1、第十节变化率与导数、导数的计算1导数的概念(1)函数yf(x)在xx0处的导数：称函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或y|xx0，即f(x0).(2)导数的几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)相应地，切线方程为yy0f(x0)(xx0)(3)函数f(x)的导函数：称函数f(x)为f(x)的导函数2基本初等函数的导数公式(sin x)cos_x，(cos x)sin_x，(ax)axln_a，(ex)ex，(logax)，(ln
2、 x).3导数的运算法则(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(g(x)0)1利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆2求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者3曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别试一试1(2013江西高考)若曲线yx1(R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则_.解析：由题意yx1，在点(1,2)处的切线的斜率为k，又切线过坐标原点，所以2.答案：22函数yxcos xsin x的导数为_解析：y(x
3、cos x)(sin x)xcos xx(cos x)cos xcos xxsin xcos xxsin x.答案：xsin x考点一利用导数的定义求函数的导数利用导数的定义求函数的导数：(1)yx2；(2)f(x).解：(1)因为2xx，所以y(2xx)2x.(2)因为所以y.类题通法定义法求函数的导数的三个步骤一差：求函数的改变量yf(xx)f(x)二比：求平均变化率.三极限：取极限，得导数yf(x).考点二导数的运算典例求下列函数的导数(1)yx2sin x；(2)y.解(1)y(x2)sin xx2(sin x)2xsin xx2cos x.(2)y.类题通法1求导之前，应利用代数、三
4、角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错2有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量针对训练已知f(x)sin 2x，记fn1(x)fn(x)(nN)，则f1f2f2 013f2 014_.解析：由题意，可知f2(x)f1(x)(sin 2x)2cos 2x；f3(x)f2(x)(2cos 2x)4sin 2x；f4(x)f3(x)(4sin 2x)8cos 2x；f5(x)f4(x)(8cos 2x)16sin 2x；故f4k1(x)24ksin 2x，
5、f4k2(x)24k1cos 2x，f4k3(x)24k2sin 2x，f4k4(x)24k3cos 2x(kN)所以f1f2f2 01420sin21cos22sin23cos24sin22 010sin22 011cos22 012sin22 013cos(2022242622 00822 01022 012)sin(2123252722 00922 01122 013)cos答案：考点三导数的几何意义导数的几何意义是每年高考的重点，求解时应把握导数的几何意义是切点处切线的斜率，利用这一点可以解决有关导数的几何意义的问题.归纳起来常见的命题角度有：(1)求切线方程；(2)求切点坐标；(3)
6、求参数的值.角度一求切线方程1曲线yxex2x1在点(0，1)处的切线方程为()Ay3x1By3x1Cy3x1 Dy2x1解析：选A依题意得y(x1)ex2，则曲线yxex2x1在点(0，1)处的切线的斜率为(01)e023，故曲线yxex2x1在点(0，1)处的切线方程为y13x，即3xy10，故选A.角度二求切点坐标2(2013辽宁五校第二次联考)曲线y3ln xx2在点P0处的切线方程为4xy10，则点P0的坐标是()A(0,1) B(1，1)C(1,3) D(1,0)解析：选C由题意知y14，解得x1，此时41y10，解得y3，点P0的坐标是(1,3)角度三求参数的值3(2014郑州第
7、一次质量预测)直线ykx1与曲线yx3axb相切于点A(1,3)，则2ab的值为()A2 B1C1 D2解析：选C直线ykx1与曲线yx3axb相切于点A(1,3)，且yx3axb的导数y3x2a，解得a1，b3，2ab1.类题通法导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：(1)已知切点A(x0，f(x0)求斜率k，即求该点处的导数值：kf(x0)；(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1)，即解方程f(x1)k；(3)已知过某点M(x1，f(x1)(不是切点)的切线斜率为k时，常需设出切点A(x0，f(x0)，利用k求解课堂练通考点1(2013全国大纲卷)已知曲线yx
