b2a，所以ab(2)因为ac，所以，解得x4所以c(2,4，4)，从而|c|6(3)因为bc，所以bc0，即(2，4,4)(2，x，4)44x160，解得x5，所以c(2，5，4)所以c在a方向上的投影的长为|c|cosa，c|c|0
