1、导函数含参问题的基本讨论点1、求导后，考虑导函数为零是否有实根（或导函数的分子能否分解因式），从而引起讨论。例1：设，函数，试讨论函数的单调性。解：对于，分段进行研究。对于，对分类： 当时，函数在上是增函数； 当时， 令，得或（舍）， 函数在上是减函数，在上是增函数；对于，对分类： 当时，函数在上是减函数； 当时，由，解得； 函数在上是减函数，在上是增函数。2、求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式），但不知导函数为零的实根是否落在定义域内，从而引起讨论。例2：已知是实数，函数。（1）求函数的单调区间；（2）设为在区间上的最小值。 写出的表达式； 求的取值范围，使得。解：（1）函数
2、的定义域为，由得。考虑是否落在导函数的定义域内，需对参数的取值分及两种情况进行讨论。当时，则在上恒成立，所以的单调递增区间为；当时，由，得；由，得；因此，当时，的单调递减区间为，单调递增区间为。（2）由第（1）问的结论可知：当时，在上单调递增，从而在上单调递增，所以；当时，在上单调递减，在上单调递增，所以：当，即时，在上单调递减，在上单调递增，所以；当，即时，在上单调递减，所以；综上所述，令。若，无解；若，由解得；若，由解得。综上所述，的取值范围为。3、求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式），导函数为零的实根也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。例3：已知函数，
3、其中。（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，求函数的单调区间与极值。解：（1）当时，曲线在点处的切线方程为；（2）由于，所以，由，得。这两个实根都在定义域内，但不知它们之间的大小。因此，需对参数的取值分和两种情况进行讨论。当时，则。易得在区间，内为减函数，在区间为增函数。故函数在处取得极小值；函数在处取得极大值。当时，则。易得在区间，内为增函数，在区间为减函数。故函数在处取得极小值；函数在处取得极大值。点评：以上三点即为含参数导数问题的三个基本讨论点，在求解有关含参数的导数问题时，可按上述三点的顺序对参数进行讨论。因此，对含参数的导数问题的讨论，还是有一定的规律可循的。当然，在具体解
4、题中，可能要讨论其中的两点或三点，这时的讨论就更复杂一些了，需要灵活把握。例4：设函数，其中，求函数的极值点。解：由题意可得的定义域为，的分母在定义域上恒为正，方程是否有实根，需要对参数的取值进行讨论。 当，即时，方程无实根或只有唯一根，所以在上恒成立，则在上恒成立，所以函数在上单调递增，从而函数在上无极值点。 当，即时，方程，即有两个不相等的实根：。这两个根是否都在定义域内呢？又需要对参数的取值分情况作如下讨论： 当时，所以。此时，与随的变化情况如下表：由此表可知：当时，有唯一极小值点。 当时，所以。此时，与随的变化情况如下表：由此表可知：当时，有一个极大值点和一个极小值点。综上所述： 当时
5、，有唯一极小值点；当时，有一个极大值点和一个极小值点； 当时，无极值点。点评：从以上诸例不难看出，在对含参数的导数问题的讨论时，只要把握以上三个基本讨论点，那么讨论就有了方向和切入点，即使问题较为复杂，讨论起来也会得心应手、层次分明，从而使问题迎刃而解。练习1：已知函数，其中常数，是奇函数。（1）求的表达式；（2）讨论的单调性，并求在区间上的最大值和最小值。练习2：已知函数。（I）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，讨论的单调性。解：（1）当时，所以因此，曲线在点处的切线方程为；（2）因为，所以，令当所以，当，函数单调递减；当时，此时单调递；当，即，解得当时，恒成立，此时，函数在上单调递减；当时，单调递减；时，单调递增；，此时，函数单调递减；当时，由于，时，此时，函数单调递减；时，此时，函数单调递增。综上所述：当时，函数在上单调递减，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递减，在上单调递增，函数上单调递减。练习3：已知函数。（1）当时，讨论的单调性；（2）设，当时，若对任意，存在，使不等式成立，求实数的取值范围。解析：审题要津与解法研究。
