1、14全称量词与存在量词14.1全称量词 14.2存在量词 14.3含有一个量词的命题的否定内容标准学科素养1.理解全称量词、存在量词的含义2.掌握全称命题与特称命题的真假判断3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.应用直观想象发展逻辑推理提升数学运算授课提示：对应学生用书第13页基础认识知识点一全称量词与全称命题什么是命题？命题的结构形式是什么？提示：命题是可以判断真假的陈述句，命题由条件和结论构成下列语句是命题吗？(1)与(3)，(2)与(4)之间有什么关系？(1)x3；(2)2x1是整数；(3)对所有的xR，x3；(4)对任意一个xZ,2x1是整数提示：语句(1)(2)含有变量x，由于不
2、知道变量x代表什么数，无法判断它们的真假，因而不是命题语句(3)在(1)的基础上，用短语“对所有的”对变量x进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用短语“对任意一个”对变量x进行限定，从而使(3)(4)成为可以判断真假的语句，因此语句(3)(4)是命题 知识梳理全称量词与全称命题(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题(3)全称命题的表述形式：对M中任意一个x，有p(x)成立，可简记为：xM，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”(4)全称命题的真假判断：要判断一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素
3、x，验证p(x)成立；但要判断一个全称命题是假命题，只需列举出一个x0M，使得p(x0)不成立即可知识点二存在量词与特称命题下列语句是命题吗？(1)与(3)，(2)与(4)之间有什么关系？(1)2x13；(2)x能被2和3整除；(3)存在一个x0R，使2x013；(4)至少有一个x0Z，x0能被2和3整除提示：容易判断，(1)(2)不是命题语句(3)在(1)的基础上，用短语“存在一个”对变量x的取值进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用“至少有一个”对变量x的取值进行限定，从而使(3)(4)变成了可以判断真假的语句，因此语句(3)(4)是命题 知识梳理存在量词与特称命题(1)短语“存在一个”
4、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示(2)含有存在量词的命题，叫做特称命题(3)特称命题的表述形式：存在M中的一个x0，使p(x0)成立，可简记为：x0M，p(x0)，读作“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”(4)特称命题的真假判断：要判断一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x0，使得命题p(x0)成立即可；否则这一命题就是假命题知识点三含有一个量词的命题的否定命题“所有的四边形都是平行四边形”的否定是“所有的四边形都不是平行四边形”吗？若不是，应怎样写出？其含义是什么？提示：由p与綈p的真假性相反可知，不是该命题的否定是：并非所有的四边形都是平行四边形
5、其含义是“存在一个”四边形“不是平行四边形”写出下列命题的否定：(1)所有的矩形都是平行四边形；(2)每一个素数都是奇数；(3)xR，x22x10.这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？提示：命题(1)的否定是“并非所有的矩形都是平行四边形”，也就是说，存在一个矩形不是平行四边形；命题(2)的否定是“并非每一个素数都是奇数”，也就是说，存在一个素数不是奇数；命题(3)的否定是“并非所有的xR，x22x10”，也就是说，x0R，x2x010. 知识梳理全称命题与特称命题的否定命题类型全称命题特称命题形式xM，p(x)x0M，p(x0)否定x0M，綈p(x0)xM，綈p(x)结论全称命题的否定是
6、特称命题特称命题的否定是全称命题自我检测1给出下列命题：平行四边形的对角线互相平分；梯形有两边平行；存在一个菱形，它的四条边不相等其中全称命题的个数为()A0B1C2 D3答案：C2下列命题中，既是真命题又是特称命题的是()A存在一个，使tan tan(90)B存在实数x0，使sin x0C对一切，使sin sin(180)Dsin()sin cos cos sin 答案：A3命题“存在一个三角形，内角和不等于180”的否定为()A存在一个三角形的内角和等于180B所有三角形的内角和都等于180C所有三角形的内角和都不等于180D很多三角形的内角和不等于180答案：B授课提示：对应学生用书第1
7、5页探究一全称命题和特称命题的概念及真假判断阅读教材P2223例1、例2判断下列全称命题和特称命题的真假：(1)所有的素数是奇数；(2)xR，x211；(3)对每一个无理数x，x2也是无理数；(4)x0R，x2x030；(5)存在两相交平面垂直于同一条直线；(6)有些整数只有两个正因数题型：全称命题真假的判断方法步骤：要判断全称命题“xM，p(x)”是真命题，需要对M中的每个元素x证明p(x)成立如果在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题例1判断下列命题是全称命题还是特称命题：(1)凸多边形的外角和等于360；(2)有的向量方向不定；(3)对任意角，都有s