8、4ax21在点(1，a2)处切线的斜率为8，则a()A9B6C9 D6解析：选Dy4x32ax，由导数的几何意义知在点(1，a2)处的切线斜率ky|x142a8，解得a6.2(2014济宁模拟)已知f(x)x(2 012ln x)，f(x0)2 013，则x0()Ae2 B1Cln 2 De解析：选B由题意可知f(x)2 012ln xx2 013ln x由f(x0)2 013，得ln x00，解得x01.3若曲线yx2aln x(a0)上任意一点处的切线斜率为k，若k的最小值为4，则此时该切点的坐标为()A(1,1) B(2,3)C(3, 1) D(1,4)解析：选Ayx2aln x的定义域
9、为(0，)，由导数的几何意义知y2x24，则a2，当且仅当x1时等号成立，代入曲线方程得y1，故所求的切点坐标是(1,1)4已知f(x)x22xf(1)，则f(0)_.解析：f(x)2x2f(1)，f(1)22f(1)，即f(1)2.f(x)2x4.f(0)4.答案：45(2014黄冈一模)已知函数f(x)x(x1)(x2)(x3)(x4)(x5)，则f(0)_.解析：f(x)(x1)(x2)(x3)(x4)(x5)x(x1)(x2)(x3)(x4)(x5)，f(0)(1)(2)(3)(4)(5)120.答案：1206已知点M是曲线yx32x23x1上任意一点，曲线在M处的切线为l，求：(1)
10、斜率最小的切线方程；(2)切线l的倾斜角的取值范围解：(1)yx24x3(x2)211，当x2时，y1，y，斜率最小的切线过点，斜率k1，切线方程为xy0.(2)由(1)得k1，tan 1，.课下提升考能第组：全员必做题1函数f(x)(x2a)(xa)2的导数为()A2(x2a2) B2(x2a2)C3(x2a2) D3(x2a2)解析：选Cf(x)(xa)2(x2a)2(xa)3(x2a2)2已知物体的运动方程为st2(t是时间，s是位移)，则物体在时刻t2时的速度为()A. B.C. D. 解析：选Ds2t，s|t24.3(2014济南模拟)已知曲线y12与y2x3x22x在xx0处切线的
11、斜率的乘积为3，则x0的值为()A2 B2C. D1解析：选D由题知y1，y23x22x2，所以两曲线在xx0处切线的斜率分别为，3x2x02，所以，所以x01.4已知f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若f(x)，g(x)满足f(x)g(x)，则f(x)与g(x)满足()Af(x)g(x) Bf(x)g(x)0Cf(x)g(x)为常数函数 Df(x)g(x)为常数函数解析：选C由f(x)g(x)，得f(x)g(x)0，即f(x)g(x)0，所以f(x)g(x)C(C为常数)5已知函数f(x)x32ax23x(aR)，若函数f(x)的图像上点P(1，m)处的切线方程为3xyb0，则m
12、的值为()A BC. D. 解析：选Af(x)x32ax23x，f(x)2x24ax3，过点P(1，m)的切线斜率kf(1)14a.又点P(1，m)处的切线方程为3xyb0，14a3，a1，f(x)x32x23x.又点P在函数f(x)的图像上，mf(1).6(2013广东高考)若曲线yax2ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a_.解析：因为y2ax，依题意得y|x12a10，所以a.答案：7已知函数f(x)ln xf(1)x23x4，则f(1)_.解析：f(x)2f(1)x3，f(1)12f(1)3，f(1)2，f(1)1438.答案：88已知f1(x)sin xcos x，记f2(
13、x)f1(x)，f3(x)f2(x)，fn(x)fn1(x)(nN，n2)，则f1f2f2 014_.解析：f2(x)f1(x)cos xsin x，f3(x)(cos xsin x)sin xcos x，f4(x)cos xsin x，f5(x)sin xcos x，以此类推，可得出fn(x)fn4(x)，又f1(x)f2(x)f3(x)f4(x)0，f1f2f2 014503f1f2f3f4f1f20.答案：09求下列函数的导数(1)yxtan x；(2)y(x1)(x2)(x3)解：(1)y(xtan x)xtan xx(tan x)tan xxtan xxtan x.(2)y(x1)(
14、x2)(x3)(x1)(x2)(x3)(x2)(x3)(x1)(x2)(x1)(x3)3x212x11.10已知函数f(x)x，g(x)a(2ln x)(a0)若曲线yf(x)与曲线yg(x)在x1处的切线斜率相同，求a的值，并判断两条切线是否为同一条直线解：根据题意有曲线yf(x)在x1处的切线斜率为f(1)3，曲线yg(x)在x1处的切线斜率为g(1)a.所以f(1)g(1)，即a3.曲线yf(x)在x1处的切线方程为yf(1)3(x1)，又f(1)1，得：y13(x1)，即切线方程为3xy40.曲线yg(x)在x1处的切线方程为yg(1)3(x1)又g(1)6.得y63(x1)，即切线方
15、程为3xy90，所以，两条切线不是同一条直线第组：重点选做题1(2014东营一模)设曲线ysin x上任一点(x，y)处切线的斜率为g(x)，则函数yx2g(x)的部分图像可以为()解析：选C根据题意得g(x)cos x，yx2g(x)x2cos x为偶函数又x0时，y0，故选C.2(2013山西模拟)已知函数f(x)，其导函数记为f(x)，则f(2 012)f(2 012)f(2 012)f(2 012)_.解析：由已知得f(x)1，则f(x)令g(x)f(x)1，显然g(x)为奇函数，f(x)为偶函数，所以f(2 012)f(2 012)0，f(2 012)f(2 012)g(2 012)1g(2 012)12，所以f(2 012)f(2 012)f(2 012)f(2 012)2.答案：2
