1、32.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)内容标准学科素养1.理解函数的和、差、积、商的求导法则2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数.提升逻辑推理及数学运算授课提示：对应学生用书第59页基础认识知识点一函数和、差的导数若h(x)f(x)g(x)，I(x)f(x)g(x)，那么h(x)，I(x)分别与f(x)，g(x)有什么关系？提示：设f(x)，g(x)是可导的yh(xx)h(x)f(xx)g(xx)f(x)g(x)f(xx)f(x)g(xx)g(x)fgli lim f(x)g(x)即h(x)f(x)g(x)f(x)g(x)同理可证I(x)f(
2、x)g(x)f(x)g(x) 知识梳理和、差的导数f(x)g(x)f(x)g(x)特别提醒：两个导数的和差运算只可推广到有限个函数的和差的导数运算知识点二函数积、商的导数知识梳理(1)函数积的导数f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)(2)函数商的导数(g(x)0)(3)常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数，即cf(x)cf(x)自我检测1函数y(1)(1)的导数等于()A1BC. D答案：A2已知f(x)exln x，则f(x)()A. BexC. D.ln x答案：C授课提示：对应学生用书第59页探究一利用导数四则运算法则求导阅读教材P84例2根据基本初等函数的导数公式和导
3、数运算法则，求函数yx32x3的导数题型：运用导数的运算法则求导方法步骤：由基本函数的导数公式知(x3)3x2，x1,30.由导数的运算法则得y3x22.例1求下列函数的导数：(1)yx3ex；(2)yxsin cos ；(3)yx2log3x；(4)y.解析(1)y(x3)exx3(ex)3x2exx3exx2(3x)ex.(2)yxsin x，yx(sin x)1cos x.(3)y(x2log3x)(x2)(log3x)2x.(4)y.方法技巧利用导数运算法则求解的策略(1)分析求导式符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定求导法则、基本公式(2)如果求导式比较复
4、杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等(3)利用导数法则求导的原则是尽可能化为和、差，利用和、差的求导法则求导，尽量少用积、商的求导法则求导跟踪探究1.求下列函数的导数：(1)y；(2)yxsin x；(3)y；(4)ylg x.解析：(1)y.(2)y(xsin x)()sin xxcos x.(3)y2，y.(4)y(lg x).探究二导数运算法则的综合应用阅读教材P84例3日常生活中的饮用水通常是经过净化的随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加已知将1吨水净化到纯净度为x%时所需费用(单位：元)为c(x)(80x100
5、)求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：(1)90%；(2)98%.题型：导数的应用方法步骤：利用商的求导法则求出C(x)再将90,98分别代入C(x)即得到所求例2(1)设曲线y在点处的切线与直线xay10垂直，则a_.解析y，当x时，y1，直线xay10的斜率是，由题意1，所以a1.答案1(2)已知函数f(x)2xf(1)，试比较f(e)与f(1)的大小关系解析由题意得f(x)2f(1)，令x1，得f(1)2f(1)，即f(1)1.所以f(x)2x，得f(e)2e2e，f(1)2，由f(e)f(1)2e20，得f(e)f(1)方法技巧1.与切线有关的问题往往涉及切点、切点处的导数
6、、切线方程三个主要元素其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系2准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确3分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点跟踪探究2.设函数f(x)g(x)x2，曲线yg(x)在点(1，g(1)处的切线方程为y2x1，则曲线yf(x)在点(1，f(1)处切线的斜率为_解析：因为曲线yg(x)在点(1，g(1)处的切线方程为y2x1，由导数的几何意义知g(1)2，又因为f(x)g(x)x2，所以f(x)g(x)2xf(1)g(1)24，所以yf(x)在点(1，f(1)处切线的斜率为4.答案：4
7、3已知函数f(x)的导函数为f(x)，且满足f(x)2exf(1)3ln x，则f(1)等于()A3B2eC. D.解析：f(x)2exf(1)f(1)2ef(1)3f(1)，故选D.答案：D授课提示：对应学生用书第60页课后小结求函数的导数要准确把函数分割为基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式对于不具备导数运算法则结构形式的要进行适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题素养培优1未能区分好变量与常量而致错求f(x)axcos a的导数(其中a为常数)易错分析本题错在忽视变量ax与常量cos a的不同，常量的导数应为0.考查数学运算的学科素养自我纠正f(x)axln a.2导数的四则运算记忆不准确致误求下列函数的导数(1)f(x)；(2)f(x)x2cos x.易错分析求导时没能准确地运用商和积的运算法则致误考查数学运算的学科素养自我纠正(1)f(x).(2)f(x)(x2)cos xx2(cos x)2xcos xx2sin x.
