1、北京市门头沟区2021届高三一模数学试题数 学2021.3考生须知1.本试卷共5页。请将条形码粘贴在答题卡相应位置处。2.试卷所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。3.请使用2B铅笔填涂，用黑色字迹签字笔或钢笔作答。4.考试时间120分钟，试卷满分150分。一、选择题共10个小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.复数zi（1i） 的模| z |（A）（B）2（C）1（D）2.集合Ax|x0，Bx| x |2, 则AB（A）R（B）2,）（C）（0,2（D）（0,）3.二项式展开式中，x4的系数是（A） 40（B） 10（C） 40（D）
2、 104.某四棱锥的三视图如图所示，则此四棱锥最长的棱长为（A） 2（B） （C） 4（D）5.数列an中，a11,an12an，数列bn满足bn| an |，则数列bn的前n项和Sn（A） （B） （C） （D） 6.京西某游乐园的摩天轮采用了国内首创的横梁结构，风格更加简约，摩天轮直径88米，最高点A距离地面100米，匀速运行一圈的时间是18分钟.由于受到周边建筑物的影响，乘客与地面的距离超过34米时，可视为最佳观赏位置，在运行的一圈里最佳观赏时长为（A）10分钟（B）12分钟（C）14分钟（D）16分钟7. ln(x1)0的一个必要而不充分条件是（A） 1x（B） x0（C） 1x0（D
3、） x08.在平面直角坐标系xOy中，角a与角均以Ox为始边，它们的终边关于x轴对称.若，则cos（a）（A）（B）（C）1（D）9.已知抛物线C:y22px的焦点为F，点A为抛物线C上横坐标为3的点，过点A的直线交x轴的正半轴于点B，且ABF为正三角形，则p（A） 1（B） 2（C） 9（D） 1810.在平面直角坐标系中，从点P（3,2）向直线kxy2k0作垂线，垂足为M，则点Q（2,4）与点M的距离|MQ|的最小值是（A）（B）（C） （D） 17二、填空题共5小题，每小题5分，满分25分。11.在ABC中，B，AB1，BC2，则AC的长为 .12.在边长为2的正方体ABCDA1B1C1
4、D1中，点M是该正方体表面及其内部的一动点，且BM/平面AD1C，则动点M的轨迹所形成区域的面积是 .13.已知双曲线C的中心在坐标原点，且经过点P（,），下列条件中哪一个条件能确定唯一双曲线C, 该条件的序号是 ；满足该条件的双曲线C的标准方程是 .条件:双曲线C的离心率e2；条件:双曲线C的渐近线方程为y；条件:双曲线C的实轴长为2.14.函数在区间上单调，且，则的最小值为_.15.正ABC的边长为1，中心为O，过O的动直线l与边AB，AC分别相交于点M、N，.给出下列四个结论：若，则不是定值，与直线1的位置有关AMN与ABC的面积之比的最小值为.其中所有正确结论的序号是_.三、解答题共6
5、小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16.（本小题共12分）第24届冬季奥运会将于2022年2月在北京和张家口举办，为了普及冬奥知识，京西某校组织全体学生进行了冬奥知识答题比赛，从全校众多学生中随机选取了20名学生作为样本，得到他们的分数统计如下：分数段30,40)40,50)50,60)60,70)70,80)80,90)90,100人数1228331我们规定60分以下为不及格；60分及以上至70分以下为及格；70分及以上至80分以下为良好；80分及以上为优秀。（）从这20名学生中随机抽取2名学生，恰好2名学生都是优秀的概率是多少?（II）将上述样本统计中的频率视为概率，
6、从全校学生中随机抽取2人，以X表示这2人中优秀人数，求X的分布列与期望。17.（本小题共15分）如图，在四棱锥PABCD中，底面4BCD为菱形，ABPA，PA底面ABCD,ABC，E是PC上任一点，ACBDO.（I）求证：平面EBD平面PAC；（II）若E是PC的中点，求ED与平面EBC所成角的正弦值.18.（本小题共13分）己知各项均为正数的数列an，其前n项和为Sn，数列bn为等差数列，满足b212,b530.再从条件、条件这两个条件中选择一个作为己知，求解下列问题：（I）求数列an的通项公式an和它的前n项和Sn；（II）若对任意nN*不等式kSn bn恒成立，求k的取值范围.条件条件a
7、19，当n2，a22，an+1an2注：如果选择条件、条件分别解答，按第一个解答计分。19.（本小题共15分）曲线C上任一点M(x,y)到点F1(-1,0)，F2(-1,0)距离之和为，点是曲线C上一点，直线l过点P且与直线垂直，直线l与x轴交于点Q.（I）求曲线C的方程及点Q的坐标（用点的坐标表示）；（II）比较与的大小，并证明你的结论.20.（本小题共15分）已知函数.（I）若曲线yf(x)在（0,）上单调递增，求a的取值范围；（II）若f(x)在区闻（0,）上存在极大值M，证明：M.21.（本小题满分15分）对于一个非空集合A，如果集合D满足如下四个条件：；，若且，则ab；，若且，则，则