8、in2cos21；(4)有些素数的和仍是素数；(5)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直解析(1)可以改写为所有的凸多边形的外角和都等于360，故为全称命题(2)含有存在量词“有的”，故为特称命题(3)含有全称量词“任意”，故为全称命题(4)含有存在量词“有些”，故为特称命题(5)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称命题例2判断下列命题的真假：(1)p：任意等比数列的公比不能等于0；(2)q：存在等差数列，其前n项和Snn22n1；(3)r：xR，sin xcos x1；(4)s：x0R，x2x030，所以不存在x0R，使x2x030，故命题为假命题方法技巧1.判定一个命
9、题是全称命题还是特称命题时，主要方法是看命题中是否含有全称量词或存在量词当然有些全称命题中并不含全称量词，这时要根据命题所涉及的意义去判断2全称命题与特称命题真假的判断方法：(1)要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x证明p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)(2)要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x0使p(x0)成立即可；否则，这个特称命题就是假命题跟踪探究1.将下列命题用“”或“”表示：(1)实数的平方是非负数；(2)方程ax22x10(a1)至少存在一个
10、负根；(3)若直线l垂直于平面内任一直线，则l.解析：(1)xR，x20.(2)x00，ax2x010(a；(2)，cos()cos cos ；(3)存在一个函数既是偶函数又是奇函数；(4)每一条线段的长度都能用正有理数表示解析：(1)真命题，x2x1x2x20，x2x1恒成立(2)真命题，例如，符合题意(3)真命题，函数f(x)0既是偶函数又是奇函数(4)假命题，如：边长为1的正方形的对角线长为，它的长度就不是有理数探究二含有一个量词的命题的否定阅读教材P2425例3、例4写出下列命题的否定：(1)p：所有能被3整除的整数都是奇数；(2)p：每一个四边形的四个顶点共圆；(3)p：对任意xZ，
11、x2的个位数字不等于3；(4)p：x0R，x2x020；(5)p：有的三角形是等边三角形；(6)p：有一个素数含三个正因数类型：全称命题和特称命题的否定方法步骤：先确定命题是全称命题还是特称命题根据全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，正确地写出命题的否定例3写出下列命题的否定，并判断其真假：(1)p：xR，x2x0；(2)q：所有的正方形都是矩形；(3)r：xR，x23x70；(4)s：至少有一个实数x，使x310.解析(1)綈p：xR，x2x0，是真命题xR，x23x720恒成立，綈r是真命题(4)綈s：xR，x310，是假命题当x1时，x310，綈s是假命题方法技巧对全称命
12、题和特称命题进行否定的步骤与方法(1)确定类型：是特称命题还是全称命题(2)改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词；把存在量词换为恰当的全称量词(3)否定性质：原命题中“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等注意：无量词的全称命题要先补回量词再否定跟踪探究3.写出下列命题的否定，并判断其真假(1)p：不论m取何实数，方程x2xm0必有实数根；(2)q：存在一个实数x0使得xx010；(3)s：对任意角，都有sin2cos21.解析：(1)綈p：至少存在一个实数m0，方程x2xm00无实数根，真命题(2)綈q：所有的实数x，都有x2x10，真命题(3)綈s：存在一
13、个角0，使得sin20cos201，假命题探究三全称命题与特称命题的应用例4(1)命题p：xR，sin xcos xm，若命题p是真命题，求实数m的取值范围；(2)命题q：x0R，sin x0cos x0m，若命题q是真命题，求实数m的取值范围解析令f(x)sin xcos xsin 2x，xR，f(x).(1)若命题p是真命题，则m.(2)若命题q是真命题，则m.方法技巧含有一个量词的命题与参数范围的求解策略(1)对于全称命题“xM，af(x)(或af(x)max(af(x0)(或af(x)min(或a0对于任意xR恒成立，并说明理由；(2)若存在一个实数x0，使不等式mf(x0)0成立，求
14、实数m的取值范围解析：(1)不等式mf(x)0可化为mf(x)，即mx22x5(x1)24.要使m(x1)24对于任意xR恒成立，只需m4即可故存在实数m，使不等式mf(x)0对于任意xR恒成立，此时，只需m4.(2)不等式mf(x0)0可化为mf(x0)，若存在一个实数x0，使不等式mf(x0)成立，只需mf(x)min.又f(x)(x1)24，f(x)min4，m4.所求实数m的取值范围是(4，)授课提示：对应学生用书第16页课后小结(1)判定一个命题是全称命题还是特称命题的主要方法是看命题中含有哪种量词，判定时要特别注意省略量词的全称命题(2)要判定一个全称命题为真命题，必须对限定集合M
15、中的每一个元素x验证p(x)成立，要判定其为假命题，只要举出一个反例即可；对特称命题真假的判定方法正好与之相反(3)全称命题与特称命题的否定，其模式是固定的，即把相应的全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词，并把命题的结论加以否定(4)利用全称命题和特称命题的真假求参数的取值范围问题时，转化恒成立或有解的数学问题来解决素养培优1对含有一个量词的命题进行否定时，未改变量词致误写出命题“xR，若y0，则x2y0”的否定易错分析写已知命题的否定时，没有改变量词，只改变结论致误考查直观想象的学科素养自我纠正该命题的否定为：x0R，若y00，则xy00.2对含有一个量词的命题进行否定时，改变条件致误命题p：x09的否定綈p为_易错分析写已知命题的否定时，既改变了命题的条件，也改变了命题的结论致误考查直观想象和逻辑推理的学科素养自我纠正原命题的否定为：x3，x29.答案：x3，x29
