1、第2课时椭圆的标准方程及性质的应用学 习 目 标核 心 素 养1.进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用，会判断直线与椭圆的位置关系(重点)2.能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题(难点)借助直线与椭圆的位置关系，培养学生直观想象与数学运算的素养.1点与椭圆的位置关系点P(x0，y0)与椭圆1(ab0)的位置关系：点P在椭圆上1；点P在椭圆内部1.2直线与椭圆的位置关系直线ykxm与椭圆1(ab0)的位置关系：联立消去y得一个关于x的一元二次方程位置关系解的个数的取值相交两解0相切一解0相离无解0直线与椭圆相交；0直线与椭圆相切；0直线与椭圆相离.提醒：注意方程组的解与交点个数之间
2、的等价关系.1若直线ykx2与椭圆1相切，则斜率k的值是()ABCDC由得(3k22)x212kx60，由题意知144k224(3k22)0，解得k.2直线ykxk1(kR)与焦点在x轴上的椭圆1总有公共点，则m的取值范围是_直线yk(x1)1恒过定点P(1,1)，直线与椭圆总有公共点等价于点P(1,1)在椭圆内或在椭圆上所以1，即m，又0mb0)上的两个不同的点，M(x0，y0)是线段AB的中点，则由，得(xx)(yy)0，变形得，即kAB.3已知点P(4,2)是直线l被椭圆1所截得的线段的中点，则直线l的方程为_x2y80由题意可设直线l的方程为y2k(x4)，而椭圆的方程可以化为x24y
3、2360.将直线方程代入椭圆方程有(4k21)x28k(4k2)x4(4k2)2360.设直线l与椭圆的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，所以x1x28，所以k.所以直线l的方程为y2(x4)，即x2y80.4已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，点(2，)在C上(1)求C的方程；(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值解(1)由题意可知解得a28，b24，椭圆C的标准方程为1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)，则得0，kAB.又kOM，kABkOM.直线OM的斜率与直线l的
4、斜率的乘积为定值.与椭圆有关的综合问题探究问题1过(1,0)的直线有多少条？是否可以用yk(x1)表示出来？提示：无数条不可以，直线yk(x1)不表示x1的直线2直线xky1过哪个定点，是否表示过该点的所有直线？提示：直线xky1表示过定点(1,0)且斜率不为0的直线，即不包含直线y0.【例3】已知椭圆y21，右焦点为F.直线l经过点F，与椭圆交于点A，B，且|AB|.(1)求直线l的方程；(2)求OAB的面积思路点拨设出直线方程，联立方程组，消元后利用根与系数的关系表示弦长，从而求出直线方程解(1)易知右焦点F(1,0)当直线斜率不存在时，方程为x1；截得弦长为2.故不合题意即直线l的斜率存
5、在设直线l的方程为yk(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，得(12k2)x24k2x2k220，x1x2，x1x2.|AB|，解得k21，即k1.所以直线方程为xy10或xy10，(2)原点到直线的距离d，所以SOAB|AB|d.解决与椭圆有关的综合问题的思路直线与椭圆的综合问题常与不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等知识联系在一起综合考查，解决这类问题常需要挖掘出题目中隐含的数量关系、垂直关系等，然后利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式进行合理的转化，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件.5椭圆的两个焦点坐标分别为F1(，0)和F2(，0)，且椭圆过点.(
6、1)求椭圆方程；(2)过点作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于M，N两点，A为椭圆的左顶点，试判断MAN的大小是否为定值，并说明理由解(1)由题意设椭圆方程为1(ab0)，由c，a2b2c2，代入方程得1，椭圆过点，得1，解得b21，a24.椭圆的方程为y21.(2)设直线MN的方程为xky，联立直线MN和椭圆的方程可得得(k24)y2ky0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，A(2,0)，y1y2，y1y2，则(x12，y1)(x22，y2)(k21)y1y2k(y1y2)0，即可得MAN.MAN的大小为定值.解决直线与椭圆的位置关系问题，经常利用设而不求的方法，解题步骤为：(1)设直线与椭
7、圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)；(2)联立直线与椭圆的方程；(3)消元得到关于x或y的一元二次方程；(4)利用根与系数的关系设而不求；(5)把题干中的条件转化为x1x2，x1x2或y1y2，y1y2，进而求解1判断正误(1)若点P(x0，y0)在椭圆1的内部，则有b0)不一定相交()(3)过点(3,0)的直线有且仅有一条与椭圆1相切()答案(1)(2)(3)2已知直线l：xy30，椭圆y21，则直线与椭圆的位置关系是()A相交B相切C相离D相切或相交C由得5x224x320，(24)2453264b0)依题意，有a2b2(5)250.由消去y并整理，得(a29b2)x212b2x4b2a2b20.因为，所以.所以a23b2.由，得a275，b225.经检验，此时0.所以椭圆方程为1.