8、称集合D为A的一个偏序关系。（I）设A1,2,3，判断集合D(1,1),(1,2)(2,2),(2,3),(3,3)是不是集合A的偏序关系，请你写出一个含有4个元素且是集合A的偏序关系的集合D；（II）证明：R(a,b)|aR,bR,ab是实数集R的一个偏序关系：（III）设E为集合A的一个偏序关系，a,bA.若存在cA,使得（c,a）E,（c,b）E，且，若，(d,b)E，一定有(d,c)E，则称c是a和b的交，记为cab.证明：对A中的两个给定元素a,b,若ab存在，则一定唯一.北京市门头沟区2021届高三一模数学试题参考答案一、选择题（本大题共10个小题,每小题4分,共40分。在每小题给
9、出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.解答：答案选A.2.解答：答案选C.3.解答：由通项公式得：含有的系数是，答案选A. 4.解：答案D.根据直观图不难得出最长的棱长为5.解答：数列为等比数列，数列的前项和答案选C.6.解：答案B.法一：角速度为，最佳观赏期的圆心角为，在运行的一圈里最佳观赏时长为法二：角速度为，点到从最下端开始运动，运行中到地面距离为，最佳观赏期的时长为12分钟. 7. 解答：答案为D.设的解集为，它的必要条件的集合为，则是的真子集.8.解答：答案B.由题意得：，代入得：，快速解法（口算的水平）：由三角函数定义、二倍角公式可得9.解：由题意可知，当在焦点的右侧时，
10、当在焦点的左侧时，同理可得，此时点在轴的负半轴，不合题意.10.解：答案A.直线过定点，可知点是在以为直径的圆上，可得：，答案为A.二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分. ）11.由余弦定理得：12.解：答案为.平面平行平面，所以点的轨迹是三角形及其内部.所以的面积为13.解：不能唯一确定双曲线，能唯一确定双曲线，设双曲线为，点代入得：注：第一空2分，第二空3分.14.解由题意得：是它的一个称中心，最小值为1.15.其中所有正确结论的序号是 .解：，可得正确，显然正确，又因为，三点共线所以，是定值，可得不正确设，由均值不等得,由得：，当且仅当时，正确.本题给出的结论中，有多个符合
11、要求，全部选对得5分，不选或有选错得0分，其它得3分.三、解答题：（本大题共6小题，满分85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明）16.解：（）设恰好2名学生都是优秀这一事件为A1分2分注：如果没有设，给出了答也给1分（）设每名同学为优秀这一事件为，由题意可得2分可取0，1，21分3分0121分2分17.解：（）（1）1分底面菱形，可得（2）1分又由（1），（2）可得，2分，平面平面2分（）若是的中点，连结，则1分所以，两两垂直，建立如图所示的坐标系1分不妨设，则2分设平面的法向量为，1分直线的方向向量1分2分直线与平面所成角的正弦值为1分18.选择解：（）得：当时，1分当时， （1）（2）
12、两式相减得：2分而，可得：，数列为等差数列1分，1分1分（）设，代入得：2分由得：1分设，则是递减数列2分所以，当，达到最大1分所以，的取值范围为1分选择解：（）当， ，1分当，1分所以，1分2分（）设，代入得：2分由得：2分设，3分综上所述，的取值范围1分19.解：（）由题意可知，曲线是焦点在轴上的椭圆，2分曲线的方程为：2分当时，直线与轴重合，不合题意当时，直线与轴重合，点是原点，1分当时，由题意得：，直线的方程：2分得1分综上所述，点1分（）点满足方程：1分1分将代入整理得：2分 1分所以，=1分20.解：（）1分由题意得：1分设，求导得：1分在区间上减，在区间上增，的最小值为1分所以，
13、1分（）由（）可知，当时，函数在上递增，无极大值1 分所以，1分设，则1分在上减，在上增，的最小值1分而，设，求导得：，所以，2分由零点存在定理得：在，上分别有一个零点，即，且1分在上增，在减，在上增，极大值为1分，由匀值不等式得，2分21.解：（）集合满足，但不满足，因为由题意，而，所以不满足，集合不是集合的偏序关系2分（开放性）2分注：（）如果只给出结果，扣1分（）证：显然满足1分，且，则，满足条件1分，若且，则，所以，所以，满足条件2分综上所述，是实数集的一个偏序关系1分（）反证法。假设对中的两个给定元素，且存在，但不唯一。设，且则，其中为集合的一个偏序关系。2分且，若，一定有，所以，2分同理，则，与矛盾。1分所以，对中的两个给定元素，若存在，则一定唯一。1分
