1、导数在研究函数中的应用4利用导数研究不等式证明思路点拨：通过构造函数，以导数为工具，证明不等式或比较大小。证明不等式在区间上成立，等价于函数在区间上的最小值等于零；而证明不等式在区间上成立，等价于函数在区间上的最小值大于零，因此不等式的证明问题可以转化为用导数求函数的极值或最值问题。1、当时，证明不等式解：构造函数。2、当时，证明不等式；为正的常数，当时，曲线上有两点，试证明过点的的切线与过点的的切线的交点的横坐标是正的。解：（1）构造函数。当时，所以，函数在区间内是单调递减函数，于是，即成立。（2）因为，所以。过点的切线方程为：和由此解出，设，因为所以，且有。于是，因此，由（1）的不等式及，
2、有。所以， 过点的的切线与过点的的切线的交点的横坐标是正的。3、设，函数。（1）令，讨论在内的单调性并求极值；（2）求证：当时，恒有。解：（1）根据求导法则有，故，于是，列表如下：故知在内是减函数，在内是增函数，所以，在处取得极小值。（2）证明：由知，的极小值；于是由上表知，对一切，恒有；从而当时，恒有，故在内单调增加；所以当时，即；故当时，恒有。4、已知函数。（1）求函数的单调递减区间；（2）若，证明：。解：（1）函数的定义域为。由及，得。 当时，是减函数，即的单调递减区间为。 （2）由（1）知，当时，当时，所以，是的最大值。因此，当时，即，所以。 构造函数，则。当时，当时，。所以，是的最大
3、值。当时，即 ，。综上可知，当时，有。5、已知定义在正实数集上的函数，其中。设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同。（1）用表示，并求的最大值；（2）求证：。解：（1）设与在公共点处的切线相同，由题意，即由得：，或（舍去），即有；令，则，于是当，即时，当，即时，故在为增函数，在为减函数，于是在的最大值为。（2）设，则；故在为减函数，在为增函数，于是函数在上的最小值，故当时，有，即当时，。6、已知函数。（1）求函数的单调区间和极值；（2）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，证明当时，；（3）如果，且，证明。解：（1），令，则。当变化时，的变化情况如下表，略所以在区间内是增函数，在区间内是减函数；函数在处取得极大值且。（2）因为函数的图象与函数的图象关于直线对称，所以，于是。记，则，当时，从而，又，所以，于是函数在区间上是增函数，因为，所以，当时，因此。（3）若，由（1）及，得，与矛盾；若，由（1）及，得，与矛盾；则。不妨设。由（2）可知，所以。因为，所以，又，由（1），在区间内是增函数，所以，即。补充：关于函数图象的切线问题的处理方法。审题要津与解法研究第410页 题目12
